1、第2课时数学归纳法应用举例(习题课)【课标要求】1进一步理解数学归纳法原理2会用数学归纳法证明整除问题以及平面几何中的有关问题【核心扫描】1利用数学归纳法证明整除问题，注意“添项”与“减项”等变形技巧(难点)2证明几何问题时，要正确分析由nk到nk1时几何图形的变化规律(难点) 题型一用数学归纳法证明整除性问题【例1】 已知数列an满足a10，a21，当nN*时，an2an1an，求证：数列an的第4m1项(mN*)能被3整除思维启迪 数学归纳法证明整除问题的方法与其证明等式和不等式的方法一样当由nk到nk1的证明时要注意分解成几个含除式的多项式的和差变化证明(1)当m1时，a4m1a5a4a
2、3(a3a2)(a2a1)(a2a1)2a2a13a22a1303.即当m1时，第4m1项能被3整除(2)假设当mk时，a4k1能被3整除，则当mk1时，a4(k1)1a4k5a4k4a4k32a4k3a4k22(a4k2a4k1)a4k23a4k22a4k1.显然，3a4k2能被3整除，又由假设知a4k1能被3整除3a4k22a4k1能被3整除即当mk1时，a4(k1)1也能被3整除由(1)和(2)知，对于nN*，数列an中的第4m1项能被3整除规律方法 本题若从递推式入手，设法求出通项公式，会相当困难这时，可转向用数学归纳法证明【变式1】 用数学归纳法证明：(x1)n1(x2)2n1 (n
3、N*)能被x23x3整除证明(1)当n1时，(x1)11(x2)21x23x3，显然命题成立(2)假设nk (k1)时，命题成立，即(x1)k1(x2)2k1能被x23x3整除，则当nk1时，(x1)k2(x2)2k1(x1)k2(x1)(x2)2k1(x2)2k1(x1)(x2)2k1(x1)(x1)k1(x2)2k1(x2)2k1(x23x3)由假设可知上式可被x23x3整除，即nk1时命题成立由(1)(2)可知原命题成立 题型二探索问题思维启迪 由几个简单的特殊形式找出a的最大值，然后用数学归纳法进行证明即可规律方法 利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：先通过观察、判断，猜想出结论，
4、然后用数学归纳法证明这种分析问题和解决问题的思路是非常重要的，特别是在求解存在性或探索性问题时【变式2】 已知f(n)(2n7)3n9，是否存在正整数m，使得对任意nN*，都能使m整除f(n)？如果存在，求出m最大的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由解f(1)36，f(2)108，f(3)360猜想：能整除f(n)的最大整数是36.用数学归纳法证明如下：(1)当n1时，f(1)(217)3936，能被36整除(2)假设nk (k1)时，f(k)能被36整除，即(2k7)3k9能被36整除则当nk1时，f(k1)2(k1)73k193(2k7)3k918(3k11)由归纳假设3(2k7)3k
5、9能被36整除，而3k11是偶数18(3k11)能被36整除当nk1时，f(n)能被36整除由(1)(2)可知，对任意nN*，f(n)能被36整除题型三用数学归纳法证明几何问题【例3】 平面上有n个圆，每两圆交于两点，每三圆不过同一点，求证这n个圆分平面为n2n2个部分思维启迪 先由n1,2,3时找出是否遵循n2n2的特点再找出每增加一个圆分割平面增加的特点然后用数学归纳法进行证明一定要结合图形进行分析证明(1)当n1时，n2n21122，而一圆把平面分成两部分，所以n1命题成立(2)设nk时，k个圆分平面为k2k2个部分，则nk1时，第k1个圆与前k个圆有2k个交点，这2k个交点分第k1个圆
6、为2k段，每一段都将原来所在的平面一分为二，故增加了2k个平面块，共有：(k2k2)2k(k1)2(k1)2个部分对nk1也成立由(1)(2)可知，这n个圆分割平面为n2n2个部分规律方法 如何应用归纳假设及已知条件，其关键是分析k增加“1”时，研究第(k1)个圆与其他k个圆的交点个数问题，通常要结合图形分析方法技巧用数学归纳法证明整除问题【示例】 求证：二项式x2ny2n(nN)能被xy整除思路分析 由题目可获取以下主要信息：与正整数有关的命题直接对x2ny2n进行分解得出因式xy有困难解答本题可采用数学归纳法x2ky2k与x2y2都能被xy整除，x2(x2ky2k)y2k(x2y2)能被xy整除，即nk1时，x2k2y2k2能被xy整除由(1)(2)可知，对任意的正整数n命题均成立方法点评 与n有关的整除问题一般都用数学归纳法证明其中关键问题是从nk1时的表达式中分解出nk时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式这样才能得结论成立.
