1、一一.图形变换图形变换图形变换的基本方式是平移、图形变换的基本方式是平移、对称对称和旋转和旋转 1.轴对称：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全轴对称：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，重合，这样的图形叫做轴对称图形， 这条直线叫做对称轴。这条直线叫做对称轴。例如，长（正）方形、圆形、等腰三角形、等边三角形、例如，长（正）方形、圆形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形等腰梯形等腰三角形有？对称轴，等边三角形有？对称轴，圆形有？等腰三角形有？对称轴，等边三角形有？对称轴，圆形有？条对称轴条对称轴2.轴对称图形的特征和性质：轴对称图形的特征和性质：（1）对应
2、点到对称轴的距离相等）对应点到对称轴的距离相等（2）对应点的连线与对称轴垂直；）对应点的连线与对称轴垂直；（3）对称轴两边的图形大小、形状完全相同。）对称轴两边的图形大小、形状完全相同。旋转旋转1.旋转：在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度旋转：在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点得到另一个图形的变化较做旋转，定点O叫做旋转中心，旋叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，原图形上的一点旋转后成为的另一点转的角度叫做旋转角，原图形上的一点旋转后成为的另一点成为对应点。成为对应点。2.旋转要注意：绕点，角度，方向旋转要注意：绕点，角度，方向3.长方形绕
3、中点旋转长方形绕中点旋转180度与原来重合，正方形绕中点旋转度与原来重合，正方形绕中点旋转90度与原来重合。等边三角形绕中点旋转度与原来重合。等边三角形绕中点旋转120度与原来重合度与原来重合4.旋转的性质：旋转的性质：（1）图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋）图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；转固定角度的位置移动；（2）其中对应点到旋转中心的距离相等；）其中对应点到旋转中心的距离相等；（3）旋转前后图形的大小和形状没有改变；）旋转前后图形的大小和形状没有改变；（4）两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等，都等）两组对应点分别与旋转中心的连
4、线所成的角相等，都等于旋转角；于旋转角；（5）旋转中心是唯一不动的点。）旋转中心是唯一不动的点。二、因数和倍数二、因数和倍数1、整除整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。 整数与自然数的关系：整数包括自然数。整数与自然数的关系：整数包括自然数。 2、因数、倍数因数、倍数：在整数除法中，被除数除数：在整数除法中，被除数除数=商，商是商，商是整数没有整数没有余余 数时，被除数是除数的倍数，除数是被除数数时，被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。的因数。例：例：126=2中，中，12是是6和和2的倍数，的倍数，6和和2是是12的因数。的因数。（1
5、）a能被能被b整除，也就是整除，也就是a除以除以b得到一个整数，那么得到一个整数，那么a就就是是b的倍数，的倍数，b就是就是a的因数。因数和倍数是相互依存的，不的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。能单独存在。（2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。最大的因数是它本身。一个数的因数的求法：成对地按顺序找。一个数的因数的求法：成对地按顺序找。例如：找例如：找16的因数，的因数，因为因为 116=16 28=16 44=16所以所以16的因数有的因数有1,2,4,8,16这这5个。个。注意两个注意两个4只写一个
6、只写一个4，写一个数的因数时候不能重复也不，写一个数的因数时候不能重复也不能能遗漏。遗漏。（3）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。 一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。 例如：找7的倍数，可以用71=7, 72=14， 73=21， 74=28， 所以所以7的倍数有的倍数有7,14,21,28等。等。一个数的倍数的个数是无限的。最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 因数小于或等于它本身，倍数大于或等于它本身，一个数的最大的因数和它的最小的倍数相等，都等于它本身。（4）2、3、5的倍数特征的倍数特征1） 个位上是0，2，4，6，8的
7、数都是2的倍数的倍数。这样的数也叫做偶数（偶数（0也是偶数）也是偶数）。不是2的倍数的数叫做奇数奇数。2）一个数各位上的数的和是）一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是的倍数，这个数就是3的倍数。的倍数。3）个位上是）个位上是0或或5的数，是的数，是5的倍数。的倍数。同时满足同时满足2、3的倍数，实际是求的倍数，实际是求23 =6的倍数。的倍数。同时满足同时满足2、3、5的倍数，实际是求的倍数，实际是求235=30的倍数。的倍数。 5）如果一个数同时是）如果一个数同时是2和和5的倍数，那它的个位上的数字一定是的倍数，那它的个位上的数字一定是0。判断一个数是不是判断一个数是不是2或者或者5的
8、倍数的倍数，看这个数的个位，判断一个数是不是看这个数的个位，判断一个数是不是3的倍数的倍数，要看这个数每个数位上的数字之和是不是要看这个数每个数位上的数字之和是不是3的倍数。的倍数。4：自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数奇数、偶数。奇数：不能被2整除的数。叫奇数。也就是个位上是1、3、5、7、9的数。偶数：能被2整除的数叫偶数（0也是偶数）也是偶数），也就是个位上是0、2、4、6、8的数。最小的奇数是1，最小的偶数是0. 关系：关系： 奇数奇数+ 偶数偶数=奇数奇数 奇数奇数+奇数奇数=偶数偶数 偶数偶数+偶数偶数=偶数。偶数。5、质数质数和合数和合数质数（或素数）质数（或素数）：只有只有
9、1和它本身两个因数。和它本身两个因数。合数合数：除了：除了1和它本身还有别的因数和它本身还有别的因数 （至少有三个因数：（至少有三个因数： 1、它本身、别的因数）。、它本身、别的因数）。 1 ： 只有只有1个因数个因数。“1”既不是质数，也不是合数。既不是质数，也不是合数。 最小的质数是最小的质数是2，最小的合数是，最小的合数是4，连续的两个质数，连续的两个质数是是2、3。每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。 2、3、5、7和11； 13 后 面 是 17； 19， 23、 29、 31、 37、 41； 43、 47、
10、53； 59、 61、 67； 71、 73、 79； 83 89、 97；25个质数不能少；百以内质数心中记。找找质数、合数的技巧：质数、合数的技巧：看是否是看是否是2、3、5、7、11、13的倍数，是的就是合数，不是的的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。就是质数。6、最大、最小、最大、最小的常见数的常见数一个数的最小因数是：一个数的最小因数是：1； 一个数的最大因数是：它本身；一个数的最大因数是：它本身； 一个数的最小倍数是：它本身；一个数的最小倍数是：它本身； 最小的自然数是：最小的自然数是：0； ；最小的奇数是：最小的奇数是：1；最小的偶数是：最小的偶数是：0；最小的质数是：最小的质
11、数是：2；最小的合数是：最小的合数是：4第三单元第三单元 长方体和正方体长方体和正方体 1、长方体长方体：一般由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。两个面相交的边叫做棱棱。三条棱相交的点叫做顶点顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高长方体的长、宽、高。 长方体特点：长方体特点： （1）有6个面，8个顶点，12条棱，相对的面的面积相等，相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。相对的棱的长度相等。 （2）一个长方体）一个长方体一般一般有有6个面是长方形。有时有两个相对个面是长方形。有时有两个相对的面是正方形，剩下的面是正方形，剩下的的四个四个
12、面面是大小相同的长方形。是大小相同的长方形。2、正方体正方体：由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做 正方体（也叫做立方体）正方体（也叫做立方体）。正方体特点：正方体特点： （1）正方体有12条棱，它们的长度都相等条棱，它们的长度都相等。（2）正方体有6个面，每个面都是正方形个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等。（3）正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体特殊的长方体。3、长方体、正方体有关棱长计算公式：、长方体、正方体有关棱长计算公式： 长方体的棱长总和长方体的棱长总和=长长4 + 宽宽4 + 高高4 =（长（长 + 宽宽 + 高高）4 长=棱长总和4宽 高 宽
13、=棱长总和4长 高 高=棱长总和4长 宽 正方体的棱长总和正方体的棱长总和=棱长棱长12 正方体的棱长=棱长总和12 4、长方体正方体的表面积长方体正方体的表面积：长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积表面积。 长方体的表面积长方体的表面积=（长宽长高宽高）（长宽长高宽高）2 正方体的表面积正方体的表面积=棱长棱长棱长棱长6 用字母表示：S=aa 6 或者S= 6a2生活实际：油箱、罐头盒等都是油箱、罐头盒等都是6个面个面游泳池、鱼缸等都只有游泳池、鱼缸等都只有5个面个面水管、烟囱等都只有水管、烟囱等都只有4个面。个面。注意注意1：用刀分开物体时，每分一次增加两个面。用刀分开物体时，每分一
14、次增加两个面。（表面积相应增加）（表面积相应增加）注意2：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大n倍，表面积会扩大表面积会扩大n2倍。倍。（例例如长、宽、高各扩大如长、宽、高各扩大3倍，表面积就会扩大到原来的倍，表面积就会扩大到原来的32倍倍）。5、体积体积：物体所占空间的大小所占空间的大小叫做物体的体积物体的体积。 长方体的体积长方体的体积=长宽高长宽高 V=abh 长长=体积宽高 a=Vbh 宽宽=体积长高 b=Vah 高高=体积长宽 h= Vab正方体的体积正方体的体积=棱长棱长棱长棱长棱长棱长 V=aaa = a3读作读作“a的立方的立方”表示表示3个个a相乘，（即相乘，（即aaa） 长方
15、体或正方体底面的面积叫做底面积。长方体或正方体底面的面积叫做底面积。长方体（或正方体）的体积长方体（或正方体）的体积=底面积高底面积高 用字母表示：用字母表示：V=S h 体积体积=底面积高底面积高 V=Sh 底面积底面积=体积体积 高高 S=V h 高高=体积体积 底面积底面积 h=V S注意：一个长方体注意：一个长方体和和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等。一定相等。6、箱子、油桶、仓库等容器所能容纳物体的体积能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积容积。 物体所占空间的大小用体积表示，如果计量一个容器能容纳的液体的体积的多少，则用容积表示。常用的容积
16、单位容积单位有升和毫升升和毫升也可以写成L和ml。 1升升=1立方分米立方分米 1毫升毫升=1立方厘米立方厘米 1升升=1000毫升毫升 （1 L = 1 dm3 1 ml = 1 cm3）长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。容积要从容器里面量长、宽、高。（所以，对于同一个物体，对于同一个物体，严格的讲严格的讲体体积大于容积。）积大于容积。）注意：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大注意：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大n倍，体积就会扩大倍，体积就会扩大n3倍。倍。（例如例如如长、宽、高各扩大如长、宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的倍，体积就会扩大到原来的23倍倍）。）
17、。*形状不规则的物体可以用形状不规则的物体可以用排水法求体积排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直形状规则的物体可以用公式直接求体积接求体积。排水法排水法求不规则物体的体积求不规则物体的体积的公式：V物体 =V现在V原来也可以 V物体 =S(h现在- h原来) V物体 = Sh升高 进率【单位换算】 大单位 小单位 进率 小单位 大单位 单位改小，数字就会变大，乘进率；单位改大，数字就会变小，除以进率。单位改小，数字就会变大，乘进率；单位改大，数字就会变小，除以进率。长度单位长度单位：1千米 =1000 米 1 米=10 分米 1分米=10厘米 1厘米=10毫米 1米=10分米=100厘米=
18、1000毫米 （相邻单位进率（相邻单位进率10）面积单位：面积单位：1平方千米=100公顷公顷 1公顷公顷=10000平方米平方米 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米 （平方相邻单位进率（平方相邻单位进率100） 1平方千米平方千米=100万平方米万平方米质量单位：质量单位：1吨=1000千克 1千克=1000克人人 民民 币：币：1元=10角 1角=10分 1元=100分 第四单元分数的意义和性质第四单元分数的意义和性质1、单位单位“1”：一个物体、一些物体等都可以看作一个整体，一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。（有时也叫标准
19、量）2、分数的意义分数的意义：把 这个整体（单位单位“1”）平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数叫做分数。 3、分数单位：分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。例如： 表示把单位“1”平均分成（7 7）份，表示其中（2 2）份的数，它的分数单位是（ ），再加上（5）个这样的分数单位就是1。724、分数与除法、分数与除法被除数相当于分数的分子，除数相当于分数的分母。被除数除数=被除数除数ab=ab(b 0)因为0不能作除数35米可以理解为：1米的 即把（ 1）米平均分成（ 5 ）份，表示其中的（ 3 ）份；3米的 即把（3 ）米平均分成（ 5）份，表示其中的（1
20、）份；也就是3 5=5、真分数和假分数、带分数、真分数和假分数、带分数 1、真分数：分子比分母小的分数叫真分数。、真分数：分子比分母小的分数叫真分数。 真分数真分数1。 2、假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数 叫假分数。假分数假分数1 3、带分数：带分数由整数和真分数组成的分数。 带分数带分数1. 6、假分数与整数、带分数的互化、假分数与整数、带分数的互化（1）假分数化为整数或带分数，用分子分母，商作为整数，余数作为分子， 如： =105=2 =215=4余1=4 余数1作为带分数分子（2）整数化为假分数，用整数乘以分母得分子 如： 2= （ 多少）4=2 ，（多少）=4 2=8，（8
21、作分子）（3）带分数化为假分数，用整数乘以分母加分子，得数就是假分数的分子，分母不变，如：5 = 55+1=26，26作为假分数的分子。（4）分子和分母相同的分数可以转化成1。如：1= = = =5105215148）（51526）（22441001007、分数的基本性质分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），除外），分数的大小不变。分数的大小不变。8、最简分数：分数的分子和分母只有公因数、最简分数：分数的分子和分母只有公因数1（分子（分子和分母为互质数）和分母为互质数），像这样的分数叫做最简分数。，像这样的分数叫做最简分数。7、分
22、数的基本性质分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），除外），分数的大小不变。分数的大小不变。8、最简分数：分数的分子和分母只有公因数、最简分数：分数的分子和分母只有公因数1（分子（分子和分母为互质数）和分母为互质数），像这样的分数叫做最简分数。，像这样的分数叫做最简分数。 9、约分、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。如： = 3024547、分解质因数：分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。 用短除法短除法分解质因数 （一个合数写成几个质数相乘的形式一个合数写成几个质数相乘的形式）。比如：
23、30分解质因数是：（30=235）8、短除法短除法找两个数的最大公因数最大公因数和最小公倍数最小公倍数的方法：30和45的最大公因数是3 5=15.30和45的最小公倍数是3 5 2 3=9030 45310 1552 39、互质数互质数：公因数只有：公因数只有1的两个数，叫做互质数。的两个数，叫做互质数。两数互质的特殊情况：1和任何自然数任何自然数互质；相邻两个自然数相邻两个自然数互质；两个质两个质数一定互质；数一定互质；2和所有和所有奇数奇数互质；互质； 两个数不是倍数不是倍数关系，且其中一个数是质数其中一个数是质数。10、公因数、最大公因数公因数、最大公因数 几个数公有的因数叫几个数公有
24、的因数叫这些数的公因数这些数的公因数。其中最大的那个就。其中最大的那个就叫叫它们的最大公因数它们的最大公因数。用短除法短除法求两个数或三个数的最大公因数 （除到互质互质为止，再把所有的除数连乘所有的除数连乘起来）几个数的公因数只有1，就说这几个数互质。 如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数。数。如果两数互质时，那么如果两数互质时，那么1就是它们的最大公因数。就是它们的最大公因数。11、公倍数、最小公倍数公倍数、最小公倍数 几个数公有的倍数叫这些数的公倍数公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数最小公倍数。用短除法求两个数短
25、除法求两个数的最小公倍数（除到互质互质为止，把所有的所有的除数和商连乘除数和商连乘起来）用短除法求三个数短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质两两互质为止，把所有的除数和商除数和商连乘起来）如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。 8、短除法短除法找两个数的最大公因数最大公因数和最小公倍数最小公倍数的方法：30和45的最大公因数是3 5=1530和45的最小公倍数是3 5 2 3=9030 45310 1552 39、约分、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数叫做约分（分子和分母同时除以同一个不为0的数。如
26、： = 10、通分、通分：把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数，叫做通分。如： 和 可以化成 和 *约分和通分都是利用分数的基本性质。302454524120820511、分数和小数的互化、分数和小数的互化（1）小数化为分数：数小数位数。一位小数，分母是10；两位小数，分母是100 如：0.3= 0.03= 0.003= （2）分数化为小数：方法一：把分数化为分母是10、100、1000如： =0.3 = =0.6 =0.25方法二：用分子分母 如： =34=0.75（3）带分数化为小数：先把整数后的分数化为小数，再加上整数 如：2 =2+0.3=2.310310031000310310
27、653100254310312、比、比较较分数的大小：分数的大小： 分母相同，分母相同，看分子，看分子，分子大，分数就大；分子大，分数就大；分子相同，看分母，分母小，分数反而大。假分数大于真分数分数比较大小的一般方法一般方法：同分子比较；化成分子相同的分数比较大小通分后比较；化成分母相同的分数比较大小化成小数比较。分数化成小数比较大小五五.分数的加法和减法分数的加法和减法六六.统计统计1.众数：一组数据中出现次数最多的数，众数能够反映一组众数：一组数据中出现次数最多的数，众数能够反映一组数据的集中情况数据的集中情况2.中位数：如果数据是单数，那么中位数是？，如若是双数，中位数：如果数据是单数，那么中位数是？，如若是双数，那么是？那么是？
