1、导入新课讲授新课当堂练习课堂小结28.1 锐角三角函数第二十八章 锐角三角函数第1课时 正弦函数学习目标1. 理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形 的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定 (即正弦值不变). (重点)2. 能根据正弦概念正确进行计算. (重点、难点) 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌. 先测得斜坡的坡脚 (A )为 30，为使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？情境引入导入新课导入新课30讲授新课讲授新课已知直角三角形的边长求正弦值一 从上述情境中，你可以找到一个什么数学问题呢？能否结合数学图
2、形把它描述出来？ABC3035m?合作探究ABC3035m 如图，在 RtABC 中，C=90，A=30，BC = 35 m，求AB.根据“在直角三角形中，30角所对的边等于斜边的一半”. 即可得 AB = 2BC =70 (m). 也就是说，需要准备 70 m 长的水管.12BCAB，如果出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？ 在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 .归纳：12 RtABC 中，如果C=90，A = 45，那么 BC 与 AB 的比是一个定值吗？因为A=45，则AC=BC，由勾股定理得 AB2=AC2+B
3、C2=2BC2. 思考：所以 2ABBC，因此2.22BCBCABBC 在直角三角形中，如果一个锐角等于45，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 .归纳：22当A 是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？ 任意画 RtABC 和 RtABC，使得CC90，AA，那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？ABCABCBCABBCA B因为CC90，AA，所以RtABC RtABC. 所以 这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，A 的对边与斜边的比也是一个固定值ABBCA BBCBCBCABAB 如图，在 RtABC
4、 中，C90，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作 sin A 即例如，当A30时，我们有；2130sinsinA当A45时，我们有.2245sinsinAABCcab对边斜边归纳：A的对边斜边sin A =.ac例1 如图，在 RtABC 中，C=90，求 sinA 和sinB 的值.ABC43图？ABC135图？典例精析解：如图，在 RtABC 中，由勾股定理得2222=435.ABACBC因此3sin5BCAAB，4sin.5ACBAB如图，在RtABC中，由勾股定理得2222=13512.ACABBC因此5sin13BCAAB，12sin.13ACBABsinA = (
5、) BCABsinA = ( ) BCAC1. 判断对错A10m6mBC练一练sinB = ( ) BCABsinA =0.6 m ( ) sinB =0.8 m ( ) 2. 在 RtABC中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100 倍，sinA 的值 ( ) A. 扩大100倍 B. 缩小 C. 不变 D. 不能确定C1100例2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 的正弦值.解：如图，设点 A (3，0)，连接 PA .A (0，3)在RtAPO中，由勾股定理得2222345.OPOAAP因此4sin.5APOP方法总结：结合平
6、面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sin 等于 ( )OxyP (a，b)A. B.C. D.abba22aab22bab练一练D已知锐角的正弦值求直角三角形的边长二例3 如图，在 RtABC 中，C=90， ，BC = 3，求 sinB 及 RtABC 的面积.1sin3A ABC提示：已知 sinA 及A的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长. 然后再利用勾股定理，求出 BC 的长度，进而求出 sinB 及 RtABC 的面积.解： 1sin3A，13BCAB， AB =
7、3BC =33=9.2222=936 2.ACABBC6 22 2sin.93ACBAB11=6 23=9 2.22ABCSAC BC 在 RtABC 中，C = 90，sinA = k，sinB = h，AB = c，则BC = ck，AC = ch. 在 RtABC 中，C = 90，sinA = k，sinB = h，BC=a，则AB =ak，AC =ahk，归纳：1. 在RtABC中，C=90，sinA= ，BC=6，则 AB 的长为 ( )D35A. 4 B. 6 C. 8 D. 102. 在ABC中，C=90，如果 sinA = ，AB=6， 那么BC=_.132练一练例4 在 A
8、BC 中，C=90，AC=24cm，sinA= ，求这个三角形的周长725解：设BC=7x，则AB=25x，在 RtABC中，由勾 股定理得22222524 .ACABBCBCx即 24x = 24cm，解得 x = 1 cm.故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm.所以 ABC 的周长为 AB+BC+AC = 7+24+25 = 56 (cm).方法总结：已知一边及其邻角的正弦函数值时，一般需结合方程思想和勾股定理，解决问题.当堂练习当堂练习1. 在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大 2 倍，则 锐角 A 的正弦值 ( ) A. 扩大 2 倍 B.不变 C.
9、缩小 D. 无法确定B122. 如图， sinA的值为 ( )7ACB330A. B. C. D.123732C2 1073. 在 RtABC 中，C = 90 ，若 sinA = ，则 A= ， B= .2245454. 如图，在正方形网格中有 ABC，则 sinABC 的值为 .1010解析： AB ，BC ，AC ， AB2 BC2AC2， ACB90，sinABC20182210.1020ACAB5. 如图，点 D (0，3)，O (0，0)，C (4，0)在 A 上， BD是 A 的一条弦，则 sinOBD =_.解析：连接 CD，可得出 OBD= OCD，根据点 D (0，3)，C
10、(4，0)，得 OD = 3，OC = 4，由勾股定理得出 CD = 5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sinOCD 即可35OxyACBD6. 如图，在 ABC 中， AB = BC = 5，sinA = ，求 ABC 的面积.D55CBA45解：作BDAC于点D， sinA = ，454sin545BDABA ，2222543.ADABBD又 ABC 为等腰，BDAC， AC=2AD=6，SABC=ACBD2=12.7. 如图，在 ABC 中，ACB=90，CDAB. (1) sinB 可以由哪两条线段之比表示?ACBD解： A =A，ADC =ACB = 90， ACD ABC，A
11、CD = B，sinsin.ACCDADBACDABBCAC(2) 若 AC = 5，CD = 3，求 sinB 的值.解： 由题 (1)知2222534.ADACCD4sinsin.5ADBACDAC课堂小结课堂小结正弦函数正弦函数的概念正弦函数的应用已知边长求正弦值已知正弦值求边长A的对边斜边sin A =导入新课讲授新课当堂练习课堂小结28.1 锐角三角函数第二十八章 锐角三角函数第2课时 余弦函数和正切函数学习目标1. 认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函 数的概念. (重点)2. 能灵活运用锐角三角函数进行相关运算. (重点、难 点)导入新课导入新课问题引入ABC 如图，在
12、RtABC 中，C90，当锐角 A 确定时，A的对边与斜边的比就随之确定. 此时，其他边之间的比是否也确定了呢？讲授新课讲授新课余弦一合作探究 如图， ABC 和 DEF 都是直角三角形， 其中A =D，C =F = 90，则成立吗？为什么？DEDFABACABCDEF我们来试着证明前面的问题：A=D=，C=F=90，B=E，从而 sinB = sinE，因此.ACDFABDEABCDEF 在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关 如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA，即归纳：ABC斜边邻边A
13、的邻边斜边cos A =.ACAB从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角，有 cos = sin (90)从而有 sin = cos (90)练一练1. 在 RtABC 中，C90，AB13，AC12， 则cosA .12132. 求 cos30，cos60，cos45的值 解：cos30= sin (9030) = sin60 = ；32 cos60= sin (9060) = sin30=12； cos45= sin (9045) = sin45=2.2正切二合作探究 如图， ABC 和 DEF 都是直角三角形， 其中A =D，C =F = 90，则成立吗？为什么？DFEFACBCABCD
14、EF RtABC RtDEF.即 BC DF = AC EF ，A=D ，C =F = 90，.BCACEFDF.BCEFACDFABCDEF 由此可得，在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关如下图，在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 A 的正切，记作 tanA， 即归纳：A的对边A的邻边tan A =.ACABABC邻边对边A的正弦、余弦、正切都是A 的三角函数. 如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？想一想：1. 如图，在平面直角坐标系中，若点 P 坐标为 (3，4)， 则 tan POQ=_.练一练43OC
15、BA2. 如图，ABC 中一边 BC 与以 AC 为直径的 O 相切与点 C，若 BC=4，AB=5，则 tanA=_.43锐角三角函数三例1 如图，在 RtABC 中，C=90，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值.ABC106解：由勾股定理得2222 = 106 =8ACABBC，因此63sin=105BCAAB，84cos=105ACAAB，63tan=.84BCAAC典例精析1. 在RtABC中，C = 90，AC = 12，AB =13. sinA=_，cosA=_，tanA=_， sinB=_，cosB=_，tanB=_.练一练51312135125131213
16、1252. 在RtABC中，C90，AC=2，BC=3. sinA=_，cosA=_，tanA=_， sinB=_，cosB=_，tanB=_.3 13132 131332233 13132 1313在直角三角形中，如果已知两条边的长度，即可求出所有锐角的正弦、余弦和正切值ABC6例2 如图，在 RtABC中，C = 90，BC = 6， sinA = ，求 cosA、tanB 的值35解：sinBCAAB，5sin3BCABA=6=10.又22221068ACABBC ，4tan.3ACBBC=4cos5ACAAB=， 在直角三角形中，如果已知一 边长及一个锐角的某个三角函 数值，即可求出其
17、它的 所有锐角三角函数值ABC8解：3tan4BCAAC，63cos.105BCBAB 如图，在 RtABC 中，C = 90，AC = 8，tanA= ， 求sinA，cosB 的值练一练34338644BCAC ，22228610ABACBC，63sin105BCAAB，1. 如图，在 RtABC 中，斜边 AB 的长为 m， A=35，则直角边 BC 的长是 ( )sin35mA.cos35mB.cos35mC.cos35mD.A当堂练习当堂练习ABC2. 随着锐角 的增大，cos 的值 ( ) A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 不确定B当 090时，cos 的值随着角度的增大
18、(或减小) 而减小 (或增大)3. 已知 A，B 为锐角， (1) 若A =B，则 cosA cosB； (2) 若 tanA = tanB，则A B. (3) 若 tanA tanB = 1，则 A 与 B 的关系为： .=4. tan30= ，tan60= . 333A +B = 905. sin70，cos70，tan70的大小关系是 ( ) A. tan70cos70sin70 B. cos70tan70sin70 C. sin70cos70tan70 D. cos70sin70tan70解析：根据锐角三角函数的概念，知 sin701，cos701，tan701. 又cos70sin2
19、0，正弦值随着角的增大而增大，sin70cos70sin20. 故选D.D6. 如图，在 RtABC 中，C = 90，cosA = ， 求 sinA、tanA 的值1517解：15cos17ACAAB，88tan.1515BCkAACkABC设 AC = 15k，则 AB = 17k.2222(17 )(15 )8BCABACkkk，88sin1717BCkAABk，7. 如图，在 RtABC 中，ACB = 90，CDAB， 垂足为 D. 若 AD = 6，CD = 8. 求 tanB 的值.解: ACB ADC =90，B+ A=90， ACD+ A =90，B = ACD， tanB
20、= tanACD =63.84ADCD2222437ADABBD，8. 如图，在ABC中，AB=AC=4，BC=6. 求cosB 及 tanB 的值.解：过点 A 作 ADBC 于 D. AB = AC， BD = CD = 3，在 RtABD 中 tanB =ABCD提示：求锐角的三角函数值的问题，当图形中没有直角三角形时，可以用恰当的方法构造直角三角形.课堂小结课堂小结余弦函数和正切函数在直角三角形中，锐角 A 的邻边与斜边的比叫做角 A 的余弦A的大小确定的情况下，cosA，tanA为定值，与三角形的大小无关在直角三角形中，锐角 A 的对边与邻边的比叫做角 A 的正切余弦正切性质导入新课
21、讲授新课当堂练习课堂小结28.1 锐角三角函数第二十八章 锐角三角函数第3课时 特殊角的三角函数值学习目标1. 运用三角函数的知识，自主探索，推导出30、 45、60角的三角函数值. (重点)2. 熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加 以运用. (难点)导入新课导入新课复习引入ABCA 的邻边A 的对边斜边A的对边斜边sin A =.BCABA的邻边斜边cos A =.ACABA的对边A的邻边tan A =.ACAB1. 对于sin与tan，角度越大，函数值越 ； 对于cos，角度越大，函数值越 .2. 互余的两角之间的三角函数关系： 若A+B=90，则sinA cosB，cosA si
22、nB， tanA tanB = .大小=1讲授新课讲授新课30、45、60角的三角函数值一 两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值30604545合作探究设30所对的直角边长为a，那么斜边长为2a，另一条直角边长 =2223 .aaa33cos3022aa，3tan30.33aa1sin3022aa，30601cos6022aa，3tan603.aa33sin6022aa，3060设两条直角边长为 a，则斜边长 =222 .aaa2cos4522aa，tan451.aa2sin4522aa，4545 30、45、60角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 锐角a三
23、角函数 30 45 60sin acos atan a归纳：1232332222132123例1 求下列各式的值：提示：cos260表示(cos60)2，即(cos60)(cos60).解：cos260+sin26022131.22典例精析(1) cos260+sin260；(2) cos45tan45.sin45解：cos4522tan4510.sin4522 练一练计算：(1) sin30+ cos45；解：原式 =1212.222(2) sin230+ cos230tan45.解：原式 =221310.22 通过三角函数值求角度二解： 在图中，ABC36例2 (1) 如图，在RtABC中
24、，C = 90，AB = ， BC = ，求 A 的度数；63 A = 45.32sin26BCAAB，解： 在图中，ABO = 60. tan = ，33AOOBBOOB(2) 如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，AO = OB，求 的度数.3求满足下列条件的锐角 .练一练(1) 2sin = 0； (2) tan1 = 0. 3解：(1) sin = ， 32 = 60.(2) tan =1， = 45.例3 已知 ABC 中的 A 与 B 满足 (1tanA)2 |sinB |0，试判断 ABC 的形状3232解： (1tanA)2 | sinB |0， tanA1，sinB A4
25、5，B60， C180456075， ABC 是锐角三角形32，32，3练一练33解： | tanB | (2 sinA )2 0，33 tanB ，sinA B60，A60. 1. 已知：| tanB | (2 sinA )2 0，求A，B的度数.2. 已知 为锐角，且 tan 是方程 x2 + 2x 3 = 0 的一 个根，求 2 sin2 + cos2 tan (+15)的值3解：解方程 x2 + 2x 3 = 0，得 x1 = 1，x2 = 3. tan 0， tan =1， = 45. 2 sin2 + cos2 tan (+15) = 2 sin245+cos245 tan6033
26、22222+33223.2 当堂练习当堂练习 1. tan (+20)1，锐角 的度数应是 ( ) A40 B30 C20 D10 D3A. cosA = B. cosA =C. tanA = 1 D. tanA =2. 已知 sinA = ，则下列正确的是 ( )1222323B3. 在 ABC 中，若 ， 则C = . 213sincos022AB120 4. 如图，以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线 OA 交于点 B，再以 B 为圆心，BO 长为半径画弧， 两弧交于点 C，画射线 OC，则 sinAOC 的值为 _.32OABC5. 求下列各式的值： (1) 12 sin30cos
27、30； (2) 3tan30tan45+2sin60； (3) ； (4)30tan160sin160cos答案：(1)3122 31(2)(3) 20200512sin45cos60112.2 (4) 346. 若规定 sin (-) = sincos cossin，求 sin15 的值.解：由题意得 sin15= sin (4530) = sin45cos30 cos45sin30232162.222247. 如图，在ABC中，A=30， ， 求 AB的长度.3tan2 32BAC，ABCD解：过点 C 作 CDAB 于点 D.A=30， ，2 3AC 12 332CD ，1sin2CDA
28、AC，3cos2ADAAC，32 332AD ，3tan2CDBBD，232.3BD ABCD AB = AD + BD = 3 + 2 = 5.课堂小结课堂小结30、45、60角的三角函数值通过三角函数值求角度特殊角的三角函数值导入新课讲授新课当堂练习课堂小结28.1 锐角三角函数第二十八章 锐角三角函数第4课时 用计算器求锐角三角函数值及锐角学习目标1. 会使用科学计算器求锐角的三角函数值. (重点)2. 会根据锐角的三角函数值，借助科学计算器求锐角 的大小. (重点)3. 熟练运用计算器解决锐角三角函数中的问题. (难点)导入新课导入新课 复习引入 锐角a三角函数 30 45 60sin
29、 acos atan a1232332222132123填写下表： 通过前面的学习，我们知道当锐角 A 是 30、45、60等特殊角时，可以求得这些特殊角的锐角三角函数值；如果锐角 A 不是这些特殊角，怎样得到它的锐角三角函数值呢？讲授新课讲授新课用计算器求锐角的三角函数值或角的度数一例1 (1) 用计算器求sin18的值；解：第一步：按计算器 键；sin第二步：输入角度值18；屏幕显示结果 sin18= 0.309 016 994.不同计算器操作的步骤可能不同哦！典例精析(2) 用计算器求 tan3036 的值；解：方法：第二步：输入角度值30.6 (因为3036 = 30.6)；屏幕显示答
30、案：0.591 398 351.第一步：按计算器 键；tan屏幕显示答案：0.591 398 351.方法：第一步：按计算器 键；tan第二步：输入角度值30，分值36 (使用 键)； (3) 已知 sinA = 0.501 8，用计算器求 A 的度数.第二步：然后输入函数值0. 501 8；屏幕显示答案： 30.119 158 67(按实际需要进行精确).解：第一步：按计算器 键；2nd Fsin还可以利用 键，进一步得到A = 300708.97 (这说明锐角 A 精确到 1 的结果为 307，精确到 1 的结果为3079). 2nd F 练一练1. 用计算器求下列各式的值(精确到0.00
31、01)： (1) sin47；(2) sin1230； (3) cos2518；(4) sin18cos55tan59.答案：(1) 0.7314 (2) 0.2164 (3) 0.9041(4) 0.78172. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角 A， B的度数 (结果精确到0.1)： (1) sinA0.7，sinB0.01； (2) cosA0.15，cosB0.8； (3) tanA2.4，tanB0.5.答案：(1) A 44.4；B 0.6. (2) A 81.4；B 36.9. (3) A 67.4；B 26.6.利用计算器探索三角函数的性质二例2 通过计算 (可用计算器)
32、，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想： sin30_2sin15cos15； sin36_2sin18cos18； sin45_2sin22.5cos22.5； sin60_2sin30cos30； sin80_2sin40cos40.猜想：已知045，则sin2_2sincos.=(2) 如图，在ABC中，ABAC1，BAC2， 请利用面积方法验证 (1) 中的结论证明： SABC = AB sin2 AC = sin2， SABC = 2ABsin ACcos = sin cos， sin22sincos.121212 sin20= ， cos20= ， sin220= ， cos220
33、= ； sin35= ，cos35= ， sin235= ，cos235= ； 猜想： 已知090，则 sin2 + cos2 = .0.34200.57350.93970.11700.88300.8192 0.32900.6710练一练(1) 利用计算器求值，并提出你的猜想：1(2) 如图，在 RtABC 中，C=90，请验证你在 (1) 中的结论.证明：在 RtABC中，a2 + b2 = c2，bABCacsincosabcc，2222sin+cosabcc+2221.abc1. 用计算器求sin243718的值，以下按键顺序正确 的是 ( ) A B C D A当堂练习当堂练习sin2
34、4 37 81 =sin24 37 81 =2nd Fsin24 81 =sin24 37 81 =2nd F2. 下列式子中，不成立的是 ( ) Asin35= cos55 Bsin30+ sin45= sin75 C cos30= sin60 Dsin260+ cos260=1B(1) sin40 (精确到0.0001)；(2) sin1530 (精确到 0.0001)；(3) 若sin = 0.5225，则 (精确到 0.1)；(4) 若sin = 0.8090，则 (精确到 0.1).0.64280.267231.53. 利用计算器求值：54.0 4. 已知：sin232+ cos2
35、=1，则锐角 = .32 5. 用计算器比较大小：20sin87_ tan87. 6. 在 RtABC 中，C = 90，BAC = 4224， A 的平分线 AT = 14.7cm，用计算器求 AC 的长 (精确到0.001).解： AT 平分BAC，且BAC = 4224， CAT = BAC = 2112. 在 RtACT 中 cosCAT = ， AC = AT cosCAT = 14.7cos2112 13.705(cm).12ACAT课堂小结课堂小结用计算器求锐角三角函数值及锐角用计算器求锐角的三角函数值或角的度数注意：不同的计算器操作步骤可能有所不同利用计算器探索锐三角函数的新知
