1、点和圆的位置关系点和圆的位置关系我国射击运动员在奥运会上获金牌，为我国赢得荣誉，图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同，半径不相同）构成的你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？解决这个问题就要研究点和圆的位置关系点和圆的位置关系探究探究问题1：观察，图中点A，点B，点C与圆的位置关系分别是什么？问题2：设O 半径为r，说出来点A，点B，点C 与圆心O 的距离与半径的关系点A在圆内OAr点B在圆上OB=r点C在圆外OCr探究探究问题3：反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能否判断点和圆的位置关系？OAr点A在圆内OB=r点B在圆上OCr点C在圆外归纳归纳设O 半径为r，点P 到圆
2、心的距离OP =d，则有：点P在圆外dr点P在圆上d=r点P在圆内dr这个符号读作“等价于”，它表示从该符号的左端可以推出右端，右端也能推出左端你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗 ？射击靶图上，有一组以靶心为圆心的大小不同的圆，他们把靶图由内到外分成几个区域这些区域用由高到底的环数来表示，射击成绩用弹着点位置对应的环数来表示弹着点与靶心的距离决定了它在哪个圆内，弹着点离靶心越近，它所在的区域就越靠内，对应的环数也就越高，射击的成绩越好例题例题已知O 的半径为10cm，A，B，C 三点到圆心O 的距离分别为8cm，10cm，12cm，则点A，B，C 与O 的位置关系是：点A在_点B在_点
3、C在_圆内圆上圆外例题例题如图所示，已知O 和直线l，过圆心O 作OPl，P 为垂足，A，B，C为直线l上三个点，且PA=2cm，PB =3cm，PC =4cm，若O的半径为5cm，OP=4cm，判断A，B，C三点与O的位置关系点A在_点B在_点C在_圆内圆上圆外例题例题已知O 的半径为 5，圆心 O 的坐标为（0，0），若点 P 的坐标为（4，2），点 P 与O 的位置关系是_由勾股定理可知，所以点P在O内练习练习已知O 的半径为4，OP3.4，则P 在O 的_内部练习练习已知 点P 在 O 的外部，OP5，那么O 的半径r满足_0r5练习练习已知O 的半径为5，M 为ON的中点，当OM3时
4、，N点与O 的位置关系是N 在O 的_外部练习练习O 直径为d，点A到圆心的距离为m，若点 A不在圆外，则d与m的关系是_练习练习有一张矩形纸片，AB =3cm，AD =4cm，若以A为圆心作圆，并且要使点D 在A内，而点C 在A外， A的半径 r 的取值范围是_补充题补充题O 的半径为 5 cm，O 到直线l的距离OP=3cm，Q 为l上一点且PQ =4.2cm，点Q 在O _外补充题补充题如图， 数轴上半径为1的O 从原点O 开始以每秒1个单位的速度向右运动，同时，距原点右边7个单位有一点P 以每秒2个单位的速度向左运动，经过_秒后，点P在O 上2或我们知道，已知_和_，可以确定一个圆问题
5、1：经过一个已知点A能不能作圆，能作多少个圆？能作无数个圆能作无数个圆A圆心半径过一个点作圆过一个点作圆我们知道，已知_和_，可以确定一个圆问题2：经过两个已知点A，B，能不能作圆？圆心有什么特点？由于圆心到A，B 的距离相等，所以圆心在线段AB 的垂直平分线上圆心半径AB过两个点作圆过两个点作圆探究探究总结：过已知点作圆，关键就是确定_问题3：经过不在同一直线上的三个点A，B，C 能不能作圆？如果能，怎么确定圆心？圆心圆心O到A，B，C 的距离都相等所以O 既在线段AB 的垂直平分线上又在线段BC 的垂直平分线上垂直平分线的交点就是圆心O以O为圆心，OA( 或OB，OC )为半径作圆即为所求
6、BCAO问题4：经过不在同一直线上的三个点A，B，C 能作几个圆？由于圆心O是唯一确定的，所以圆也是唯一确定的 不在同一条直线上不在同一条直线上的三个点确定一个圆的三个点确定一个圆过三个点作圆过三个点作圆因为 不在同一条直线上不在同一条直线上的三个点确定一个圆的三个点确定一个圆所以 经过三角形的三个顶点一定可以作一个圆这个圆叫做三角形的外接圆外接圆外接圆的圆心是三角形三条边的_的交点，叫做三角形的外心外心垂直平分线三角形的外接圆三角形的外接圆例题例题一位考古学家在马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片，你能帮助这位考古学家画出这个碎片所在的整圆，以便于进行深入的研究吗？答案：关键就是确定圆心圆弧
7、边缘任取三个点，然后连接其中任意两组点，作它们的垂直平分线，所得交点就是圆心，进而可以画出整个圆练习练习直角三角形的外心是_的中点，锐角三角形的外心在三角形_，钝角三角形的外心在三角形_斜边内部外部练习练习三角形的外心具有的性质是 ( )A到三个顶点的距离相等B到三边的距离相等C是三角形三条角平分线的交点D是三角形三条中线的交点练习练习下列命题中不正确的是 ( )A圆有且只有一个内接三角形B三角形只有一个外接圆C三角形的外心是这个三角形任意两边的垂直平分线的交点D等边三角形的外心也是三角形的三条中线、高、角平分线的交点练习练习判断：1经过三点一定可以作圆（ ）2三角形的外心就是这个三角形两边垂
8、直平分线的交点（ ）3三角形的外心到三边的距离相等（ ）练习练习如图，黑猫警长发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞，鼠洞只有三个出口，要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞，黑猫警长最好蹲守在（ ）AABC 的三边高线的交点P处B ABC 的三角平分线的交点P处C ABC 的三边中线的交点P处D ABC 的三边中垂线的交点P处D补充题补充题若 A、B、C 为平面上的三点， AB =2，BC =3，AC =5，则（ ）DA可以画一个圆，使A，B，C 都在圆周上B 可以画一个圆，使A，B 在圆周上，C 在圆内C 可以画一个圆，使A，C 在圆周上，B 在圆外D 可以画一个圆，使A，C 在圆周上，B 在圆
9、内思考思考经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？如图，假设过同一条直线l上三点A、B、C 可以做一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB 的垂直平分线l 上，又在线段BC 的垂直平分线l 上，即点P 为l 与l 的交点讨论一下：你们能发现什么不对劲的地方吗？P思考思考经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？如图，假设过同一条直线l上三点A、B、C 可以做一个圆，设这个圆的圆心为P，l l，l l，这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，假设不成立，所以过同一条直线上的三点不能做圆反证法反证法上面的证明“过同一条直线上的三点不能做圆”的方法与我们以前学过的证明不
10、同，它不是直接从命题的已知得结论， 而是假设命题的结论不成立由此经过推理的出矛盾，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法反证法用反证法证明平行线的性质“两直线平行，同位角相等”已知ABCD，求证：1=2假设12，过点O 作AB，使EOB=2根据“同位角相等，两直线平行”，可得ABCD由此可知，过点O 的直线AB和直线AB都与直线CD平行讨论一下，你们能发现矛盾之处吗？平行线性质定理的证明平行线性质定理的证明用反证法证明平行线的性质“两直线平行，同位角相等”已知ABCD，求证：1=2由此可知，过点O 的直线AB 和直线AB都与直线CD 平行这与平行公理“过直线外一点有且只有
11、一条直线与已知直线平行”矛盾这说明假设12不正确，从而1=2平行线性质定理的证明平行线性质定理的证明练习练习画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形练习练习体育课上，小明和小雨的铅球成绩分别是6.4m和5.1m，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内练习练习如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心在O 中，点M 到O的最小距离为3，最大距离是19，那么O 的半径为_11或8点到圆的距离最值点到圆的距离最值点到圆的距离最值点到圆的距离最值一个点与定圆上最近点的距离为 4 cm，最远点的距离为 9 cm，则此圆的半径为_2.5cm或6
12、.5cm过四点能否画圆过四点能否画圆任意四个点是不是可以画一个圆？请举例说明不一定四点在一条直线上不能作圆；三点在同一直线上，另一点不在这条直线上不能做圆；四点中任意三点不在一条直线可能作圆也可能做不出一个圆ABDCAAABBBCCCDDD12先确定圆心后计算先确定圆心后计算如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D已知AB=24cm，CD=8cm（1）求作此残片所在的圆 ( 不写作法，保留作图痕迹 )（2）求残片所在圆的面积答案：（1）如图；（2）169先确定圆心后计算先确定圆心后计算已知ABC，（1）请你用尺规作图作出ABC的外接圆O；（2）若A=45，
13、O 的半径r=4，试求BC答案：（1）如图；（2）总结总结这节课我们学会了什么？点和圆的位置关系：设O半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外点P在圆上点P在圆内drd=rdr总结总结这节课我们学会了什么？不共线的三点确定一个圆： 不在同一条直线上不在同一条直线上的三个点确定一个圆的三个点确定一个圆三角形的外接圆：过任意三角形的三个顶点都可以作一个唯一确定的圆这个圆心叫三角形的外心，是三角形三边垂直平分线的交点总结总结这节课我们学会了什么？反证法：不是直接从命题的已知得结论， 而是假设命题的结论不成立 由此经过推理的出矛盾，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证
14、法反证法第二十四章圆点和圆的位置关系46知识点1点和圆的位置关系设 O的半径为r，点P到圆心的距离OPd，则有：(1)点P在圆内dr；(2)点P在圆上dr；(3)点P在圆外dr.知识点2确定圆的条件(1)已知圆心和半径可以确定一个圆；(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆以练助学 47知识点3三角形的外接圆和外心(1)三角形的外接圆：经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形(2)三角形的外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心(3)三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于外接圆的半径知识
15、点4反证法不直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法481用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是()A点在圆内B点在圆上C点在圆心上D点在圆上或圆内2【教材P101习题24.2T1变式】已知 O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离OA3 cm，则点A与 O的位置关系为()A点A在圆上 B点A在圆内C点A在圆外 D无法确定D B 49B 50C 5169 526如图，已知矩形ABCD的边AB3 cm，BC4 cm，以点A为圆心，4 cm为半径作 A，则点B、C、D与
16、A有怎样的位置关系解：连接ACAB3 cm，BCAD4 cm，AC5 cm，点B在A内，点D在A上，点C在A外537在平面直角坐标系中， O的半径为5，圆心O为坐标原点，则点P(3,4)与 O的位置关系是()A在 O内B在 O外C在 O上D不能确定C 54B 55C 56D 5711【易错题】已知 O是ABC的外接圆，边BC4 cm，且 O半径也为4 cm，则A的度数是_.12【易错题】在RtABC中，AB6，BC8，则这个三角形的外接圆直径是_.30或150 10或8 5813如图，AD为ABC外接圆的直径，ADBC，垂足为点F，ABC的平分线交AD于点E，连接BD、CD(1)求证：BDCD
17、；(2)请判断B、E、C三点是否在以点D为圆心，DB为半径的圆上？并说明理由596061如图，在平面直角坐标系中，已知点A(8,0)、B(0,6)、C(1,7)， M经过原点O及点A、B(1)求 M的半径及圆心M的坐标；(2)判断点C与 M的位置关系，并说明理由 621.认识点和圆的位置关系； 2.掌握“三点定圆”定理； 3.掌握三角形外接圆及外心的定义； 4.体会分类讨论及数形结合的思想；5.体验探索数学的乐趣.圆内的点圆上的点 平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：思考：平面上的一个圆把平面上的点分成哪几部分？ 圆外的点OBCA圆上的点圆内的点圆外的点 点与圆的位置关系有几种？ 请你画图表
18、示出来；并猜想用什么数量关系来描述点与圆的位置关系，与小组同学交流.设O 的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在 O内 点P在 O上 点P在 O外 dr d=r drPrdPrd Prd点与圆的位置关系OOOP与 O位置 d与r关系 符号 读作“等价于”,它表示从符号 的左端可以得到右端,从右端也可以得到左端 1. 已知 O的半径为10厘米，根据下列点P到圆心的距离，判定点P与圆的位置关系，并说明理由.（1）8厘米；（2）10厘米；（3）12厘米. 2. 已知一点到圆的最小距离为2cm，最大距离为8cm，则该圆的半径为_.3cm或5cm3在ABC中，C=90，AB=5cm，BC=4
19、 cm，以点A为圆心，以3 cm为半径作圆，请判断：（1）C点与 A的位置关系；（2）B点与 A的位置关系；（3）AB的中点D与 A的位置关系方法点拨： 要判定一个点是否在圆上、圆内、圆外，只需求出此点与圆心的距离，然后与半径作比较即可.BCAD在 A 外在 A 上在 A 内1.过一点能作几个圆？过一点能作几个圆？无数个A过A点的圆的圆心有何特点？平面上除A点外的任意一点过一点可作几条直线？过两点可以作几条直线？过三点呢？2.过两点能作几个圆？AB过A、B两点的圆的圆心有何特点？n经过两点A,B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.n以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心,这点到A或B的距离为
20、半径作圆.OO3.过三个点能作几个圆？ABCABC1.连结AB，作线段AB的垂直平分线DE，ODEGF2.连结BC，作线段BC的垂直平分线FG，交DE于点O，3.以O为圆心，OB为半径作圆，作法：O就是所求作的圆已知：不在同一直线上的三点 A、B、C求作： O，使它经过A、B、C（1）三点不共线 ABCDFEG（2）当三点共线时不能作圆.定理：不在同一直线上的三点确定一个圆OABCO由定理可知：经过三角形三个顶点可以作一个圆.并且只能作一个圆.经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。ABC圆的内接三角 形三角形的外接 圆三角
21、形 的外心ABCO 外心 1.三边垂直平分线的交点2.到三个顶点距离相等OABCABCO直角三角形外心是斜边AB的中点钝角三角形外心在ABC的外面三角形的外心是否一定在三角形的内部？ABCOABCCABOO锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.2. 三角形有且只有一个外接圆 （ ）5. 三角形的外心到三边的距离相等（ ）3. 任意一个圆有一个内接三角形， 并且只有一个内接三角形 （ ）判断题：判断题：1. 1. 过三点一定可以作圆过三点一定可以作圆（ ）4. 三角形的外心就是这个三角形任意两边 垂直平分线的交点 （ ）如何解决“破镜
22、重圆”的问题：ABCO圆心一定在弦的垂直平分线上1. 1. 直角三角形的两条直角边分别是直角三角形的两条直角边分别是5,12,5,12, 求出这个直角三角形的外接圆求出这个直角三角形的外接圆的半径的半径. .2.2.在在ABCABC中中,AB=AC=13,BC=10,AB=AC=13,BC=10,试求这试求这个三角形的外接圆的面积个三角形的外接圆的面积. .点P在 O内 点P在 O上 点P在 O外 dr d=r drPrdPrd Prd点与圆的位置关系OOOP与 O位置 d与r关系1.过三个点能确定一个圆？2.什么叫做三角形的外接圆？3. 三角形的外心是在三角形外部吗？1.作业本：课本P101
23、-102，习题24.2第1题、第9题；2.质量监测：P76-77. 【知识与能力】 理解点与圆的位置关系由点到圆心的距离决定 理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆 会画三角形的外接圆，熟识相关概念 经历探索点与圆的位置关系的过程，体会数学分类思考的数学思想【过程与方法】O 用数量关系判定点和圆的位置关系 BADCEFABCDE 你玩过掷飞镖吗？下图中A、B、C、D、E分别是落点，你认为哪个成绩最好？你是怎么判断出来的？观 察Or O的半径为r，点A、B、C、D在圆上，则OA_OB _OC_OD = _=rBADCEF点E在圆内，点F在圆外，则OE _r ，OF _r 探究由位置判断距离O探究
24、A点A在圆_，点B在圆_，点C在圆_内外由距离判断位置BC O的半径为5，OA=7，OB=5，OC=2，则上点P在圆外 点P在圆上 点P在圆内 d r知识要点点和圆的位置关系ABCrrr圆外的点圆内的点 平面上的一个圆把平面上的点分成哪几部分？圆上的点 1 A站住教室中央，若要B与A的距离为3m，那么B应站在哪里？有几个位置？ 请通过画图来说明3mA B站在以A为圆心，以3m为半径的圆上任意一点即可 有无数个位置 2 A站住教室中央，若要求与A距离等于3m，B与C距离2m，那么B应站在哪儿？有几个位置？ 3mAC2mBB有两个位置 3 现在要求与A距离3m以外，B与C距离2m以外，那么B应站在
25、哪儿？有几个位置？ AC3m2mB应站在 A和 C的圆外 ，有无数个位置画圆的关键是什么？确定半径的大小回 顾确定圆心1 过一点可以作几个圆过一点可以作几个圆?OAOOOO探究无数个点A以外任意一点这点与点A的距离圆心：半径： 2 过两点可以作几个圆？过两点可以作几个圆？ABOOOO无数个这点到A或B的距离线段AB的垂直平分线上圆心：半径：3 过不在同一条直线上的三点可以作几个圆过不在同一条直线上的三点可以作几个圆?ABC 经过A、B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上分析ABC步骤1 经过B、C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上ABC步骤2 经过A、B、C三点的圆的圆心应该在这两条垂直
26、平分线的交点O的位置ABC步骤3 过已知一点可作无数个圆 过已知两点也可作无数个圆 过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆知识要点O外接圆、外心ABC 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircle of triangle) 外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter)O内接三角形ABC叫这个圆的内接三角形ABCABC不在同一直线上的三个点确定一个圆为什么要这样强调？经过同一直线的三点能作出一个圆吗？ll1l2ABCO探究证明：假设经过同一直线 l 的三个点能作出 一个圆，圆心 为O则O应在AB的垂
27、直平分线l1上，且O在BC的垂直平分线上l2上，l1 ll2 l所以l1、 l2同时垂直于l，这与“过一点有且只有一条直线垂直于已知直线”矛盾，所以经过同一直线的三点不能作圆反证法 假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾判定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法经过同一直线的三点不能作出一个圆命题：假设：经过同一直线的三点能作出一个圆矛盾：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线过一点有两条直线垂直于已知直线定理：例如： 分别画锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，各三角形与它的外心有什么位置关系？锐角三角形的外心位于三角形内直角三角形的外心位于直角三
28、角形斜边中点钝角三角形的外心位于三角形外ABCOABCCABOO探究点P在圆外 点P在圆上 点P在圆内 d r1 点和圆的位置关系ABCrrr 过已知一点可作无数个圆 过已知两点也可作无数个圆 过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆2 三点定圆ABC 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫这个圆的内接三角形 外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心3 外接圆、内接三角形4 外心ABC5 反证法 假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾判定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法 1 判断下列说法是否正确
29、（1）任意的一个三角形一定有一个外接圆 （ ）（2）任意一个圆有且只有一个内接三角形 （ ）（3）经过三点一定可以确定一个圆 （ ）（4）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等（ ） 2 若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的形状为（ ） A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形B 3 O的半径10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与 O的位置关系是：点A在_；点B在_ ；点C在_ 4 O的半径6cm，当OP=6时，点A在_ ；当OP _时点P在圆内；当OP _ 时，点P不在圆外圆内圆上圆外圆上66 6 已知AB为 O的直径P
30、为 O 上任意一点，则点关于AB的对称点P与 O的位置为（ ） A 在 O内 B 在 O 外 C 在 O 上 D 不能确定C 5 正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作 A，则点B在 A _ ；点C在 A _；点D在 A _ 上外上 7 已知 O的面积为9，判断点P与 O的位置关系 （1）若PO=4.5，则点P在_； （2）若PO=2，则点P在_； （3）若PO= _，则点P在圆上 圆外圆内3 8 爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的的安全区域，已知这个导火索的长度为18cm，如果点导火索的人以每秒6.5m的速度撤离，那么是否安全？为什么？感谢您的阅读！为了便于学习和使用，本文档下载后内容可随意修改调整及打印。欢迎下载！
