1、 高三数学一模试卷高三数学一模试卷 一、单选题一、单选题 1（ ） A B C D 2已知集合，则（ ） A B或 C或 D或 3已知具有线性相关的变量 x，y，设其样本点为，回归直线方程为，若，则（ ） A5 B3 C1 D-1 4已知，则（ ） A B C D 5第 24 届冬季奥运会于 2022 年 2 月 4 日至 2022 年 2 月 20 日在北京市和河北省张家口市举行，现要安排三名男志愿者和两名女志愿者去国家高山滑雪馆国家速滑馆首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，每名志愿者只能去一个场馆，且每个场馆最少安排一名志愿者，若两名女志愿者分派到同一个场馆，则不同的分配方法有（ ） A24
2、种 B36 种 C56 种 D68 种 6已知直线与圆：相交于，两点，若，则的值为（ ） A-4 或 0 B-4 或 4 C0 或 4 D-4 或 2 7“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作孙子算经卷下第十六题的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有一个相关的问题：将 1 到 2022 这 2022 个自然数中被 3 除余 2 且被 5 除余 4 的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为（ ） A132 B133 C134 D135 8已知椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上一点，则满足为
3、直角三角形的点有（ ） A2 个 B4 个 C6 个 D8 个 二、多选题二、多选题 9如图，O 是正六边形的中心，则（ ） A B C D 10如图，在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AB，AD 的中点，G，H 分别在 BC，CD 上，且，则（ ） A平面 EGHF B平面 ABC C平面 EGHF D直线 GE，HF，AC 交于一点 11已知函数，则（ ） A为周期函数 B的图象关于轴对称 C的值域为 D在上单调递增 12下列大小关系正确的是（ ） A B C D 三、填空题三、填空题 13函数的图象在点处的切线方程为 . 14不等式的解集为 . 15已知 A、B、C、D 四点都
4、在表面积为 100 的球 O 的表面上，若 AD 是球 O 的直径，且，则该三棱锥 ABCD 体积的最大值为 . 16已知点在双曲线的右支上，动点满足，是双曲线的右焦点，则的最大值为 . 四、解答题四、解答题 17ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知. （1）求 B. （2）若，_，求. 在D 为 AC 的中点，BD 为ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18在一次活动课上，老师准备了 4 个大小完全相同的红包，其中只有一个红包里面有 100 元，其余三个里面都是白纸.老师邀请甲上台随机抽取一个红包，但不打
5、开红包，然后老师从剩下的三个红包中拿走一个装有白纸的红包，甲此时可以选择将自己选中的红包与剩下的两个红包中的一个进行置换. （1）若以获得有 100 元的红包概率的大小作为评判的依据，甲是否需要选择置换？请说明理由. （2）以（1）中的结果作为置换的依据，记表示甲获得的金额，求的分布列与期望. 19如图，在四棱锥中，为平行四边形，平面，E，F 分别是 BC，的中点. （1）证明：平面平面 PAD. （2）求二面角的余弦值. 20已知数列满足. （1）证明：数列为等比数列. （2）已知，求数列的前项和. 21已知抛物线 C 的焦点 F 在轴上，过 F 且垂直于轴的直线交 C 于 A（点在第一象限
6、） ，B 两点，且. （1）求 C 的标准方程. （2）已知 为 C 的准线，过的直线交于 M，（M，异于 A，B）两点，证明：直线AM，和 相交于一点. 22已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，求的取值范围. 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】 。 故答案为：B. 【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，从而求出复数 。 【解析】【解答】由 ， 得 或 ，解之得 或 则 或 又因为 则 或 或 。 故答案为：D 【分析】利用已知条件结合同号为正的性质和一元一次不等式求解集以及一元二次不等式求解集的方法，进而得出集合 A 和集合 B，再结合交集的运算法则，进而得出集合 A
7、 和集合 B 的交集。 【解析】【解答】因为 ，所以 ，因为 ，所以 ， 因为线性回归直线经过样本中心点，所以 ，解得 。 故答案为：A. 【分析】利用已知条件结合平均数公式结合线性回归直线经过样本中心点，进而结合代入法得出 的值。 【解析】【解答】因为 ， 则 。 故答案为：C. 【分析】利用已知条件结合诱导公式和同角三角函数基本关系式，得出 的值。 【解析】【解答】若两名女志愿者分配到同一个场馆，且该场馆没有男志愿者，则有 种方法；若两名女志愿者分配到同一个场馆，且该场馆有一名男志愿者，则有 种方法，所以一共有 36 种分配方法. 故答案为：B 【分析】利用已知条件结合组合数公式和排列数公
8、式，再结合分类加法计数原理，进而得出不同的分配方法种数。 【解析】【解答】由 ，得 ， 则圆心为 ，半径为 2， 由 ，得 ， 即圆心 到直线 的距离为 ， 即 ，即 或 。 故答案为：A. 【分析】由 得出圆心坐标和半径长，再利用已知条件结合数量积为 0 两向量垂直的等价关系，得出 ，再利用点到直线的距离公式得出圆心 到直线 的距离，再结合已知条件得出实数 m 的值。 【解析】【解答】因为由 1 到 2022 这 2022 个自然数中被 3 除余 2 且被 5 除余 4 的数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为 14，公差为 15 的等差数列 ， 所以该数列的通项公式为 .令 ， 解得
9、 ，即该数列的项数为 134。 故答案为：C. 【分析】利用已知条件结合等差数列的定义，得出由 1 到 2022 这 2022 个自然数中被 3 除余 2 且被 5除余 4 的数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为 14，公差为 15 的等差数列 ，再利用等差数列的通项公式得出该数列的通项公式，令 ，得出 n 的取值范围，进而得出该数列的项数。 【解析】【解答】当 为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点 有 2 个； 当 为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点 有 2 个； 设椭圆 的上顶点为 ， 由椭圆 ，可得 ，可得 ， 则 ， ， 所以 ，故 ， 所以不存在以 为直角顶
10、点的 ， 故满足本题条件的点 P 共有 4 个。 故答案为：B. 【分析】利用已知条件结合椭圆的对称性，得出满足要求的点 P 的个数，再利用椭圆的标准方程求出 a,b 的值，再结合椭圆中 a,b,c 三者的关系式得出 c 的值，再结合长半轴的定义和焦距的定义和余弦定理得出 ，进而得出不存在以 为直角顶点的 ，从而得出满足本题条件的点 P 的个数。 【解析】【解答】解：由题意得： 结合正六边形的性质可知，对于 A： ，A 不符合题意； 对于 B： ，B 符合题意； 对于 C： ，C 不符合题意； 对于 D： ，D 符合题意. 故答案为：BD. 【分析】利用已知条件结合正六边形的结构特征和中心的性
11、质，再结合向量共线定理、平面向量基本定理、相等向量的判断方法、数量积的定义，进而找出结论正确的选项。 【解析】【解答】因为 ，所以 . 又 E，F 分别为 AB，AD 的中点，所以 ，且 ，则 . 易知 平面 EGHF，FH 与 AC 为相交直线，即 A 符合题意，B，C 不符合题意. 因为 EFHG 为梯形，所以 EG 与 FH 必相交，设交点为 M， 所以 平面 ABC， 平面 ACD， 则 M 是平面 ABC 与平面 ACD 的一个交点， 所以 ，即直线 GE，HF，AC 交于一点，即 D 符合题意. 故答案为：AD 【分析】利用已知条件结合中点的性质，再结合对应边成比例两直线平行的性质
12、，再结合线面平行的判定定理得出 平面 EGHF，再利用 EFHG 为梯形，所以 EG 与 FH 必相交，设交点为 M，再利用直线与平面的位置关系，则 M 是平面 ABC 与平面 ACD 的一个交点，所以 ，即直线GE，HF，AC 交于一点，从而找出正确的选项。 【解析】【解答】由题意得： 对于 A 选项：因为 ，所以 是函数 的一个周期，A 符合题意； 对于 B 选项：因为 ，则 的图象关于原点对称，B 不符合题意； 对于 C 选项：当 ， 时， ； 当 ， 时， . 故函数 的值域为 ，C 符合题意； 对于 D 选项：当 时， ，因为 ，所以 在 上单调递增，D 符合题意. 故答案为：ACD
13、. 【分析】利用已知条件结合绝对值的定义和周期函数的定义，进而判断出函数 f(x)为周期函数；再利用奇函数的定义，从而判断出函数为奇函数，再结合奇函数的图像的对称性，从而判断出函数 f(x)的图像关于原点对称；利用已知条件结合绝对值的定义和分类讨论的方法，再结合二倍角的余弦公式和余弦型函数的图像求值域的方法，进而结合并集的运算法则，从而得出函数 f(x)的值域；利用已知条件结合 x 的取值范围和二倍角的余弦公式，从而利用余弦型函数的图象判断出函数 在 上的单调性，进而找出正确的选项。 【解析】【解答】作出 和 的图象，如图所示，由图象可得，当 时， ， 当 时， ， ， ，A，B 符合题意.
14、令 ，则 ， 在 上单调递减，所以 ，C不符合题意. ，所以 ，D 符合题意. 故答案为：ABD. 【分析】作出 和 的图象，再结合两函数的图像和分类讨论的方法以及指数函数的单调性，得出 ， ，令 ，再结合减函数的定义，从而判断出函数 在 上的单调性，进而得出 ，再利用作差比较大小的方法和均值不等式求最值的方法，进而得出 ，从而找出大小关系正确的选项。 【解析】【解答】由题意，得 ， 则 ， ， 则所求切线的方程为 ， 即 9x-y+5=0。 故答案为：9x-y+5=0。 【分析】利用已知条件结合导数求函数在切点处的切线的斜率以及代入法得出切点的方法，再结合点斜式得出函数 的图象在点 处的切线
15、方程。 【解析】【解答】由 ，可得 . 令 ， 因为 均为 上单调递减函数 则 在 上单调递减，且 ， ， 故不等式 的解集为1,+)。 故答案为：1,+)。 【分析】由 ，可得 ，令 ，再利用指数函数的单调性，进而判断出函数 在 上的单调性，再结合代入法和函数的单调性得出函数的最大值，进而得出 x 的取值范围，从而得出不等式 的解集。 【解析】【解答】设求 O 的半径为 R，球 O 的表面积为 ， ， ，设ABC的外接圆半径为 r，圆心为 ， 根据正弦定理知， ， ， AD 是直径，O 是 AD 中点，D 到平面 ABC 的距离为 . 在ABC中，根据余弦定理得， ， 即 ， ，当且仅当 时
16、，等号成立， ABC面积的最大值为 ， 三棱锥 ABCD 体积的最大值 。 故答案为： 。 【分析】设求 O 的半径为 R，再利用球 O 的表面积为 结合球的表面积公式得出球的半径长，再利用已知条件 ， ，设ABC的外接圆半径为 r，圆心为 ，由正弦定理得出 r 的值，再结合勾股定理得出 的值，再利用 AD 是直径，O 是 AD 中点，得出 D 到平面 ABC 的距离，在ABC中，根据余弦定理和均值不等式求最值的方法得出 的最大值，再结合三角形的面积公式得出三角形ABC面积的最大值，再利用三棱锥的体积公式得出三棱锥 ABCD 体积的最大值。 【解析】【解答】动点 B 满足 ，则点 B 的轨迹是
17、以 A 为圆心，2 为半径的圆, 设双曲线的左焦点为 ，由题知 ， 则 ， 当且仅当 A，P， 三点共线时，等号成立， 所以 的最大值为 。 故答案为： 。 【分析】利用动点 B 满足 结合圆的定义得出点 B 的轨迹是以 A 为圆心，2 为半径的圆,设双曲线的左焦点为 ，再结合已知条件和双曲线的定义以及几何方法得出当且仅当 A，P， 三点共线时， 的最大值，进而得出 的最大值。 【解析】【分析】 （1） 利用已知条件结合正弦定理和三角形中角 A 的取值范围，进而利用辅助角公式得出得出 的值，再利用三角形中角 B 的取值范围，得出角 B 的值。 （2） 选择条件：利用 结合数量积求向量的模的公式
18、结合数量积的定义得出 的值。 选择条件：利用 BD 为ABC的角平分线，所以 ，再利用三角形的面积公式得出 的值。 【解析】【分析】 （1） 利用分类讨论的方法结合独立事件乘法求概率公式和比较法，得出甲需要选择置换。 （2） 由题可知随机变量 的可能取值，再利用古典概型求概率公式和对立事件求概率公式，得出随机变量 X 的分布列，再结合随机变量 X 的分布列求数学期望公式得出随机变量 X 的数学期望。 【解析】【分析】 （1） 连接 。利用 平面 结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ，再利用 且 为平行四边形， ，所以 为等边三角形，再利用 为 的中点结合等边三角形三线合一，所以 ，再利用 ，
19、所以 ，再结合线线垂直证出线面垂直，所以 平面 PAD，再结合线面垂直证出面面垂直，从而证出平面 平面 PAD。 （2）利用已知条件， 以 A 为原点，AE，AD，AP 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式和二面角 的平面角为锐角，从而得出二面角 的余弦值。 【解析】【分析】 （1） 当 时结合已知条件和代入法得出首项的值，再利用 ，所以 ，由化简结合递推公式变形和等比数列的定义，从而证出数列 是一个公比为 的等比数列。 （2） 利用已知条件结合等比数列的通项公式得出数列 的通项公式，再结合 ，得出
20、数列 的通项公式，再结合裂项相消的方法得出数列 的前 项和。 【解析】【分析】 （1） 设抛物线 的标准方程为 ，再利用抛物线的标注方程求出焦点坐标，再结合已知条件和代入法以及两点距离公式得出 p 的值，从而得出抛物线 的标准方程。 （2） 由（1）可知 A,B 两点坐标，设 ， ，再设直线 的方程为 ，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理得出 ， ，再利用点斜式得出直线 的方程和直线 的方程，再结合赋值法得出 M,N 两点坐标，再利用三条直线相交于一点位置关系判断方法证出直线 AM， 和 相交于一点。 【解析】【分析】(1)利用已知条件结合分类讨论的方法，再利用导数判断函数的单调性的方法，从而讨论出函数 f(x)的单调性。 （2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，再结合函数的单调性求出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法得出实数 a 的取值范围。
