1、 湖北省十一校高三下学期数学第二次联考试卷湖北省十一校高三下学期数学第二次联考试卷 一、单选题一、单选题 1若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A B C D 2直线与圆的位置关系是（ ） A相离 B相切 C相交 D相交或相切 3祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等.设 A，B 为两个同高的几何体，p：A，B 的体积相等，q：A，B 在等高处的截面面积恒相等，根据祖暅原理可知，p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4定义：24
2、小时内降水在平地上积水厚度（ ）来判断降雨程度其中小雨（ ） ，中雨（ ） ，大雨（ ） ，暴雨（ ） ，小明用一个圆锥形容器接了 24 小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ） A小雨 B中雨 C大雨 D暴雨 5已知 a，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是（ ） A6 B C8 D 6如图为宜昌市至喜长江大桥，其缆索两端固定在两侧索塔顶部，中间形成的平面曲线称为悬链线当微积分尚未出现时，伽利略猜测这种形状是抛物线，直到 1691 年莱布尼兹和伯努利借助微积分推导出悬链线的方程，其中为参数当时，函数称为双曲余弦函数，与之对应的函数称为双曲正弦函数关于双曲函数，下列结论正确的是（ ）
3、A B C D 7已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，过的直线与的左支交于、两点，且，则的渐近线方程为（ ） A B C D 8已知、为锐角，在，四个值中，大于的个数的最大值记为，小于的个数的最大值记为，则等于（ ） A8 B7 C6 D5 二、多选题二、多选题 9如图，5 个数据，去掉点后，下列说法正确的是（ ） A相关系数 r 变大 B残差平方和变大 C变量 x 与变量 y 呈正相关 D变量 x 与变量 y 的相关性变强 10平行四边形中，将三角形沿着翻折至三角形，则下列直线中有可能与直线垂直的是（ ） A直线 B直线 C直线 D直线 11数列的前项为，已知，下列说法中正确的是（ ） A
4、为等差数列 B可能为等比数列 C为等差数列或等比数列 D可能既不是等差数列也不是等比数列 12如下图所示，B 是 AC 的中点，P 是平行四边形 BCDE 内 含边界 的一点，且，以下结论中正确的是（ ） A当 P 是线段 CE 的中点时， B当时， C若为定值 2 时，则在平面直角坐标系中，点 P 的轨迹是一条线段 D的最大值为-1 三、填空题三、填空题 13设复数 z 满足（其中 是虚数单位） ，则 . 14除以 9 的余数是 . 15已知函数，有三个不同的零点，且，则的范围是 . 16若指数函数（且）与三次函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是 . 四、解答题四、解答题 17
5、如图，在四边形 中， ， ， ， ， . （1）求 ； （2）求 的长. 18已知等差数列满足，. （1）求的通项公式； （2）设等比数列满足，设，数列的前 n 项和为，求的最大值. 19如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，.再从条件条件条件中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答. 条件：；条件：；条件：平面平面. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 20已知椭圆过点，离心率为 （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于、两点，过、作直线的垂线，垂足分别为、，点为线段的中点，为椭圆的左焦点求证：四边形为梯形 21某中学在 2020 年高考分数公布后对高三年级各
6、班的成绩进行分析.经统计某班有名同学，总分都在区间内，将得分区间平均分成组，统计频数频率后，得到了如图所示的“频率分布”折线图. （1）请根据频率分布折线图，画出频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计该班级的平均分； （2）经过相关部门的计算，本次高考总分大于等于的同学可以获得高校的“强基计划”入围资格.高校的“强基计划”校考分为两轮.第一轮为笔试，所有入围同学都要参加，考试科目为数学和物理，每科的笔试成绩从高到低依次有，四个等级，两科中至少有一科得到，且两科均不低于，才能进入第二轮，第二轮得到“通过的同学将被高校提前录取.已知入围的同学参加第一轮笔试时，总分高于分的同学在每科笔试中取得，的
7、概率分别为，；总分不超过分的同学在每科笔试中取得，的概率分别为，；进入第二轮的同学，若两科笔试成绩均为，则免面试，并被高校提前录取；若两科笔试成绩只有一个，则要参加面试，总分高于分的同学面试“通过”的概率为，总分不超过分的同学面试“通过”的概率为，面试“通过”的同学也将被高校提前录取.若该班级考分前名都已经报考了高校的“强基计划”，且恰有人成绩高于分.求 总分高于分的某位同学没有进入第二轮的概率； 该班恰有两名同学通过“强基计划”被高校提前录取的概率. 22对于正实数， 熟知基本不等式： ， 其中 为的算术平均数， 为的几何平均数 现定义的对数平均数： （1）设，求证： ： （2）利用第（1）
8、小问证明不等式： ： 若不等式 对于任意的正实数恒成立， 求正实数的最大值 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】， 由图象可知，阴影部分表示. 故答案为：A 【分析】先求得 B 的补集，再由交集运算即可求解。 【解析】【解答】直线即，过定点， 因为圆的方程为， 则， 所以点在圆内，则直线与圆相交. 故答案为：C 【分析】由直线方程，确定过定点，再结合定点与圆的位置关系，即可求解。 【解析】【解答】解：由，反之不成立 是的必要不充分条件 故答案为：B. 【分析】由充分、必要条件的概念即可判断。 【解析】【解答】解：如图所示， 由题意得，则 r=50 则雨水的体积为， 则降雨的厚度（高度）为
9、 故答案为：B 【分析】根据圆锥的体积公式，及圆柱的体积公式求解即可. 【解析】【解答】设切点为（m，n） ， yln（x+b）的导数为， 由题意可得=1， 又 nm2a，nln（m+b） ， 解得 n0，m2a， 即有 2a+b1，因为 a、b 为正实数， 所以， 当且仅当时取等号， 故的最小值为 8。 故答案为：C 【分析】设切点为（m，n） ，再利用导数的几何意义结合已知条件得出=1，再利用 nm2a，nln（m+b） ，解得 n 和 m 的值，即有 2a+b1，再利用 a、b 为正实数结合均值不等式求最值的方法，进而求出的最小值。 【解析】【解答】A 选项， ，A 选项错误. B 选项
10、， ，B 选项错误. C 选项，C 选项错误. D 选项，D 选项正确. 故答案为：D 【分析】对于 A，代入解析式化简即可判断；对于 B,由导数的四则运算即可判断；对于 C,将 x=-1,x=2 代入解析式即可判断；对于 D，由解析式化简即可判断。 【解析】【解答】由题意，得，； 根据双曲线的定义，, 所以， 在直角三角形中，即， 解得； 在直角三角形中，即， 即，解得，所以的渐近线方程为. 故答案为：C 【分析】设，由题意结合双曲线定义可得，再结合勾股定理即可求解。 【解析】【解答】解：因为、为锐角， 则，当且仅当时取等号， 同理， ， 故不可能有 4 个数都大于，所以最多三个数大于，所以
11、，例如， 故最多有 4 个数均小于，所以，例如， 所以. 故答案为：B. 【分析】由基本不等式可得，通过累加即可得，再结合，即可求解。 【解析】【解答】由图，则， 相关系数. 令回归方程，则， ，即回归方程为，可得为， 残差平方和，故， 去掉后， ，则， 相关系数. ，A、D 符合题意； 令回归方程，则， ，即回归方程为，可得为， 残差平方和，故， ，B 不符合题意，C 符合题意； 故答案为：ACD 【分析】由系数公式可求 r,及回归直线方程，由残差公式计算残差平方，由公式求解，即可判断。 【解析】【解答】A 选项，若，如下图所示， 当平面与平面垂直时，两个平面的交线为，且， 则平面，所以，A
12、 选项正确. B 选项，当时，在翻折过程中，可以取从到的范围， 而，即直线与直线所成角为，所以存在，B 选项正确. C 选项，由于，所以为锐角，为锐角，所以 C 选项错误. D 选项，由于，则，所以为锐角，所以 D 选项错误. 故答案为：AB 【分析】由面面垂直的性质定理可判断 A,由为直线与直线所成角即可判断 B,由，即可判断 C,D. 【解析】【解答】依题意， 当时， 当时， 两式相减得， ， ， 当时，则数列是首项为 1，公比为-1 的等比数列. 当时，则数列是首项为 1，公差为 2 的等差数列. 故答案为：BC 【分析】通过递推公式做差化简即可得，从而解决问题。 【解析】【解答】依题意
13、， A 选项，当是线段的中点时， ，A 选项错误. B 选项，若 设分别是的中点，连接并延长，交的延长线于， 则，且，所以， 则点的轨迹是， 所以，B 选项错误. C 选项， 令、的中点为， 由于，即， 所以三点共线. 设分别是的中点，连接，交于，则， 是的中点，是的中点，则点的轨迹是，点的轨迹是，所以 C 选项正确. D 选项， 由于平行四边形在的左上方，三点共线，所以， 故当取得最大值，取得最小值 时，取得最大值，D 选项正确. 故答案为：CD 【分析】对于 A，由及即可判断，对于 B,由题意得：，再结合点的轨迹是，即可判断；对于 C，由题意得，设的中点为，易得三点共线.再设分别是的中点，
14、连接，交于，即可判断，对于 D,由平行四边形在的左上方，三点共线，即可得，从而解决问题。 【解析】【解答】由已知条件得 ， 则. 故答案为：. 【分析】由复数的四则运算及模长公式即可求解。 【解析】【解答】，展开式的通项公式为， 当时，为. 所以除以 9 的余数是. 故答案为：8 【分析】由，借助二项式定理展开即可求解。 【解析】【解答】依题意函数，有三个不同的零点，且， 令，得， 令， 画出的图象如下图所示， 由图可知关于直线对称，关于直线对称， 而， 所以. 故答案为： 【分析】由题意转换成=g(x)，画出的图象如图,借助图像即可求解。 【解析】【解答】由题意可得： 指数函数（且）与三次函
15、数的图象 恰好有两个不同的交点， 等价于方程有两个不同的解， 对方程两边同时取对数得：， 即， ， ， 从而可转化为：与在图像上有两个不同的交点， 当时， 当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取到极大值，也是最大值，最大值为， 又因为当时， 当时， 所以， 解得 故答案为： 【分析】由题意可将问题转换成有三解，从而可转化为：与在图像上有两个不同的交点，对求导，确定单调区间和极值，即可求解。 【解析】【分析】(1)根据题意同角三角函数的基本关系式代入数值计算出 sinA 以及的值，再由诱导公式结合已知条件即可计算出结果即可。 (2)由已知条件结合余弦定理代入数值计算出 BD
16、 的值，同理在中也可计算出 BC 的值。 【解析】【分析】 （1）由等差数列基本量的运算即可求解； （2）先分组求和得到 ， 构造函数 求导，确定其单调区间，即可求解。 【解析】【分析】(1) 选择 ,易得 . 再结合 ，即可得证； 选择 ，易证 . 再结合 平面平面 ，即可求证； 选择 ，由此可证 ，但与是否垂直无法判断 ，不合题意； （2）如图建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量，及平面的法向量，代入夹角公式即可求解。 【解析】【分析】 （1）由题意，易求 a,b,c，即可求出椭圆方程； （2） 设,则,.即可得，.再结合 A，B 在直线上，可得 再由，即可得（*）.再由直线方程与椭圆方
17、程联立，结合韦达定理，代入 化简可得，即可解决问题。 【解析】【分析】 （1）由频率分布直方图，平均数计算公式即可求解； （2） 由题意可计算总分大于等于 680 分的同学有 5 人，其中有 3 人总分小于等于 690 分，2 人总分大于 690 分，从而可求总分高于分的某位同学没有进入第二轮的概率；再设总分高于分的同学被高校提前录取的事件为 M，总分不超过分的同学被高校提前录取的事件为N，由，即可求出. 【解析】【分析】(1)利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的值域，进而证出不等式 成立。 (2) （） 利用已知条件结合分析法证明出不等式 成立，从而证出不等式 成立； （）由恒成立，即得恒成立，令，所以恒成立，令，再利用导数的方法判断函数的单调性，从而求出函数的值域，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数 k 的取值范围，进而得出正实数的最大值。
