1、先知底数、先知底数、指数指数，求幂求幂。先知幂、先知幂、指数指数，求，求底数底数。( )2 = 9( )2 = ( )2 = 0( )2 =4 4先填空再探索先填空再探索： 3 2 = ( ) (3 )2= ( ) ( )2= ( ) ( )2 =( ) 02 =( )214199410321210不存在不存在41乘方运算乘方运算乘方的逆运算乘方的逆运算开平方运开平方运算算 （1.21.2）2 2=1.44 =1.44 1.21.2叫做叫做1.441.44的平方根的平方根 （2 2）2 2=4 =4 2 2叫做叫做4 4的平方根的平方根 x x = a = a x x叫做叫做a a的平方根的平
2、方根 如果如果一个数的平方一个数的平方等于等于a a, ,那么这个数叫做那么这个数叫做 a a的平方根的平方根, ,也叫做也叫做a a的二次方根。的二次方根。解：（7）2=49 7叫做49的平方根（ ）2= 叫做 的平方根1512515125 02 = 0 0的平方根是0请分别说出请分别说出4949，1/25,101/25,10的平方根的平方根请分清楚：请分清楚：X X就就是是a a的的平方根平方根。X2 底数底数指数指数幂幂= a 如果如果一个数的平方一个数的平方等于等于a a, ,那么这个数叫做那么这个数叫做a a的平方根的平方根。49 的平方根是的平方根是 的平方根是的平方根是12 51
3、5 0 的平方根是的平方根是-4-4平方根：平方根：( (1)1)一个正数有一个正数有 个平方根个平方根, ,它它们们 . .(2) 0(2) 0的平方根是的平方根是 (3)(3)负数负数 平方根平方根互为相反数互为相反数两两0 0没有没有2. 2. 平平方方根根的的性性质质70 没有平方根没有平方根1. 判断下列说法是否正确：判断下列说法是否正确：（1 1）9 9的平方根是的平方根是3; 3; （2 2）4949的平方根是的平方根是7 7； （3 3）（）（2 2）2 2的平方根是的平方根是2 2；（4 4）1 1 的平方根是的平方根是1 1；（5 5）1 1是是1 1的平方根的平方根; ;
4、 （6 6）7 7的平方根是的平方根是49. 49. （7 7）若）若X X2 2 = 16 = 16 ，则，则X = 4X = 42.2.问问：3 3有没有平方根？若有怎样表示有没有平方根？若有怎样表示运算运算？求一个数的平方根的运算叫做求一个数的平方根的运算叫做开平方。开平方。2m根指数根指数被开方数被开方数请熟悉：请熟悉：读作：读作：二次根号二次根号m m简写为：简写为：m读作：读作：根号根号m（m0)m0)根号根号根号根号被开方数被开方数任意一个数任意一个数 ( ( 0)0)的平方根的平方根表示为：表示为：a读作正、负根号读作正、负根号如：如：2525的平方根的平方根可表示为：可表示为
5、：_2 25 5表示：表示：_3 33 3的平方根的平方根5记作记作: a, , 读作：读作：根号根号a a 这样这样, a 的另一个平方根就是的另一个平方根就是: a- 其中其中, , “ ” 表示开平方的运算符号表示开平方的运算符号， a 称为被开方数称为被开方数. 注：注：1. 被开方数应为非负数的条件被开方数应为非负数的条件. 2. 0的算术平方根的算术平方根. 0 =0 把把 一个一个正数，正数，正正的平方根叫做这个的平方根叫做这个正数的正数的算术平方根。算术平方根。如：如： a a的算平方根的算平方根算术平方根的意义：算术平方根的意义：a（a0）算术平方根具有算术平方根具有双重非负
6、性双重非负性非负数非负数0 1. 1. 一个正数一个正数正的平方根正的平方根，叫做，叫做这个正数的算术平方根。这个正数的算术平方根。2. 02. 0的的算术平方根算术平方根是是0 0 读作：读作：“正、负正、负根号根号a” 3；911的平方根是：的平方根是：正数正数a的算术平方根的算术平方根a正数正数a a的算术平方根的相反数的算术平方根的相反数（即：正数（即：正数a a的负的平方根）的负的平方根）正数正数a的平方根的平方根11表示表示a表示表示a表示表示例如：例如： 9 的平方根是：的平方根是：表示的意义表示的意义请你区别（a0）,a,a, a分别表示什么意义？分别表示什么意义？例例2 2
7、先说出下列各式的意义，再计算。先说出下列各式的意义，再计算。 4991.2225.3.1004 的平方根的平方根 的算术平方根的算术平方根 的负平方根的负平方根aaa平方根与算术平方根有什么区别和联系？平方根与算术平方根有什么区别和联系？议议一一议议 区别区别 平方根平方根 算术平方根算术平方根aa联系联系(1) 平方根包含算术平方根平方根包含算术平方根(2) 被开方数都为非负数被开方数都为非负数 (3) 0的平方根和算术平方根都是的平方根和算术平方根都是0（4）平方根和算术平方根都是开平方运算平方根和算术平方根都是开平方运算定定 义义个个 数数表表 示示结结 果果 如一个数的平方等于如一个数
8、的平方等于a，这，这个数就叫做个数就叫做a的平方根的平方根 非负数非负数a的非负平方的非负平方根叫根叫a的算术平方根的算术平方根一个一个两两 个个 正数的平方根一正一负，正数的平方根一正一负，互为相反数。互为相反数。 正数的算术平方根正数的算术平方根只有一个正数。只有一个正数。区别区别你知道算术平方根、平方根、立方根联系和区别吗？你知道算术平方根、平方根、立方根联系和区别吗？算术平方根算术平方根 平方根平方根 立方根立方根表示方法表示方法a的取值的取值性性质质a3aa0a是任何数开开方方a0a正数正数0负数负数正数（正数（1个）个）0没有没有互为相反数互为相反数(2个个)0没有没有正数（正数（
9、1个）个）0负数（一个）负数（一个）求一个数的平方求一个数的平方根的运算叫开平根的运算叫开平方方求一个数的立方求一个数的立方根的运算叫开立根的运算叫开立方方是本身是本身0,100,1,-1第16章 二次根式16.1 二次根式谈谈上节课的收获a a的平方根的平方根底数底数幂幂被开方数被开方数ax 互为互为逆运算逆运算ax 2根号根号2指数指数根指根指数数什么是一个数的算术平方根？如何表示？什么是一个数的算术平方根？如何表示？正数的正的平方根叫做它的算术平方根。正数的正的平方根叫做它的算术平方根。什么叫做一个数的平方根？如何表示？什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，如果一个正数一般地，如果一
10、个正数x的平方等于的平方等于a，那么这，那么这个正数个正数x叫做叫做a的平方根。的平方根。用用 (a0)表示。表示。a0 0的算术平方根平方根是的算术平方根平方根是0 0a a的平方根是的平方根是x 正数有两个平方根且互为相反数；正数有两个平方根且互为相反数； 0 0有一个平方根就是有一个平方根就是0 0； 负数没有平方根。负数没有平方根。1、平方根的性质：、平方根的性质：2.2.试一试试一试 ：说出下列各式的意义；116 ,81,0 ,10 ;49观察：观察：上面几个式子中，上面几个式子中，被开方数被开方数的特点？的特点？被开方数是非负数被开方数是非负数 3 3、 （a0）表示什么？表示什么
11、？a表示非负数a的算术平方根复习 回顾复习复习1、如果、如果 ，那么，那么 ；42xx2、如果、如果 ，那么，那么 ；32xx3、如果、如果 ，)0(2aaxx那么那么 。x2 23a1.1.如图所示的值表示正方形的如图所示的值表示正方形的面积，则正方形的边长是面积，则正方形的边长是 3b b-32.要修建一个面积为要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池，的圆形喷水池，它的半径为它的半径为 m（ 取取3.14）；23、关系式中、关系式中 ，用含有，用含有h的式子的式子表示表示t，则，则t为为 。25th 5h导入导入 3b 表示一些表示一些正数正数的的算术平方根算术平方根.的式子叫做二次根式
12、形如 a)0( a你认为所得的各代数式有哪些共同特点？你认为所得的各代数式有哪些共同特点？a被开方数被开方数二次根号二次根号25h新授新授:读作读作“根号根号 ”a(0).a a 形如的式子叫做二次根式2. a可以是数可以是数,也可以是式也可以是式.3. 形式上含有二次根号形式上含有二次根号4. a0, 0 a5.既可表示开方运算既可表示开方运算,也可表示运算的结果也可表示运算的结果.1.表示表示a的算术平方根的算术平方根( ( 双重非负性双重非负性) )本课学习目标： （1）二次根式的概念）二次根式的概念( 双重非负性双重非负性) （2）根号内字母的取值范围）根号内字母的取值范围 （3）二次
13、根式的性质）二次根式的性质(1,2)请你凭着自己已有的知识请你凭着自己已有的知识,说说说对二次根式说对二次根式 的认识！的认识！a ?(1) 代数式代数式 是二次根式吗是二次根式吗?a答答:代数式代数式 只有在只有在条件条件a0的情况下的情况下,才属于二次根式才属于二次根式!a二次根式是属于有二次根式是属于有特殊条件特殊条件的代数式的代数式.(2) 是二次根式吗？是二次根式吗？22答：符合条件答：符合条件(1)被开方数为非负数被开方数为非负数; (2) 含含有二次根号有二次根号，所以，所以 是二次根式是二次根式2222(3) 代数式代数式 是二次根式是二次根式吗吗?12(2),(0)aaxx答
14、答:是的是的,二次根式的被开方数可以是二次根式的被开方数可以是整式或分式整式或分式.1a 而而 这类代数式，应把这类代数式，应把 这些二次根式看这些二次根式看做系数或常数项，整个代数式仍看做整式。做系数或常数项，整个代数式仍看做整式。2223xx2 ,3如：如： 这类代数式只能称为含有二次这类代数式只能称为含有二次根式的代数式，不能称之为二次根式；根式的代数式，不能称之为二次根式；注意说一说说一说: 下列代数式中哪些是二次根式？下列代数式中哪些是二次根式？219a222 aax)0(x23m 1(3)aa 16例例1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。为何值时，下列各式在实数范围内有意义
15、。(1)5x2(2) 1x(3) 13xx例题吧例题吧 （3）由题意可知：）由题意可知： 0301xx15x (1) 由由x-5 0,得得x 55x当当 x 5时，时， 有意义有意义.当当 -1 x 3时，时， 有意义有意义.13xx 解：解：(2) 因为不论因为不论x是什么实数，都有是什么实数，都有 0. 21 x当当 是任何实数时，是任何实数时， 有意义有意义.21x50105xx15x当当x取何值时，取何值时， 在实数范围内有意义。在实数范围内有意义。x-5 0解：由题意得解：由题意得15x 当当x5时，时， 在实数范围内有意义。在实数范围内有意义。xx1)4(4)3(2 2、 x取何值
16、时取何值时,下列二次根式有意义下列二次根式有意义?xx3)2(1) 1 (1x0 x为全体实数x0 x3)5(x0 x21)6(x0 x求二次根式中字母的取值范围的基本依据：求二次根式中字母的取值范围的基本依据：被开方数不小于零；被开方数不小于零；分母中有字母时，要保证分母不为零。分母中有字母时，要保证分母不为零。xx1)4(4)3(2 1、 x取何值时取何值时,下列二次根式有意义下列二次根式有意义?xx3)2(1) 1 (1x0 x为全体实数x0 x3)5(x0 x21)6(x0 x01(2)3xxx(7)1,2xx 且2xx(8)0 x 1)9(2x为全体实数x22242023121731
17、. 22222）有（术平方根的意义，的算术平方根，根据算是aa2)(即：非负数即：非负数的的算术平方根算术平方根的的平方平方等于等于它的本身它的本身. .参考图参考图1-2,完成以下填空完成以下填空:22212_;7_;_.2aa面积面积a271220aaa大家抢答大家抢答 222222113_, 2_, 32_,73245_, 5_.3 532712323一般地一般地,二次根式有下面的性质二次根式有下面的性质:快速判断快速判断 222222113_, 2_, 32_,73245_, 5_.3 532712323aa?9 41615172(0)aaa2222_,5_,0_,|2| _;| 5|
18、 _;|0| _. 一般地一般地,二次根式有下面的性质二次根式有下面的性质:2255000a 当当 时时, ; 当当 时时,2_a 2_.a 0a aa2aa2a请比较左右两边的式子请比较左右两边的式子,议一议议一议: 与与 有什么关系有什么关系?|a2(0)0(0)(0)aaaaaaa?)(22有区别吗与 aa2:从运算顺序来看：从运算顺序来看：2a2a先开方先开方, ,后平方后平方先平方先平方, ,后开方后开方=a2a2a= a (0)0(0)(0)aaaaa1.从读法来看：从读法来看：3.从取值范围来看：从取值范围来看：2aa取任何实数取任何实数a002a根号根号a a的平方的平方根号下
19、根号下a a平方平方2a2a4.从运算结果来看从运算结果来看:二次根式的性质及它们的应用二次根式的性质及它们的应用: : 2aaa0-a( a 0 )( a =0 )( a 0 ) 2, (0)aa a （1）（2）2)2)(1 (2)2)(2(2)2()3(2)2()4(22)5(2)2()6(22-2|-2|=2|2|=2-|-2|=-2 2222322211_, 2_, 33_,5141_, 54_, 62_.3 113482531(7) 数数 在数轴上的位置如图在数轴上的位置如图,则则 a2_.a0-2-11a(8)如图如图, 是直角坐标系是直角坐标系中一点中一点,求点求点P到原点的距
20、离到原点的距离.5,2P5, 2P025yxa3例题例题2(2)21,3.xxx 其中2(1)(3) ;例例2 求下列二次根式的值：求下列二次根式的值：解：解：2(3)3因为因为 0，所以，所以| |= （ ）= 333所以，所以，2(3)3.3| |(1)22(2)21(1)xxx 解：解：1x| |当当 时，原式时，原式= 3x 3 1| |=31所以，当所以，当 时，元二次根式时，元二次根式的值是的值是 .3x 31 2211(x(xy)y)21:原式解跟踪练习跟踪练习将下列各式化简：将下列各式化简： 2223yxyxyxxy0 xy )yx（原式(2)2:()x y解原 式xy(1 2
21、) 12 小结：小结：1. 1.怎样的式子叫二次根式？怎样的式子叫二次根式？2.2.怎样判断一个式子是不是二次根式？怎样判断一个式子是不是二次根式？3.3.如何确定二次根式中字母的取值范围？如何确定二次根式中字母的取值范围？.的式子叫做二次根式形如 a)0( a（1）. 形式上含有二次根号形式上含有二次根号（2 2）. .被开方数被开方数a a为非负数，为非负数，分母不为分母不为0 0被开方数大于等于被开方数大于等于0 0结合数轴结合数轴, ,写出解集来写出解集来4.真正理解：真正理解：)0(2aaa aa2(0)0(0)(0)a aaa a这两个性质的概念，这两个性质的概念，我们才能我们才能
22、灵活灵活地去解决有关二次根式的问题。地去解决有关二次根式的问题。解决二次根式类问题时特别注意条件，解决二次根式类问题时特别注意条件，有时还得挖掘有时还得挖掘隐含隐含条件。条件。（双重非负性）.0,0.5aa1、求下列二次根式中字母的取值范围：（1） （2） （3） （4）43x21x1x2222y）（132x130216xx(1)解:由题意得,2(2)0yy可取全体实数(2)解:由题意得,21012xx (3)解:由题意得,4 30212104 304 30或21021 04132xxxxxxxx (4)解:由题意得,422.2.化简及求值：化简及求值：(1) (2) (3) (1) (2)
23、(3) (a a0,b0,b0 0) )(4)(4) 其中其中a=a= (5)(5)4a22a b21 2a a22) 12()21 (342(1) (2) (3) (1) (2) (3) (a a0,b0,b0 0) )(4)(4) 其中其中a=a= (5)(5)4a22a b21 2a a22) 12()21 (422解：原式22aa解：原式ab解：原式1) 1(:2aa原式解2212121221解：原式ab?31313133）（时，原式当a2x10200且4xxxx解:由题意得,1. 求下列各式有意义时的求下列各式有意义时的X取值范围：取值范围：| 31 4xx| 301 41 40|
24、30| 30或1 401 403或333或114413或34xxxxxxxxxxxxxx 解:由题意得,解：原式=22(3)(1)xx=|x-3|+|x+1|x-3|+|x+1|-1x3 , x-3-1x00 , x+10原式原式 = (3-x) + (x+1) = 4= (3-x) + (x+1) = 4_,4)4(2的取值范围是则思考：若mmmmm4?)4(24m404mm41682mmm1.若若 ,则则x的取值范围为的取值范围为 ( )xx1)1 (2(A) x1 (B) x1 (C) 0 x1 (D)一切有理数一切有理数A 3.实数实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简在数轴上的位
25、置如图所示，化简 22()()abbccaabcA A B B C C D D2x x22x 22x 2.2.下列式子一定是二次根式的是（下列式子一定是二次根式的是（ ）C C2()b c a 2()c a b 2()b c a 4.4.已知已知a a，b b，c c为为ABCABC的三边长，化简：的三边长，化简：+ +- -0)(, 0)(, 0,acbbacacbcba是三角形三边这一类问题注意把二次根式的运算搭载在三角形三边之间的关系这一类问题注意把二次根式的运算搭载在三角形三边之间的关系这个知识点上，特别要应用好。这个知识点上，特别要应用好。acbbacacb解：原式cabacbcba
26、acb3原式213 )1xx( )2 （5.化简化简 22()1 ( 1 )( )aaaa1解：原式121aaa31031xx6.把下列各式写成平方差的形式，把下列各式写成平方差的形式， 再在实再在实数范围内分解因式；数范围内分解因式；4(1)9a 42(2)69aa2 22(1)3a原式 （ ）22(2)(3)a原式)3)(3(22aa)3)(3)(3(2aaa22)3()3(aa解：（）（）（），（），时，时，、当、当yxyx0311的值。的值。求求、已知、已知xyzzyx02365223.3.根据非负数的性质，就可以确定字母的值根据非负数的性质，就可以确定字母的值. .2.2.如果几个非
27、负数的和为零，那么每一个非负数都为零如果几个非负数的和为零，那么每一个非负数都为零. .到现在为止，我们已学过哪些数非负数形式？到现在为止，我们已学过哪些数非负数形式？思考：思考：为偶数）nan()0(aaa的双重非负性再议a非负数非负数的性质：的性质：1.1.几个非负数的和、积、商、乘方及几个非负数的和、积、商、乘方及算术平方根仍是非负数算术平方根仍是非负数cbacba则若（, 023) 2232(3)x2( 2)x6.6.化简：化简：- -分析：本题是化简，说明题中的每一个二次根式均在有意分析：本题是化简，说明题中的每一个二次根式均在有意义的范围内，本题有一个隐条件，即义的范围内，本题有一
28、个隐条件，即2-x0,x2.123, 2, 02xxxx原式解()()a xaa yaxaay22223xxyyxxyy7.设等式设等式在实数范围内成立，其中在实数范围内成立，其中a, x, y 是两两不等的实数，求是两两不等的实数，求的值。的值。解：解：()()a xaa yaxaay313, 02222yxyxyxyxyxyxa巩固提高巩固提高1：2( 32 )x1.分别求下列二次根式中的字母的取值范围分别求下列二次根式中的字母的取值范围2(1)x32xx（1）（2）（3）23023).1 (xx为全体实数x).2(23203).3(xxxx且且2.当当x_时时, 33xx有意义有意义.=
29、022()2 ()abba3.化简：化简：=_2a-3b4.要使式子要使式子 有意义，那么有意义，那么x的取值范围是（的取值范围是（ ）A、x0 B、x0 C、x=0 D、x0 xxC332yxx3yx5.已知已知,求求的值。的值。3932, 3, 33, 03032yxyxxxxx只有且且解0 xy 2x y6.已知已知，化简：，化简：yxyxyxyxxy22, 0, 0:0, 0得解由73,73xy22xxyy7.已知：已知：，求，求的值。的值。1612283)(4,72222xyyxyxyxxyyx解2.2.已知已知a,ba,b为实数，且满足为实数，且满足 , ,你能求出你能求出a a及
30、及a+ba+b 的值吗？的值吗？12112bba2ab1.1.若若=0=0，则，则=_=_。3.已知已知 有意义有意义,那那A(a, )在在 象限象限. 二二a1由题意知由题意知a a0 0点点A(A(, ,) )a22(5)(22)ab5巩固提高巩固提高2：2(12)2( 23)2( 34)4.4.计算计算：+ + + + +2)20112010(5.如果如果2(5)a+b-2=0，求以，求以a、b为边长的等腰为边长的等腰 三角形的周长。三角形的周长。1201120102011.342312解原式122, 5, 02)5(2的周长为解ABCbaba（）（）（），（），时，时，、当、当yxyx
31、0311的的值值。求求、已已知知xyzzyx0236522注意：注意：1 1）几个几个非负数非负数的的和和为为0 0时，这几个非负数时，这几个非负数必须必须同时为同时为0.0.2 2）三个具有非负性的式子：）三个具有非负性的式子：)0(0aa02a0a计算计算:计算计算: 222211015;23;321,3.xxx 其 中 22232421|;535323432.7557解：解： 16x2 = （4x）2 练一练：练一练：x2-6x+9 + x2+2x+1 ( -1x3 ) =|4x|解：原式解：原式 = （x-3）2 + （x+1）2 = |x-3| + |x+1| -1x0 原式原式 =
32、 (3-x) + (x+1) = 4 x0 , 4x0,原式原式 = - 4x 试一试试一试1.计算下列各题计算下列各题:215(1)(2)2512.若若 ,则则x的取值范围为的取值范围为 ( )xx1)1 (2A. x1 B. x1 C. 0 x1 D.一切有理数一切有理数3. 与与 是一样的吗？是一样的吗？你的理由是什么你的理由是什么.2a a（ ）2切入点切入点：从字母的取值范围入手。从字母的取值范围入手。l1.已知已知 ，你能求出，你能求出 的值吗？的值吗？442yxxxyl3.已知已知 ，你能求出，你能求出 a 的取值范围吗？的取值范围吗？l2.已知已知 与与 互为相反数，互为相反数， 求求 、 的值的值.29xy3xyxy切入点切入点：从代数式的非负性入手。从代数式的非负性入手。l4.已知已知 为一个非负整数，试求非负整数为一个非负整数，试求非负整数 的值的值10aa切入点切入点：分类讨论思想。分类讨论思想。1aa
