1、13.3 等腰三角形第13章 全等三角形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结八年级数学上（HS） 教学课件1.等腰三角形的性质学习目标有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.ACB腰腰腰腰底边底边顶角顶角底角底角底角底角导入新课导入新课复习引入 剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD.你能发现什么现象吗？讲授新课讲授新课做一做DABCABCD等腰三角形的性质一1.等腰三角形是轴对称图形.我们可以得出结论：ACBD折痕A
2、D所在直线是等腰三角形的对称轴.你还有新的发现吗？B，C 是等腰三角形的 .底角B C所以我们可以描述为:等腰三角形的两个底角相等.2.探究归纳等腰三角形的性质： 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角等边对等角”）.已知：如图，ABC 中，AB=AC,求证：B=C .证明：作顶角BAC的平分线AD.在ABD与ACD中，ABAC（已知），），12（已证）， ADAD（公共边），）， ABD ACD（S.A.S.），）， BC.ABCD(12分析：由上述操作可以得到启发，即添加等腰三角形的顶角平 分线AD，然后证明ABD ACD.从这里你还可以得到什么结论? 例1 已知：在ABC中 ，AB
3、=AC， B=80 ，求 C和 A的大小.ABC(=80 (ABACCB已知）,等边对等角）.=180 (180=180(=1808080 =20 .ABCABC 又三角形的内角和等于）,等式的性质） 解：典例精析 想一想： 刚才的证明除了能得到BC ，你还能发现什么?重合的线段重合的角 A B D C ABAC BDCD ADAD B CBAD CAD ADB ADC=90 性质性质 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线，互相重合（简称“三线合一”）. .ABCD(1 2 填一填:根据等腰三角形性质完成下列填空. 在ABC中， AB=AC时， （1）AD是底边上的高，_ = _，_= _
4、. (2) AD是中线，_ ，_ =_.(3) AD是角平分线，_ _ ，_ =_.122BDCDADBCBD1BCADCD 例2 在ABC中 ，AB=AC，D是BC边上的中点，B=30.求：（1） ADC的大小；（2）1的大小.ADC12(2)1 +B +ADB=180 （三角形内角和等于180），B=30 （已知），1=180-B-ADB =180-30-90=60.ADBC(等腰三角形 “三线合一”).ADC =ADB=90(垂直的定义).解：(1) AB = AC，BD=DC（已知），B 因为等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到，B C， 同理可得 AB 所以
5、 ABC， 又由 ABC180， 从而推出 ABC60. 也就是说：等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60. 三条边都相等的三角形是等边三角形，它也是轴对称图形，那么等边三角形的每个角的度数是多少呢？它有几条对称轴？ A C B 等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也称为正三角形.三条对称轴等边三角形的性质二ABCD 例3 如图，在ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数.（1）找出图中所有相等的角；（2）指出图中有几个等腰三角形？A=ABD,C=BDC=ABC；ABC,ABD, BCD；ABCDx2x2x2x（3）观察BDC与A，ABD的关系
6、，ABC、C呢？BDC= A+ ABD=2 A=2 ABD,ABC= BDC=2 A,C= BDC=2 A；（4）设A=x,请把 ABC的内角和用含x的式子表示出来. A+ ABC+ C=180 ，x+2x+2x=180 .ABCD解：AB=AC，BD=BC=AD，ABC=C=BDC， A=ABD.设A=x,则BDC= A+ ABD=2x,从而ABC= C= BDC=2x,于是在ABC中，有A+ABC+C=x+2x+2x=180 ，解得x=36 .在ABC中，A=36，ABC=C=72.x2x2x2x当堂练习当堂练习 1. 如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数.ABC120ABC
7、36B=C = 72B=C = 302.(1)等腰三角形一个底角为为75, ,它的另外两个角为 ；(2)等腰三角形一个角为36, ,它的另外两个角为 _；(3)等腰三角形一个角为120, ,它的另外两个角为 . .75, 3072,72或36,10830，30结论:在等腰三角形中,注意对角的分类讨论. 顶角+2底角=180 顶角=1802底角 底角=（180顶角）20顶角1800底角90ACBD 3. 如图，是西安半坡博物馆屋顶的截面图，已经知道它的两边AB和AC是相等的.建筑工人师傅对这个建筑物做出了两个判断:工人师傅在测量了B为37以后，并没有测量C ，就说C 的度数也是37;工人师傅要加
8、固屋顶，他们通过测量找到了横梁BC的中点D，然后在AD两点之间钉上一根木桩，他们认为木桩是垂直横梁的.请同学们想想,工人师傅的说法对吗？请说明理由.课堂小结课堂小结等腰三角形的性质等边对等角等边三角形注意是指同一个三角形中注意是指顶角的平分线、底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高、中线和底角的平分线不具有这一性质.三 线 合 一有三条对称轴，每个内角等于60.13.3 等腰三角形第13章 全等三角形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结八年级数学上（HS） 教学课件2.等腰三角形的判定学习目标导入新课导入新课情境引入 在ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和
9、一个底角C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？ABCA讲授新课讲授新课等腰三角形的判定一提出问题 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等，反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？画画看，你发现了什么？在ABD与ACD中，1=2，（角平分线的定义） ABD ACD（AAS）. B=C（已知），），AD=AD（公共边），AB=AC(全等三角形的对应边相等)， ABC是等腰三角形.画BAC的平分线交BC于点D.证明：CAB21D（已知：在ABC中，B=C（如图）求证：AB=AC 想想看，还可以添加什么辅助线证明这一结论？等腰三角形的判定方法： 如果
10、一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）总结归纳等角对等边等边对等角 AC=AB ( ).即ABC为等腰三角形.B=C ( ),已知等角对等边 在ABC中， u应用格式：BCA( 例1 如图，在ABC中，已知A=40，B=70.求证：AB=AC.ABC 证明：A+B+C=180（三角形的内角和等于180）， A=40，B=70（已知）， C=180-A-B（等式的性质）， =180-40-70=70， C=B（等量代换）， AB=AC.典例精析例2 如图，ABCD, 1=2，求证：AB=AC.证明：证明： ABCD （已知）（已知）, B= 2 （两直线平行，
11、同位角相等）.又 1=2, B= 1（等量代换）. AB=AC（等角对等边等角对等边）.12ABCD(一个三角形满足什么条件就是等边三角形? 由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理：1.三个角都相等的三角形是等边三角形；2.有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形.你能证明这些定理吗？等边三角形的判定二ABC三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形.已知：如图，A= B=C.求证： AB=AC=BC. A= B, AC=BC. B=C, AB=AC.AB=AC=BC.证明：判定1：判定2：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形ABC已知： 若AB=AC ,
12、 A= 60.求证： AB=AC=BC.证明：AB=AC , A= 60 .BC (180。A)= 60.A= B=C.AB=AC=BC.12动动手 若AB=AC , B= 60，求证AB=AC=BC.例3 如图,在等边三角形ABC中，DEBC, 求证：ADE是等边三角形.ACBDE证明： ABC是等边三角形， A= B= C. DE/BC, ADE= B, AED= C. A= ADE= AED. ADE是等边三角形.想一想：本题还有其他证法吗？变式：上题中,若将条件DEBC改为AD=AE, ADE还是等边三角形吗?试说明理由.ACBDE 如图,在等边三角形ABC中，AD=AE, 求证：AD
13、E是等边三角形.证明： ABC是等边三角形， A= B= C. AD=AE, ADE= AED.A+ ADE+ AED=A+ 2ADE=3A=180， A= ADE= AED. ADE是等边三角形. 例4 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.求证：ABC是等腰三角形.已知：如图，CAE是ABC的外角，AD平分CAE ， ADBC.证明：ADBC(已知)，1=B（两直线平行,同位角相等） 2=C（两直线平行,内错角相等） AD平分CAE， 1=2.B=C. ABC是等腰三角形.ABCDE12 ACB= ACB=90(已知）， BCB= ACB+ ACB
14、=180.即点B、C、B 在同一条直线上.在ABB中，AB= AB（已知）， B= B（等角对等边）.在ABC和 ABC中，B= B（已证），ACB= ACB（已知），AC= AC（已知），RtABCRt ABC（A.A.S.）.例5 如图，在RtABC和Rt ABC中,ACB=ACB=90,AB= AB,AC= AC,求证： RtABCRt ABC.ABACBCB 证明：由于直角边AC= AC,我们移动RtABC使点A与点A重合，点C和点C重合，且使点B和点B分别位于AC两侧.（A）（C）这样我们就证明了前面给出的H.L.判定定理当堂练习当堂练习1.在ABC中, 已知A=50，B=65，判断
15、ABC是什么三角形，为什么?ABC是等腰三角形, 因为B=65, A=50, 所以C=65, B =C=65,所以ABC是等腰三角形.2.如图，已知A=36，DBC=36，C=72，则1=_，2=_，图中的等腰三角形有_.3672ABC DBABCDABCD(12 3.已知ABC中，中，A=B=60，AB=3cm，则ABC的周长为_cm.94.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DEBC，则这个图形中的等腰三角形共有（ ）A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个DACBDEOBCDAE5.如图，等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,BD=BE,求EDA的度数.解： ABC是
16、等边三角形，CBA=60.BD是AC边上的中线，BDA=90, DBA=30 . BD=BE， BDE=(180 - DBA) 2 =(180-30) 2=75. EDA=90 - BDE=90-75=15.6.如图，A，O，D三点共线，OAB和OCD是两个全等的等边三角形，求AEB的大小. CBODAE解：OAB和OCD是两个全等的等边三角形，AO=BO,CO=DO, AOB=COD=60. A，O，D三点共线， DOB=COA=120， COA DOB(S.A.S.). DBO=CAO.设OB与EA相交于点F, EFB=AFO， AEB=AOB=60.F等腰三角形等腰三角形的判定：等角对等
17、边.课堂小结课堂小结等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.13.4 尺规作图第13章 全等三角形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结八年级数学上（HS） 教学课件1.做一条线段等于已知线段2.一 个角等于已知角3.作已知角的平分线1.了解尺规作图的定义，会用尺规：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作已知角的平分线.（重点）2.应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理.（难点）3.会用尺规作一个三角形；培养学生动手能力，会说求作过程.学习目标导入新课导入新课问题引入 我们已经会使用刻度尺、三角尺、量角器和圆规等工具方便
18、地画出各种几何图形.如果限定只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具作几何图形，你还能做出符合条件的图形吗？ 预习课本85页，回答什么是尺规作图，有哪几种基本作图.基本作图 在几何里,把限定只用圆规和没有刻度的直尺来作几何图形的方法称为尺规作图.最基本、最常用的尺规作图,通常称基本作图.5种基本作图：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）经过一已知点作已知直线的垂线；（5）作已知线段的垂直平分线.一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的. 图 24.4.2 讲授新课讲授新课作一条线段等于已知线段一已知：线段MN.求作线段AC，使ACMN.作法： 1.
19、画射线AB； 2.用圆规量出线段MN的长，在射线AB上截取ACMN. 线段AC就是所要画的线段.MN已知：AOB.求作：AOB,使 AOB=AOB.OAB作一个角等于已知角二作法：1.作射线OA; 2.以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D;3.以点O为圆心，以OC长为半径作弧，交OA于C;4.以点C为圆心，以CD长为半径作弧，交前弧于D;5.经过点D作射线OB，AOB就是所求的角.OABCDOACDB证明：连结CD、CD ,由作法可知OC=OC,OD=OD,CD=CD,CODCOD(S.S.S.).COD=COD(全等三角形的对应角相等)，即AOB=AOB.OABCDBOA
20、CD作已知角的平分线三问题：如何用尺规作AOB的平分线呢？ABO步骤：1.在射线OA和OB上，分别截取OD，OE，使OD=OE； 2.分别以D，E为圆心，适当长（大于线段DE长的一半） 为半径作圆弧，在AOB内，两弧交于点C； 3.作射线OC. 射线OC就是所要求作的AOB的平分线.AOBCDE想一想：为什么OC是角平分线呢？你能给出证明吗？ AOBCDE证明：连结EC，DC.OD=OE，DC=EC，OC=OC，OCDOCE(SSS).AOC=BOC（全等三角形的对应角相等）.注意：为简化推理格式，今后只注明主要依据，省略“已知”、“等量代换”等依据. AOB如何将AOB四等分?想一想想一想例
21、1 已知线段AB和CD，如图，求作一线段，使它的长度等于AB + 2CD.所以EF就是所求作的线段.典例精析1.根据已知条件作图.(1)已知线段AB,CD,如图所示，画一条线段，使其等于AB-2CD D C A B(2)已知A,B,如图所示，画一个角，使其等于A-2B A B当堂练习当堂练习（3）如图，已知A，试作B= A.（不写画法，保留作图痕迹）12A(4)已知线段AB，CD，如图所示，画一个等腰三角形，使其腰长等于AB，底边长等于BC D C A B2.分别画出满足下列条件的三角形ABC:（1）已知两边及夹角 （2）已知两角及夹边baaaa3.已知:线段a，c，.求作:ABC,使BC=a
22、，AB=c，ABC=.作法:(1)作一条线段BC=a;(2)以B为顶点,BC为一边,作DBC=;(3)在射线BD上截取线段BA=c;(4)连接AC, ABC就是所求作的三角形.ac4.作出图中三角形三个角的平分线（不写画法，保留作图 痕迹）. 5.请在图中作出线段AD,使其平分BAC且长度等于mCBAm三个基本作图注意：已知：根据文字语言用数学语言写出题目中的条件;求作：根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件;作法：根据作图的过程写出每一步的操作过程.课堂小结课堂小结作一条线段等于已知线段作一条线段等于已知线段作一个角等于已知角作一个角等于已知角作已知角的平分线的理论依据是：判定三角形
23、全等的“边边边”13.4 尺规作图第13章 全等三角形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结八年级数学上（HS） 教学课件4.经过一已知点作已知直线的垂线5.作已知线段的垂直平分线1.理解和掌握用尺规作：经过一已知点作已知直线的垂线及已知线段的垂直平分线.（重点）2. 已知底边及底边上的高，能够利用直尺和圆规作出等腰三角形.（重点）3.在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探 索精神学习目标导入新课导入新课1.回顾已经学过的基本作图有哪几种？复习引入2.点与直线的位置关系有几种情况？（1）点在直线上；（2）点在直线外.3.经过一已知点作已知直线的垂线有可以分为几种情况？两种.基本作图： （1
24、）作一条线段等于已知线段； （2）作一个角等于已知角； （3）作已知角的平分线.讲授新课讲授新课经过一已知点作已知直线的垂线一基本作图4. 经过一已知点作已知直线的垂线可分为两种情况来讨论：1.经过已知直线上一点作已知直线的垂线.2.经过已知直线外一点作已知直线的垂线.1.经过已知直线上一点作已知直线的垂线 已知直线AB和AB上一点C，试按下列步骤用直尺 和圆规准确地经过点C作出直线AB的垂线. 如图，由于点C在直线AB上，因此所求作的垂线正好是平角ACB的平分线所在的直线.第一步：作平角ACB的平分线CD；第二步：反向延长射线CD.DCABABC2.经过已知直线外一点作已知直线的垂线. 已知
25、直线AB和AB外一点C，试按下列步骤用直尺和圆规准确地经过点C作出直线AB的垂线.ABC步骤：(1)以点C为圆心，作弧与直线AB相交于点D、点E；(2)作DCE的平分线CF.直线CF就是所要求作的垂线.DEF思考：你能说说其中的道理吗？例1 利用直尺和圆规作一个等于45的角.作法: 1.作直线AB； 2.过点A作直线AB的垂线AC； 3.作CAB的平分线AD. DAB就是所要求作的角.典例精析作已知线段的垂直平分线二步骤： 第一步：分别以点A和点B为圆心、大于AB一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点C和点D； 第二步：作直线CD. 直线CD就是所要求作的线段AB的垂直平分线CABD 如图，已知线
26、段AB，试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出线段AB的垂直平分线.想一想：为什么CD是线段AB的垂直平分线呢？你能给出证明吗？ 证明：如图，连结CA、CB、DA、DB.AC=BC，D=BD，CD=CD，ACDBCD(S.S.S.).ACD=BCD（全等三角形的对应角相等）.CD垂直平分线段AB(等腰三角形的“三线合一”).CABD通过上面的作图，你还能发现什么？你会作任意一个三角形的三条中线吗？通过作图，知道直线与线段的交点就是的中点，因此我们可以用这种方法作出线段的中点，从而可以作出任意一个三角形的的三条中线探究讨论例2 如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区
27、到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？AB分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段AB的垂直平分线上，又要在公路边上，所以找到AB的垂直平分线与公路的交点便是.公共汽车站典例精析当堂练习当堂练习1.如图，点P在O的一边上，试过点P作O两边的垂线. (第 1 题) P2.如图，作ABC边BC上的高. （第 2 题） 3.四等分已知线段AB4.作ABC 的三边的垂直平分线 （第 2 题） 5. 如图，八（1）班与八（2）班两个班的学生分别在M，N两处参加植树劳动，现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且PM=PN，请你用折纸的方
28、法找出P点点并说明理由. MNBAPC经过一已知点作已知直线的垂线 经过已知直线上一点作已知直线的垂线，实质是作一个平角的平分线，并将角的平分线反向延长.课堂小结课堂小结 经过已知直线外一点作已知直线的垂线，实质是作以直线外这一点为顶点，底在直线上的等腰三角形的顶角的平分线.线段垂直平分线的尺规作图作已知线段的垂直平分线理论依据是：判定三角形全等的“边边边”对于语言叙述类的画图问题，应先画草图，再写已知、求作、作法.13.5 逆命题与逆定理第13章 全等三角形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结八年级数学上（HS） 教学课件1.互逆命题与互逆定理1.理解互逆命题、互逆定理的概念，能写出一个命题的逆
29、命题并能判定其真假；（重点）2.能用学过的知识证明一个定理的逆命题是真命题还是假命题.(难点)学习目标1.什么叫命题？判断一件事情的句子叫做命题.由条件和结论两部分组成.2.命题由几部分组成,一般可以写成什么样的形式?可以写成“如果，那么”的形式.3.命题有真命题和假命题之分.导入新课导入新课复习引入观察上面三组命题,你发现了什么?1.两直线平行,内错角相等；3.如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧；4.如果小明发烧,那么他一定患了肺炎；2.内错角相等,两直线平行；5.平行四边形的对角线互相平分；6.对角线互相平分的四边形是平行四边形；说出下列命题的条件和结论：讲授新课讲授新课互逆命题与互逆定理
30、观察与思考 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题.上面两个命题的条件和结论恰好互换了位置命题“两直线平行，内错角相等”的条件和结论为：条件为两直线平行；结论为内错角相等因此它的逆命题为内错角相等，两直线平行.归 纳例1 指出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题.(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余.条件：一个三角形是直角三角形.结论：它的两个锐角互余. 逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形.典例精析(
31、2)等边三角形的每个角都等于60.条件：一个三角形是等边三角形;结论：它的每个角都等于60. 逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60，那么这个三角形是等边三角形.（3）全等三角形的对应角相等.条件：两个三角形是全等三角形.结论：它们的对应角相等. 逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等. （4）到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.条件：一个点到一个角的两边距离相等.结论：它在这个角的平分线上.逆命题：角平分线上一点到角两边的距离相等. （5）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.条件：一个点在一条线段的垂直平分线上.结论：它到这条线段的两个端点的
32、距离相等. 逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，便可得到原命题的逆命题但是原命题正确，它的逆命题未必正确 例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是假命题知识归纳例2 举例说明下列命题的逆命题是假命题.（2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等.逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角.例如10能被5整除，但它的个位数是0.（1）如果一个整数的个位数字是5 ，那么这个整数能被5整除. 逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5.例如60= 60，但这两
33、个角不是直角. 如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题， 但逆定理、互逆定理，一定是真命题.注意2：不是所有的定理都有逆定理. 我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理 一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理 例如“相等的角是对顶角”是假命题，但它的逆命题“对顶角相等”是真命题，且是定理归 纳 1.在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是真命题？试举出几个例子说明.(1)同旁内角互补，两直线平行.逆命题：两直线平行，同旁内角
34、互补.真(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形. 逆命题：如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两个角相等.真当堂练习当堂练习既是中心对称，又是轴对称的图形是圆. 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具.逆命题：圆既是中心对称，又是轴对称的图形真命题 逆命题：平行四边形有一组对边平行并且相等真命题 逆命题：高速行驶时，不接触地面的交通工具是磁悬浮列车假命题.2.说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假：互逆命题与互逆定理互逆命题课堂小结课堂小结互逆定理一个定理的
35、逆命题也是定理，这两个定理叫做互逆定理第一个命题的条件是第二个命题的结论；第一个命题的结论是第二个命题的条件.概念概念13.5 逆命题与逆定理第13章 全等三角形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结八年级数学上（HS） 教学课件2.线段垂直平分线1.理解和掌握线段垂直平分线的定理及其逆定理，并能利用它们来进行证明或计算.(重点)2.知道线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.3.了解数学和生活的紧密联系，培养用数学的能力.学习目标 高高 速速 公公 路路AB 在某高速公路l的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的
36、院址应选在何处？你的方案是什么?生活中的数学生活中的数学l导入新课导入新课问题情境讲授新课讲授新课线段垂直平分线的性质定理一 如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB.将线段AB沿直线MN对折，你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程.MNPACB对折后PA、PB能够完全重合，PA=PB.线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？下面我们来证明刚才得到的结论：证明： MN AB（已知）, ACP=BCP=90(垂直的定义). 在ACP和BCP中, ACPBCP(S.A.S.). PA=PB(全等三角形的对应边相等). AC=BC,ACP=BCP,PC=PC,MNPA
37、CB你能用一句话来描述刚得到的结论吗？线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.线段垂直平分线的性质定理：知识归纳知识归纳MNPACB几何语言叙述: 点P在线段AB的垂直平分线上（或PCAB，AC=BC）， PA=PB. 这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？t条 件结 论性质定理逆命题一个点在线段的垂直平分线上这个点到线段两端的距离相等一个点到线段两端的距离相等这个点在线段的垂直平分线上想想看，这个逆命题是不是一个真命题？你能证明吗？线段垂直平分线的判定定理二 逆命题 如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的
38、垂直平分线上. 已知： 如图，QAQB.求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上 分析：为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先经过点Q作线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB； 也可以先平分线段AB，设线段AB的中点为点C，然后证明QC垂直于线段AB 证明：过点Q作MNAB，垂足为点C，故QCA=QCB=90.在RtQCA 和RtQCB中，QA=QB，QC=QC，RtQCARtQCB（H.L.）.AC=BC.点Q在线段AB的垂直平分线上已知： 如图，QAQB.求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上 你能根据分析中后一种添加辅助线的方法，写出它的证明过程吗？知识要点线段垂直平分线的判定u应用
39、格式：PA =PB，点P 在AB 的垂直平分线上PAB作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.线段垂直平分线的判定定理与性质定理互为逆定理. 利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，做完之后，你发现了什么？发现：三角形三边的垂直平分线交于一点这一点到三角形三个顶点的距离相等 做一做怎样证明这个结论呢?点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可.思路可表示如下：试试看，你会写出证明过程吗？BCAPlnml是AB的垂直平分线m是BC的垂直平分线PA=PBPB=PCPA=PC点P在AC的垂直平分线上证明：连接PA，P
40、B，PC.点P在AB，AC的垂直平分线上， PA=PB，PA=PC （线段垂直平分线上 的点到线段两端距离相等）.PB=PC.点P在BC的垂直平分线上 (到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）.BCAPlnm当堂练习当堂练习1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（）AAB垂直平分CDB CD垂直平分AB CAB与CD互相垂直平分DCD平分 ACB 2.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DADB，EAEB,FAFB，这样的点在组合共有种.A无数3.下列说法：若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EAEB，PAPB；若PAPB，EAEB，则直线PE垂直平分线
41、段AB；若PAPB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；若EAEB，则经过点E的直线垂直平分线段AB其中正确的有 （填序号）. 4.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是ABC ( )A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点D5.如图，ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则BCE的周长是 cm.ABCDE16课堂小结课堂小结线段的垂直平分的性质和判定性 质到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 内 容判 定内 容作 用线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 作 用见垂直
42、平分线，得线段相等判断一个点是否在线段的垂直平分线上13.5 逆命题与逆定理第13章 全等三角形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结八年级数学上（HS） 教学课件3.角平分线1.会叙述角平分线的性质及判定;（重点）2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和 掌握角平分线性质定理和它的逆定理能应用这两个性 质解决一些简单的实际问题;（难点）3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理 证明意识和能力学习目标 在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？ABC导入新课导入新课问题情境讲授新课讲授新课角平分线的
43、性质定理一 如图，点P是AOB的角平分线OC上的任意一点，且PDOA于点D，PEOB于点E，将AOB沿OC对折，你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程.对折后PD、PE能够完全重合，PD=PE.角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？DPACBEO下面我们来证明刚才得到的结论.DPACBEO已知:OC平分AOB, P是OC上任意一点,PDOA,PEOB .求证:PD=PE.证明: OC平分AOB, P是OC上一点，DOP=BOP.PDOA,PEOB ，ODP=OEP=90.在OPD和OPE 中，DOP=EOP ,ODP=OEP ,OP=OP, OPDOPE (A.A.S.).PDPE（全等三角
44、形的对应边相等）.由上面证明，我们得到角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等几何语言描述： OC平分AOB， 且PDOA， PEOB. PD= PE.应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.定理的作用： 证明线段相等. 这一定理描述了角平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？t条 件结 论性质定理逆命题一个点在角的平分线上这个点到这个角两边的距离相等一个点到角两边的距离相等这个点在这个角的平分线上想想看，这个逆命题是否是一个真命题？你能证明吗？角平分线性质定理的逆定理二 逆命题 如果一个点到角两边
45、的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上. 分析：为了证明点P在AOB的平分线上，可以先作射线OP，然后证明RtPDORtPEO，从而得到AOP=BOP.已知：如图，PDOA，PEOB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在AOB的角平分线上.BADOPE证明：作射线OP， 在RtPDO和RtPEO 中，（全等三角形的对应角相等）. OP=OP（公共边），PD= PE（已知），PDOA,PEOB，PDO=PEO=90，RtPDORtPEO（ H.L.）.AOP=BOPBADOPE点P在AOB的平分线上.判定定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.应用所具备的条件：（1）位置关系
46、：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边距离相等.定理的作用：判断点在角平分线上.应用格式： PDOA,PEOB，PD=PE，点点P 在AOB的平分线上.DPACBEO角平分线的判定定理与性质定理互为逆定理. 利用尺规作三角形的三条角平分线，你发现了什么？发现：三角形的三条角平分线交于一点 做一做怎样证明这个结论呢?A B C P N M 点拨：要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：试试看，你会写出证明过程吗？AP是BAC的平分线BP是ABC的平分线PI=PHPG=PIPH=PG点P在BCA的平分线上A B C P
47、F H DEIGABCP例 如图，ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 求证：点P也在A的平分线上.NM典例精析证明：过点P作PDAB，PEBC， PFAC,垂足分别为D、E、F.BM是ABC的角平分线，点P在BM上（已知）,PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）.同理 PE=PF. PD=PF（等量代换）. 点P在A的平分线上,即点P到AB、BC、CA三边的距离相等.ABCPEDFMN当堂练习当堂练习1.如图, DEAB, DFBC, 垂足分别是E, F, DE =DF, EDB= 60, 则 EBF= ，BE= 60BFABCDEF2.如图, ABC中, C=90, DEAB, CBE=ABE, 且AC=6cm, 那么线段BE是ABC的 ，AE+DE= .CA BED角平分线6cm3.已知：如图，ABC中，C=90，AD是ABC的角平分线，DEAB于E，F在AC上,BD=DF.求证：CF=EB.证明：AD平分CAB,DEAB，C90（已知）,CDDE (角平分线的性质).在RtCDF和RtEDB中, CD=ED（已证）, DF=DB （已知）, RtCDFRtEDB (H.L.). CF=EB（全等三角形的对应边相等）.CFAEDB角平分线的性质及判定性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.课堂小结课堂小结判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
