1、新浙教版数学九年级（上）新浙教版数学九年级（上）1.4 1.4 二次函数的应用二次函数的应用 （1 1）1 1、二次函数、二次函数y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0)何时有最大值或何时有最大值或最小值？最小值？2 2、如何求二次函数的最值？、如何求二次函数的最值？配方法配方法公式法公式法求下列二次函数的最大值或最小值：求下列二次函数的最大值或最小值：y=y=x2x24x4xy =-(x2-4x)= =-(x2-4x+22-22)=y =-(x2-4x)= =-(x2-4x+22-22)=(x(x2)22)24 4所以：当所以：当x=2x=2时，时，y y 达到最大值为达到最
2、大值为4.4.解：因为解：因为 1 10 0，则图像开口向下，则图像开口向下，y y有最大值有最大值当当x= x= 时，时， y y达到最大值为达到最大值为b422a2 24acb44aw(1).设矩形的一边设矩形的一边AB=xm,那么那么AD边的长度如何表示？边的长度如何表示？w(2).设矩形的面积为设矩形的面积为ym2,当当x取何取何值时值时,y的最大值是多少的最大值是多少?何时面积最大 w如图如图, ,在一个直角三角形的内部作一个矩形在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCDABCD，其中其中ABAB和和ADAD分别在两直角边上分别在两直角边上. .MN40m30mABCDw(1).设矩形
3、的一边设矩形的一边AB=xm,那么那么AD边的长度如何表示？边的长度如何表示？w(2).设矩形的面积为设矩形的面积为ym2,当当x取何取何值时值时,y的最大值是多少的最大值是多少?何时面积最大 w如图如图, ,在一个直角三角形的内部作一个矩形在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCDABCD，其中其中ABAB和和ADAD分别在两直角边上分别在两直角边上. .ABCDMN 3: 1 .,30.4ADbmbx 解设易得40m30m xxxxxby30433043.22.30020432x.30044,202:2abacyabx最大值时当或用公式xmbmw(1).如果设矩形的一边如果设矩形的一边AD=
4、xm,那那么么AB边的长度如何表示？边的长度如何表示？w(2).设矩形的面积为设矩形的面积为ym2,当当x取何取何值时值时,y的最大值是多少的最大值是多少?何时面积最大 w如图如图, ,在一个直角三角形的内部作一个矩形在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCDABCD，其中其中ABAB和和ADAD分别在两直角边上分别在两直角边上. .ABCDMN40m30mbmxm 4: 1 .,40.3ABbmbx 解设易得 xxxxxby40344034.22.30015342x.30044,152:2abacyabx最大值时当或用公式w(1).设矩形的一边设矩形的一边BC=xm,那么那么AB边的长度如何表
5、示？边的长度如何表示？w(2).设矩形的面积为设矩形的面积为ym2,当当x取何取何值时值时,y的最大值是多少的最大值是多少?何时面积最大 w如图如图, ,在一个直角三角形的内部作一个矩形在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCDABCD，其顶点其顶点A A和点和点D D分别在两直角边上分别在两直角边上,BC,BC在斜边上在斜边上. .ABCDMNP40m30mxmbm : 1 .50 ,24 .MNm PHm解由勾股定理得 xxxxxby242512242512.22.3002525122x.30044,252:2abacyabx最大值时当或用公式12,24.25ABbmbx 设易得HG1.理解
6、问题理解问题;“二次函数应用” 的思路 w本节本节“最大面积最大面积”解决问题的过程，你能总结一解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流. .2.分析问题中的变量和常量分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系以及它们之间的关系;3.用数学的方式表示出它们之间的关系用数学的方式表示出它们之间的关系;4.做数学求解做数学求解;5.检验结果的合理性检验结果的合理性,拓展等拓展等.1 1、用长为、用长为8 8米的铝合金制成如图窗框，一边靠米的铝合金制成如图窗框，一边靠2cm2cm的墙的墙问窗框的宽和高各为多少米时，窗户的透光面积最大？问窗
7、框的宽和高各为多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？最大面积是多少？解：设窗框的一边长为解：设窗框的一边长为x x米，米，x又令该窗框的透光面积为又令该窗框的透光面积为y y米，那么：米，那么：y= xy= x即：即：y=y=0.5x20.5x24x4x则另一边的长为则另一边的长为 米，米，合作探究合作探究82x82x82x 2 2、用长为、用长为8 8米的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高米的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高各多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？各多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？合作探究合作探究解：设矩形窗框的面积为解：设矩形窗框的面积为y,
8、y,由题意得，由题意得，xxy238xx423238)34(232x)380(x，最大面积为窗框的透光面积最大。时，窗框的长为当窗框的宽2384734mmmx 如图，在一面靠墙的空地上用长为如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为为x米，面积为米，面积为S平方米。平方米。(1)求求S与与x的函数关系式及自变量的取值范围；的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为若墙的最大可
9、用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。米，则求围成花圃的最大面积。 ABCD解： (1) AB为x米、篱笆长为24米 花圃宽为（244x）米 (3) 墙的可用长度为8米 (2)当当x 时，S最大值 36（平方米）32ababac442 Sx（244x） 4x224 x （0 x6） 0244x 6 4x6当x4cm时，S最大值32 平方米一起来研究何时窗户通过的光线最多？w某建筑物的窗户如图所示某建筑物的窗户如图所示, ,它的上半部是半圆它的上半部是半圆, ,下下半部是矩形半部是矩形, ,制造窗框的材料总长制造窗框的材料总长( (图中所有的黑线图中所有的黑线的长度和的长度和) )为为15m.1
10、5m.当当x x等于多少时等于多少时, ,窗户通过的光线窗户通过的光线最多最多( (结果精确到结果精确到0.01m)?0.01m)?此时此时, ,窗户的面积是多少窗户的面积是多少? ?xxy .1574.1:xxy由解.4715,xxy得xx215272 24715222.222xxxxxxyS窗户面积.02. 45622544,07. 114152:2abacyabx最大值时当或用公式.562251415272x 已知，直角三角形的两直角边的和为已知，直角三角形的两直角边的和为2 2，求斜边长可能达，求斜边长可能达到的最小值，以及当斜边长达到最小值时两条直角边的长。到的最小值，以及当斜边长达
11、到最小值时两条直角边的长。x2x解：设其中的一条直角边长为解：设其中的一条直角边长为x x，则另一条直角边长，则另一条直角边长为（为（2 2x x），），, , 又设斜边长为又设斜边长为y y，所以：当所以：当x x1 1时，时，( (属于属于0 x20 x2的范围的范围) )斜边长有最小值斜边长有最小值y= ,y= ,此时两条直角边的长均为此时两条直角边的长均为1 1其中其中0 x20 x2(0 x2)(0 x2)拿出纸和笔试一试拿出纸和笔试一试下面我们一起分小组试一试下面我们一起分小组试一试看下哪个小组最快解出答案，并在黑板上写出来？看下哪个小组最快解出答案，并在黑板上写出来？1、有一根直
12、尺的短边长、有一根直尺的短边长2cm，长边长，长边长10cm，还有一块锐角为，还有一块锐角为45的直角三角形纸板，其中直角三角形纸板的斜边长为的直角三角形纸板，其中直角三角形纸板的斜边长为12cm按图按图141的方式将直尺的短边的方式将直尺的短边DE放置在与直角三角形放置在与直角三角形纸板的斜边纸板的斜边AB上，且点上，且点D与点与点A重合若直尺沿射线重合若直尺沿射线AB方向平方向平行移动，如图行移动，如图142，设平移的长度为，设平移的长度为x（cm），直尺和三角形），直尺和三角形纸板的重叠部分纸板的重叠部分(图中阴影部分图中阴影部分)的面积为的面积为S cm 2）（1）当）当x=0时，时，
13、S=_；当当x = 10时，时，S =_；（2）当）当0 x4时，如图时，如图142，求，求S与与x的函数关系式；的函数关系式；（3）当）当6x10时，求时，求S与与x的函数关系式；的函数关系式；（4）请你作出推测：当）请你作出推测：当x为何值时，阴影部分的面积最大？并写为何值时，阴影部分的面积最大？并写出最大值出最大值图141(D)EFCBAxFEGABCD图142ABC备选图一ABC备选图二2.2.在矩形在矩形ABCDABCD中，中，ABAB6cm6cm，BCBC12cm12cm，点，点P P从点从点A A出发，出发，沿沿ABAB边向点边向点B B以以1cm/1cm/秒的速度移动，同时，点
14、秒的速度移动，同时，点Q Q从点从点B B出出发沿发沿BCBC边向点边向点C C以以2cm/2cm/秒的速度移动。如果秒的速度移动。如果P P、Q Q两点在两点在分别到达分别到达B B、C C两点后就停止移动，回答下列问题：两点后就停止移动，回答下列问题：（1 1）运动开始后第几秒时，）运动开始后第几秒时，PBQPBQ的面积等于的面积等于8cm28cm2（2 2）设运动开始后第）设运动开始后第t t秒时，秒时，五边形五边形APQCDAPQCD的面积为的面积为Scm2Scm2，写出写出S S与与t t的函数关系式，的函数关系式，并指出自变量并指出自变量t t的取值范围；的取值范围；t t为何值时
15、为何值时S S最小？求出最小？求出S S的最小值。的最小值。QPCBAD1.如图如图1，规格为，规格为60 cm60 cm的正方形地砖的正方形地砖在运输过程中受损，断去一角，量得在运输过程中受损，断去一角，量得AF=30cm，CE45 cm。现准备从五边形地砖。现准备从五边形地砖ABCEF上截上截出一个面积为出一个面积为S的矩形地砖的矩形地砖PMBN。（1）设）设BN=x，BM=y，请用含，请用含x的代数式表示的代数式表示y，并写出，并写出x的取值范围；的取值范围；（2）请用含）请用含x的代数式表示的代数式表示S，并在给定的直角，并在给定的直角坐标系内画出该函数的示意图；坐标系内画出该函数的示意图；（3）利用函数图象回）利用函数图象回2答：当答：当x取何值时，取何值时，S有有最大值？最大值是多少？最大值？最大值是多少？ 图图1ABCDPEFMN实际问题实际问题抽象抽象转化转化数学问题数学问题运用运用数学知识数学知识问题的解问题的解返回解释返回解释检验检验
