1、第 1 页，共 15 页 高二（上）期中数学试卷高二（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.设 ，则“ 1”是“2 1”的()条件A. 必要不充分B. 充分不必要C. 既不充分也不必要D. 充要2.若数列的前 4 项分别是12,13,14,15，则此数列一个通项公式为()A. (1) + 1B. (1)C. (1) + 1 + 1D. (1)13.在等差数列中，若3= 2，6= 4，则等差数列的公差 = ()A. 32B. 1C. 23D. 134.已知等比数列中4= 27， = 3，则1= ()A. 1B. 1C. 3D. 35.已知 1
2、, = +11，则 y 的最小值是()A. 1B. 2C. 3D. 46.已知命题 p： ，q：2 + 2 0，则下列不等式正确的是()A. 2 2C. D. 1 0，20 0，21 0，21 0对于任意的实数 x 恒成立，则实数 k 的取值范围是_第 3 页，共 15 页15.已知数列首项为1= 1，且 + 1= + 1, ，则数列1的前 n 项和为_16.已知正数 a，b 满足 + = 2，则 + 1+ + 2的最大值为_三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.解下列不等式：(1)(1)( + 2) 4(2)2 + 13 118.已知等差数列前 n 项和为，且2= 18，1
3、1= 0(1)求数列的通项公式；(2)若=，求证：数列是等差数列19.已知数列的前 n 项和，且满足：= 21， (1)求数列的通项公式；(2)若= 2 + 1，求数列的前 n 项和第 4 页，共 15 页20.某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元， 每生产x千件， 需另投入成本为()，当年产量不足 80 千件时，() =132+10(万元).当年产量不小于 80 千件时，() = 51 +100001450(万元).每件商品售价为0.05万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完(1)写出年利润()(万元)关于年产量(千件)的函数解析式(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中
4、所获利润最大？21.设函数() = 2+(2) + 3，( 0)(1)若不等式() 0的解集为(3,1)，求 a，b 的值；(2)若 = ，求不等式() 1的解集第 5 页，共 15 页22.已知数列的前 n 项和为，且满足= 22 + 1，数列中，1=23 + 3，对任意正整数 2,1+= (13)(1)求数列的通项公式；(2)是否存在实数，使得数列3+是等比数列？若存在，请求出实数及公比 q 的值，若不存在，请说明理由；(3)求数列前 n 项和为第 6 页，共 15 页答案和解析答案和解析1.【答案】B【解析】解：当 时， 12 1；而2 1不能推出 1，也可能 1”是“2 1”的充分不必
5、要条件故选：B由 12 1，而2 1不能推出 1，则答案可求本题考查充分必要条件的判定，是基础题2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了数列通项公式的写法，主要用观察法，考查归纳推理，属于基础题根据数列的前四项是12,13,14,15，找规律，奇数项为负数，偶数项为正数，分子都是 1，分母是项数加 1，即可写出通项公式【解答】解：由数列的前四项是12,13,14,15，归纳推理得=(1) + 1；故选：A3.【答案】C【解析】解： 在等差数列中，3= 2，6= 4， 等差数列的公差 =6363=4263=23故选：C利用等差数列的通项公式直接求解本题考查等差数列的公差的求法， 考查等差数列的性
6、质等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题4.【答案】B第 7 页，共 15 页【解析】解：等比数列中，4= 27， = 3，则1=43=27(3)3= 1故选：B根据等比数列的通项公式计算即可本题考查了等比数列的定义与性质应用问题，是基础题5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题变形利用基本不等式的性质即可得出【解答】解 ： 1, = +11= 1 +11+1 2 (1) 11+1 = 3，当且仅当 = 2时取等号则 y 的最小值是 3故选：C6.【答案】D【解析】解：命题 p： ，q：2 + 2 0， 命题 p 是命题 q 的充分不必要
7、条件， 能推出 q，q 推不出 p由题知：q：2 + 2 2或 0，所以取 = 2， = 1，可排除 A，B，C故选：D根据 0，取 = 2， = 1可用排除法得到正确选项本题考查了不等式的基本性质，属基础题9.【答案】B【解析】解：由题设知七层塔中，各层塔上灯的个数成等比数列，且公比 = 2，设塔顶有 x 盏灯，则(127)12= 381，解得 = 3故选：B设塔顶有 x 盏灯，由等比数列的求和公式可得(127)12= 381，解方程可得结果本题考查等比数列的前 n 项和，从实际问题中抽象出数列问题是解决本题的关键，属基础题10.【答案】C【解析】解：依题意，前从1到19共有1 + 192
8、19 = 190个数字，所以20从左到右第一个数是第 191 个奇数，第 n 个奇数为21，第 9 页，共 15 页所以第 191 个奇数为2 1911 = 381故选：C先计算前 19 行数字的个数，进而可得20从左到右第一个数本小题主要考查归纳推理、等差数列求和公式的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力属于中档题11.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等差数列的性质和前 n 项和应用问题，是基础题根据等差数列的前 n 项和公式与项的性质，得出10 0，且11 0，21 0,(1+ 21) 212= 2111 0，并且11 0，所以数列的前 10 项和最大故选：C
9、12.【答案】B【解析】解：函数() =22+ 1，可得() =22+ 1=2 21 + 2，则() + () =2(1 + 2)1 + 2= 2，设 = (5) + (4) + + (0) + + (4) + (5)，则 = (5) + (4) + + (0) + + (4) + (5)，相加可得2 = (5) + (5) + (4) + (4) + + 2(0) + + (4) + (4) + (5)+ (5)= 2 + 2 + + 2 + + 2 + 2 = 2 11，可得 = 11故选：B第 10 页，共 15 页由题意求得() + () = 2，设 = (5) + (4) + + (
10、0) + + (4) + (5)，则 = (5) + (4) + + (0) + + (4) + (5)，两式相加，计算可得所求和本题考查函数的值的和的求法，注意运用倒序相加法，求得() + () = 2是解题的关键，考查化简运算能力，属于中档题13.【答案】 0，21 0【解析】解：命题为特称命题，则命题的否定为 0，21 0，故答案为： 0，21 0根据含有量词的命题的否定即可得到结论本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础14.【答案】0 0对于任意的实数 x 恒成立， 二次函数 = 22 + 的图象恒在 x 轴上方，= 24 2 0， 即 28 0， 0 8，故答案为：0 8本题是一
11、道二次不等式恒成立问题，可以转化为对应的二次函数的图象恒在 x 轴上方，则判别式 0求解本题是二次不等式恒成立问题，x 的范围是 R，我们还可以变式将 x 的范围进行适当的限制，然后用分类讨论的方法或分离参数的方法求解15.【答案】2 + 1【解析】解：1= 1，且 + 1= + 1, ，可得=1+(21) + (32) + + (1)= 1 + 2 + 3 + + =12( + 1)，则1=2( + 1)= 2(11 + 1)，可得数列1的前 n 项和为2(112+1213+ +11 + 1)= 2(11 + 1) =2 + 1第 11 页，共 15 页故答案为：2 + 1由数列的恒等式：=
12、1+(21) + (32) + + (1)，结合已知递推式，结合等差数列的求和公式，可得，求得1=2( + 1)= 2(11 + 1)，再由数列的裂项相消求和，可得所求和本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的恒等式，考查数列的裂项相消求和，同时考查等差数列的求和公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题16.【答案】65【解析】解：正数 a，b 满足 + = 2， ( + 1) + ( + 2) = 5则 + 1+ + 2= + 11 + 1+ + 22 + 2= 2(1 + 1+1 + 2).1 + 1+1 + 2=15( + 1) + ( + 2)(1 + 1+1 + 2) =15(2
13、 + + 2 + 1+ + 1 + 2) 15(2 + 2) =45，当且仅当 + 1 = + 2 =52，解得 =32， =12时取等号 + 1+ + 2= 2(1 + 1+1 + 2) 245=65 + 1+ + 2的最大值为65故答案为：65正数 a，b 满足 + = 2，变形为( + 1) + ( + 2) = 5.变形 + 1+ + 2= + 11 + 1+ + 22 + 2= 2(1 + 1+1 + 2)，再利用基本不等式的性质即可得出本题考查了基本不等式的性质、变形方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题17.【答案】解：(1)原不等式可化为2+6 0，所以原不等式的解集为|3
14、 3【解析】(1)原不等式可化为2+6 0，然后按一元二次不等式的解法解即可；(2)原不等式可化为 + 43 0，该不等式又等价于( + 4)(3) 03 0，然后解不等式组即可第 12 页，共 15 页考查一元二次不等式和分式不等式的解法18.【答案】解：(1)设等差数列的公差为 d，可得21+ 3 = 18111+ 55 = 01= 10 = 2，= 212(2)=(10 + 212)2= (11)，= 11，从而 + 1= 1(常数)所以数列是等差数列【解析】(1)设出数列的公差，利用已知条件列出方程组求解首项与公差，即可得到通项公式(2)求出等差数列的和，化简=，然后求解数列的和即可本
15、题考查数列求和数列的递推关系式的应用，考查转化首项以及计算能力19.【答案】解：(1)依题意：当 = 1时，有：1= 211，又1=1，故1= 1，由= 21当 2时，有1= 211，得：1= 221化简得：= 21， 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，= 21(2)= (2 + 1) 21，= 3 20+5 21+7 22+ + (2 + 1) 21，2= 3 21+5 22+ + (21) 21+(2 + 1) 2，= 3 20+2 (21+ 22+ + 21)(2 + 1) 2= 3 + 2 2(121)12(2 + 1) 2，= 1 + (21) 2【解析】(1)求出数列的首项，
16、推出是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，然后求解通项公式(2)利用错位相减法，求解数列的和即可本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化首项以及计算能力20.【答案】 解 ：(1)因为每件商品售价为0.05万元， 则 x 千件商品销售额为0.05 1 000 x万元，依题意得：第 13 页，共 15 页当0 80时，() = (0.05 1 000)132 + 10250 = 132+40200当 80时，() = (0.05 1 000)(51 +100001450)200= 1200( +10000)所以() =132+ 40200,0 801250( +10000),
17、80，(2)当0 80时，() = 13(60)2+1000此时，当 = 60时，()取得最大值(60) = 1000万元当 80时，() = 1250( +10000) 12502 10000= 1250200 = 1 050此时 =10000，即 = 100时，()取得最大值 1 050 万元由于1000 1050，答：当年产量为 100 千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为 1050 万元【解析】本题考查分段函数模型的应用(1)利用已知条件通过当0 0的解集为(3,1)可得：方程2+(2) + 3 = 0的两根为3，1 且 0由根与系数的关系可得：3 + 1 = 23 1
18、 =3解得： = 1 = 0(2)当 = ，不等式() 1即2( + 2) + 2 0，( 0)即(2)(1) 0，( 0) 0时，不等式可化为(1)(2) 0，2 0时，原不等式可化为(1)(2) 0 当0 2时，1 2时，1 2，所以2 1综上：当 0时，原不等式的解集为| 2或 1当0 2时，原不等式的解集为|2 1【解析】(1)一元二次不等式解集为(3,1)，则3，1 即为方程2+(2) + 3 = 0的两实根，由根与系数的关系可得 a，b 的值(2)当 = ， 不等式() 1即2( + 2) + 2 0，( 0).即(2)(1) 0，( 0).先看二次项系数，分 0两种情况；当 0时
19、，再比较两个根为 1 和2的大小关系，分别求出解集即可本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，含参数的一元二次不等式的解法，注意数形结合和分类讨论的思想方法的运用，属于中档题22.【答案】解：(1)= 22 + 1，当 = 1时，1=1= 0；当 2时，=1= 22 + 1(1)22(1)1 = 23，则=0, = 123, 2, ；(2)假设存在实数，使得数列3+是等比数列，数列中，1=23 + 3，对任意正整数 2,1+= (13)可得1=16，且3 311+ 3= 1，由假设可得3+ = 3(311+)，则4 = 1，可得 = 14，可得存在实数 = 14，使得数列3+是公比 =
20、3的等比数列；(3)由(2)可得314= (3114) (3)1=14 (3)1，则=14 (13)+112 (1)1，则前 n 项和= 112+136+ +14 (13) + (112112+ +112 (1)1,第 15 页，共 15 页当 n 为偶数时，=112(113)113+0 =18(113)；当 n 为奇数时，=112(113)113+112=18(113) +112=52418 3，则=52418 3, 为奇数1818 3, 为偶数【解析】(1)由数列的递推式：当 = 1时，1=1；当 2时，=1，计算可得所求通项公式；(2)假设存在实数，使得数列3+是等比数列，求得1，再由任意正整数 2,1+= (13)，构造等比数列3+，解方程可得，即可判断存在性；(3)由等比数列的通项公式可得=14 (13)+112 (1)1，再由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，讨论 n 为奇数或偶数，即可得到所求和本题考查数列的递推式的运用：求通项公式，考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查分类讨论思想和构造数列法，考查化简运算能力，属于中档题
