1、 二次函数 （优生集训）1一、综合题1如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，已知 ，直线 的解析式为 . （1）求抛物线的解析式；（2）在线段 上有一动点 ，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作 轴的平行线交 于点 .求 的最大值，以及此时点 的坐标；（3）如图2，将该抛物线沿 轴向下平移5个单位长度，平移后的抛物线与坐标轴的交点分别为 ， ， 在平面内找一点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点 的坐标.【答案】（1）解：直线y=x-3， B(3，0)，C(0，3)，A(-1，0)， ，解得 ，抛物线的解析式为 .（2）解：直线y=x
2、-3， B(3，0)，C(0，3)， OB=OC ，OCB=OBC=45， ，EFy轴，DEF=DFE=45，DE=DF= ， ，设点E(x， )，则点F(x，x-3)，EF= =(x-3)-( )= ，DE= ， ， ， 有最大值，当x= 时，取得最大值，且最大值为 ，当x= 时，y= = ，故 的最大值为 ，此时点 的坐标为( ， ).（3）解：点M的坐标为(6，-8)或(-6，-8)或(2，8). 【解析】【解答】解：（3）抛物线沿 轴向下平移5个单位长度的到的解析式为y= ， =0，解得x=-2或 x=4， ， ， ，当AB是平行四边形的一边时，则 x轴，过点 作 x轴，垂足为E，故M
3、的纵坐标一定是-8，当 时， = ， ， ， = =2，OE=6， (6，-8)，同理可求得 (-6，-8)，当AB是平行四边形的对角线时，过点 作 Gx轴，垂足为G，设对角线的交点为H，则H（1，0）， ， ， ， = =1， ，OH=2， (2，8)，综上所述，点M的坐标为(6，-8)或(-6，-8)或(2，8).【分析】（1）易得B（3，0）、C（0，3），将A、B、C代入y=ax2+bx+c中可求出a、b、c的值，据此可得抛物线的解析式；（2）根据点B、C的坐标可得OB=OC，则OCB=OBC=45，DEF=DFE=45，表示出DE、EF，设E（x，x2-2x-3），则F（x，x-3）
4、，表示出EF，进而可得DE，推出EF-DE=DE，然后结合二次函数的性质进行解答；（3）抛物线沿y轴向下平移5个单位长度的到的解析式为y=x2-2x-8，令y=0，求出x的值，可得点A1、B1的坐标，当AB是平行四边形的一边时，C1M1x轴，过点M1作M1Ex轴于点E，故M的纵坐标一定是-8，当B1M1C1A1 时，证明B1M1E A1C1O，得到OE的值，进而可得点M1的坐标；当AB是平行四边形的对角线时，过点M3作M3Gx轴，垂足为G，证明HM3GHC1O，得到点M的坐标.2在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“H点”，如（2，-3）与（
5、-3，2）是一对“H点”.（1）点 和它的“H点”均在直线 上，求k的值； （2）若直线 经过的A，B两点恰好是一对“H点”，其中点A还在反比例函数 的图象上，一条抛物线 也经过A，B两点，求该抛物线的解析式； （3）已知 ，B为抛物线 上的一对“H点”，且满足： ， ，点P为抛物线上一动点，若该抛物线上有且仅存在3个点P满足PAB的面积为16，求 的值. 【答案】（1）解：由题意知，点 和点 均在直线 上， 则 两式相减得 ， .（2）解：设 点坐标为 ， 点 在反比例函数 的图象上， .又 ， 是一对“H点”，且都在直线 上，由（1）知 ， ，即 .由 解得 或 这一对“H点”的坐标为（1
6、，2）和（2，1）.抛物线 也经过A，B两点，则 解得 抛物线的解析式为 （3）解： ， ， ， ， ， 点A的坐标为（-1，3），点B的坐标为（3，-1），A，B在抛物线 上， 解得 二次函数关系式为 .过点 作 交 轴于点 ，该抛物线上有且仅存在3个点 满足 的面积为16，直线PQ与抛物线有且只有一个交点，设直线AB的函数关系式为 ，把 和 代入得 解得 直线AB的函数关系式为 .设直线AB与y轴的交点为D，则 .由 ，设直线PQ的函数关系式为 ， ， ， .当 时，如图1，在AB下方有一个点P，上方必有两个点满足条件，点Q的坐标为 .直线PQ的函数关系式为 ，联立方程组 消元得 ， ，解
7、得 ， ， ， ；当 时，如图2，在AB上方有一个点P，下方必有两个点满足条件，点Q的坐标为 .直线PQ的函数关系式为 ，联立方程组 消元得 ， ，解得 ， ， ， ，综上所述， 或9.【解析】【分析】（1）将（m，n）、（n，m）代入y=kx+a中，并将两式相减可得k(m-n)=(n-m)，据此可得k的值；（2）设A（m，n），则mn=2，结合题意可得m+n=3，联立求解可得m、n的值，据此可得这一对“H点”的坐标，然后代入y=x2+bx+c中求出b、c，据此可得抛物线的解析式；（3）根据m+n=2、mn=-3、m0时，在AB下方有一个点P，上方必有两个点满足条件，求出直线PQ的解析式，联立
8、二次函数解析式并结合判别式可得a的值，进而可得b、c的值；当a0，据此求解；（3）易得A（3，0），设AM所在直线为y=k1(x-3)，则AN所在直线为y=- (x-3)，联立二次函数与直线AM的解析式求出x、y，可得点M的坐标，同理求出点N的坐标，表示出直线MN的解析式，将点M的坐标代入表示出k，进而用含k1的式子表示出直线MN的解析式，令x=3，求出y的值，据此判断.12在平面直角坐标系中，若直线 与函数G的图象有且只有一个交点P.则称该直线l是函数G关于点P的“联络直线”，点P称为“联络点”. （1）直线 是函数 的“联络直线”吗？请说明理由； （2）已知函数 ，求该函数关于“联络点”
9、的“联络直线”的解析式； （3）若关于x的函数 图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是y轴上一点，分别过点P作函数 关于点M，N的“联络直线”PM、PN.若直线 恰好经过M、N两点，请用含a的式子表示线段PC的长. 【答案】（1）解：由题意得 ，整理得 ， 0，直线 与函数 没有交点，直线 不是函数 的“联络直线”（2）解：设“联络直线”的解析式为 ， ，整理可得 ，直线 与函数G的图象有且只有一个交点P ， ；把“联络点” 代入 得 ，解得 ，进而可得 ，“联络直线”的解析式为 ；（3）解：由 ，令x = 0，可得 ， 点C为 ；点M，N在函数 ，直线 恰好经过M、N两点 ， ，
10、；设P ， ， 则 ， ， ，即 ，即 ， ， ， ， ，整理可得 ， .【解析】【分析】（1）联立反比例函数与直线解析式并消去y可得x2-x+1=0，则=b2-4ac0）个单位得点P，再向左平移2n个单位得点2，若点P1，P2均在该二次函数图象上，求n的值.【答案】（1）解：把点A（2，4），B（4，0）代入抛物线yax2bx得： 解得 这个抛物线的函数表达式为 .（2）解： 抛物线的对称轴为直线 ,点 均在抛物线上, . ,解得 .【解析】【分析】（1）由 二次函数y=ax2+bx (a0)的图象经过点A(2，4)，B(4，0) ，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）设点P（a，0），由平移规律表示出P1（a，3n），P2（a+2n，3n）；由（1）得二次函数解析式，并分别将P1、P2代入解析式中联立方程组求出a值，在代入求出n值，由 n0 筛选出符合题意n值即可.19已知抛物线有最高点（1）m 0（填“、=、（2）解：y=-mx2+2mx-3=-m（x-1）2+
