1、7.3.1离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值1讲课人：邢启强2离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列为随机变量为随机变量X的概率分布列，简称的概率分布列，简称X的分布列。的分布列。我们称我们称X取每一个值取每一个值(=1,2, )的概率的概率(=)=,i=1,2,3 xn设离散型随机变量设离散型随机变量X可能取的值可能取的值为为1,2,3, ,1、概率分布列（分布列）、概率分布列（分布列）注意：.列出随机变量的所有可能取值； .求出随机变量的每一个值发生的概率.求随机变量求随机变量X的分布列的步骤如下的分布列的步骤如下:(1).确定 X 的可能取值 xi ;(2).求出相应的概率
2、P=(X=xi)= pi ;(3).列成表格的形式.复习引入复习引入 1 概率之和概率之和 2 2、离散型随机变量分布列的性质：、离散型随机变量分布列的性质：讲课人：邢启强3 对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成
3、绩是否解某班同学数学成绩是否“两极分化两极分化”则需要考察这个班数则需要考察这个班数学成绩的方差。学成绩的方差。 我们还常常希望我们还常常希望直接通过数字直接通过数字来反映随机变量的某个方来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有面的特征，最常用的有期望与方差期望与方差. .复习引入复习引入讲课人：邢启强41、某人射击、某人射击10次次,所得环数分别是所得环数分别是:1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；则所得的平均环；则所得的平均环数是多少？数是多少？2104332221111 X把环数看成随机变量的概率分布列：把环数看成随机变量的概率分布列：X1234P10410310210121014
4、102310321041 X权数权数加加权权平平均均新课引入新课引入讲课人：邢启强52、某商场要将单价分别为、某商场要将单价分别为18元元/kg，24元元/kg，36元元/kg的的3种糖果种糖果按按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？X182436P把把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：636261)/(23613631242118kgX元元 新课引入新课引入讲课人：邢启强63.甲乙两名射箭运动员射中目标靶的环数的分布列如下表所示：环数X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概
5、率0.150.250.40.2类似两组数据的比较类似两组数据的比较, ,首先比较击中的平均环数首先比较击中的平均环数, ,如果平均环数相等，再看稳定性如果平均环数相等，再看稳定性. .假设甲射箭假设甲射箭n n次，射中次，射中7 7环、环、8 8环、环、9 9环和环和1010环的频率分别为环的频率分别为甲甲n n次射箭射中的平均环数次射箭射中的平均环数3124,.nnnnnnnn312478910.nnnnxnnnn 新课引入新课引入当当n足够大时，频率稳定于概率，所以足够大时，频率稳定于概率，所以x稳定于稳定于70.1+80.2+90.3+100.4=9.即甲射中平均环数的稳定值即甲射中平均
6、环数的稳定值(理论平均值理论平均值)为为9,这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.同理，乙射中环数的平均值为同理，乙射中环数的平均值为70.15+80.25+90.4+100.2=8.65.从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.讲课人：邢启强7一、离散型随机变量取值的平均值一、离散型随机变量取值的平均值.数学期望数学期望一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：的概率分布为：则称则称为随机变量为随机变量X X的均值的均值(mean)(mean)或数学期望或数学期望(mathematical expectation),(ma
7、thematical expectation),数学期望数学期望简称简称期望期望. .均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数, ,它综合了随机变量的取它综合了随机变量的取值和取值的概率值和取值的概率, ,反映了随机变量取值的平均水平反映了随机变量取值的平均水平. .P1xix2x1p2pipnxnpX学习新知学习新知讲课人：邢启强8例1 在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分,如果某运动员罚球命中的概率为0.8,那么他罚球1次的得分X的均值是多少?分析:罚球有命中和不中两种可能结果,命中时X=1,不中时X=0,因此随机变量X服从两点分
8、布,X的均值反映了该运动员罚球1次的平均得分水平.典型例题典型例题解：因为P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2， 所以E(X)=1P(X=1)+0P(X=0)=10.8+00.2 =0.8即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8. 一般地，如果随机变量一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么服从两点分布，那么：X10Pp1-p变式：变式：在篮球比赛中，罚球命中在篮球比赛中，罚球命中1 1次得次得1 1分，不中得分，不中得0 0分分. .如果某运动员罚球命中如果某运动员罚球命中的概率为的概率为0.80.8，那么他罚球，那么他罚球2 2次次的得分的得分X X的均值是多少？的均值是多少？讲课人
9、：邢启强9变式变式:随机抛掷一个正四面体，正四面体每个面分别标号随机抛掷一个正四面体，正四面体每个面分别标号1.2.3.4，求朝下一面标号，求朝下一面标号X的均值的均值.例例2.2.抛掷一枚质地均匀的骰子抛掷一枚质地均匀的骰子, ,设出现的点数为设出现的点数为X,X,求求X X的均值的均值. .解：X的分布列为的分布列为典型例题典型例题分析:先求出X的分布列,再根据定义计算X的均值。求离散型随机变量求离散型随机变量X的均值的步骤：的均值的步骤：讲课人：邢启强10例例3:猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首某
10、嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下下表所示表所示：规则如下：按照规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获求嘉宾获得的公益基金总额得的公益基金总额X的分布列及均值的分布列及均值.歌曲歌曲ABC猜对的概率猜对的概率0.80.60.4获得的公益基金额获得的公益基金额/元元100020003000典型例题典型例题解：分别用解：分别用A,B,C表示猜对歌曲表示猜对歌曲A,
11、B,C歌名的事件，歌名的事件，A,B,C相互独立相互独立X的分布列如下表所示：的分布列如下表所示：X0100030006000P0.20.320.2880.192的均值为()=00.2+10000.32+30000.288+60000.192=2336.讲课人：邢启强11解：分别用解：分别用A,B,C表示猜对歌曲表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，歌名的事件，A,B,C相互独立相互独立X的分布列如下表所示：的分布列如下表所示：X0100040006000P0.20.480.1280.192思考：如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？讲课人
12、：邢启强12典型例题典型例题分析:决策目标为总损失(投入费用与设备损失之和)越小越好,根据题意,各种方案在不同状态下的总损失如表所示：讲课人：邢启强13解:设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1,X2,X3.采用方案1,无论有无洪水,都损失3800元.因此,P(X1=3800)=1.采用方案2,遇到大洪水时,总损失为2000+6000=62000元;没有大洪水时,总损失为2000元,因此,P(X2=62 000)=0.01,P(X2=2000)=0.99.采用方案3,P(X3=60 000)=0.01,P(X3=10000)=0.25,P(X3=0)=0.74.于是,E(X1)=3800,
13、E(X2)=62 0000.01+2 0000.99=2 600,E(X3)=60 0000.01+10 0000.25+00.74=3 100.因此,从期望损失最小的角度,应采取方案2.方案2和方案3的总损失都是随机变量,可以采用期望总损失最小的方案。值得注意的是,上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的,一般地,我们可以这样来理解“期望总损失”:如果问题中的天气状况多次发生,那么采用方案2将会使总损失减到最小,不过,因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的,所以对于个别的一次决策,采用方案2也不一定是最好的.讲课人：邢启强14巩固练习巩固练习讲课人：邢启强15某商场经销某商品，根据以往
14、资料统计，顾客采用的分期付款期数某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的分期付款期数X X的分布列为：的分布列为： X12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品商场经销一件该商品, ,采用采用1 1期付款期付款, ,其利润为其利润为200200元元, ,分分2 2期或期或3 3期付款，其利润为期付款，其利润为250250元元, ,分分4 4期或期或5 5期付款期付款, ,其利润为其利润为300300元元, ,Y Y表示经销一件该商品的利润。表示经销一件该商品的利润。（1 1）求事件）求事件A A：”购买该商品的购买该商品的3 3位顾客中位顾客中, ,至少有一位采用至少有一位采用1 1期付款期付款” ” 的概率的概率P(A)P(A)；（2 2）求）求Y Y的分布列及期望的分布列及期望E EY Y. .巩固练习巩固练习讲课人：邢启强161. 期望的概念 E(X)=x1p1+x2p2+xipi+xnpn2. 期望的意义 离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平.课堂小结课堂小结
