1、 二次函数二次函数 （优生集训）（优生集训） 一、综合题一、综合题 1如图，直线 AB 与抛物线交于、两点，与 y 轴交于点 C，点 D为线段 AB 上一点，连接 OD、OB. （1）求抛物线的解析式； （2）若 OD 将分成面积相等的两部分，求点 D 的坐标； （3）在平面坐标内是否存在点 P，使得以 A、O、B、P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 2如图所示，抛物线与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C，点 M 为抛物线的顶点. （1）求点 C 及顶点 M 的坐标； （2）在抛物线的对称轴上找一点 P，使得 PA+PC 的值最
2、小，请求出点 P 的坐标并求出最小值； （3）若点 N 是第四象限内抛物线上的一个动点，连接 BN、CN，求面积的最大值及此时点 N 的坐标. 3某地实施产业扶贫种植某种水果，其成本经过测算为 20 元，投放市场后，经过市场调研发现，这种水果在上市的一段时间内的销售单价 p（元）与时间 t（天）之间的函数图象如图，且其日销售量 y（）与时间 t（天）的关系是：，天数为整数. （1）试求销售单价 p（元）与时间 t（天）之间的函数关系式； （2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ （3）在实际销售的前 28 天中，公司决定每销售水果就捐赠 n 元利润（）给“精准扶贫”对象.现发现：在前
3、 28 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 t 的增大而增大，求 n 的取值范围. 4在直角坐标系中，二次函数（a，b 是常数，）的图象经过和两点. （1）求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标； （2）当时，求的取值范围； （3）当，n（m，n 是实数，）时，该函数对应的函数值分别为 M，N.若，求证：. 5某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种生产，打入国际市场，已知生产销售这两种产品的有关数据如表： （单位：万元） 年固定成本 每件产品成本 每件产品销售价 甲产品 20 a 10 乙产品 40 8 18 a 为常数，且 3a8.甲产品每年最多可生产销售 200 件，乙产品每年最多可生
4、产销售 80 件，销售乙产品 x 件时需另外上交 0.05x2万元的特别关税. （1）写出该企业生产销售乙产品的年利润 y 关于 x 的函数表达式为 . （2）当销售乙产品多少件时，可获乙产品的利润最大？最大利润是多少？ （3）该企业选择哪一种产品生产销售可获得最大年利润？请说明理由. 6已知抛物线 yax2+bx+c 的图象开口向下，经过点 A（1，0） ，B（3，0） ，与 y 轴交于点 C，顶点为 D，ABD的面积为 8. （1）求抛物线的解析式. （2）若在抛物线上有动点 P，使得PBC的内心恰好落在 x 轴上，求点 P 的坐标. （3）将抛物线向右平移 t 个单位，所得抛物线与原抛物
5、线交于点 Q，顶点变为 E，记QDE的面积为 S，求 的值. 7如图，抛物线交 x 轴于两点，交 y 轴于点 C，点 Q 为线段上的动点. （1）求抛物线的解析式； （2）求的最小值； （3）过点 Q 作交抛物线的第四象限部分于点 P，连接，记与的面积分别为，设，当 S 最大时，求点 P 的坐标，并求 S 的最大值. 8如图 1，抛物线 G：yx2+bx+c 经过点 B(6，0)，顶点为 A，对称轴为直线 x2. （1）求抛物线 G 的解析式； （2）若点 C 为直线 AB 上方的抛物线上的动点，当ABC面积最大时，求 C 点的坐标； （3）如图 2，将抛物线 G 向左平移至顶点在 y 轴上，
6、平移后的抛物线与 x 轴交于点 E、F，平行于 x 轴的直线 l 经过点(0，8)，若点 P 为 x 轴上方的抛物线上的动点，分别连接 EP、FP，并延长交直线 l 于 M、N 两点，若 M、N 两点的横坐标分别为 m、n，试探究 m、n 之间的数量关系. 9投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影”，选自九年级下册教材P89，粹园的同学们学完此节内容后，开始探究正投影在平面直角坐标系的应用.若平面直角坐标系中，规定曲线 AB 在坐标轴上的正投影的长度称为在该轴上的“影长”， 记为“l”.AB 两点在对应坐标轴上的正投影之间的范围称为在该轴上的“影长范围”，例如：如图，曲线 AB，其中 A（ ，
7、1） 、B（1，3） ，则曲线 AB在 x 轴上的的“影长”l 为 4，在 x 轴上的“影长范围”为 . （1）已知反比例函数 的部分图象在 y 轴上的“影长范围”是 ，求其在 x 轴上的“影长”以及“影长范围”. （2）若二次函数 的部分图象在 x 轴上的“影长范围”是 ，且在 y轴上的“影长范围”的最大值为 10，求满足条件的 a 的值. （3）已知二次函数 与一次函数 交于 A、B 两点，当 ，且实数 ，求线段 AB 在 x 轴上的“影长”的取值范围. 10如图，抛物线 yax2+2x+c 经过点 A（0，3） ，B（1，0） ，请回答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的
8、顶点为 D，对称轴与 x 轴交于点 E，连接 BD，求 BD 的长 （3）在抛物线的对称轴上是否存在点 M，使得MBC的面积是 4？若存在请求出点 M 的坐标；若不存在请说明不存在的理由 11如图，直线 y x1 与抛物线 yax2 xc 交于点 A、B 两点，点 A 在 y 轴上，点 B的横坐标为 6，过点 B 作 BCx轴，垂足为点 C. （1）求此抛物线的表达式； （2）若直线 PQy轴， 与抛物线、直线 AB、x 轴分别交于点 P、Q、D，且点 D 位于线段 OC之间，求线段 PQ 长度的最大值； （3）连接 BP、CQ，当四边形 PQCB 是平行四边形时，求点 D 的坐标. 12已知
9、抛物线 经过 两点. （1）求 b 的值； （2）当 时，抛物线与 x 轴有且只有一个公共点，求 c 的取值范围； （3）若方程 的两实根 ，满足 ，且 ，求 P的最大值. 13在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 ，将点 向右平移 个单位长度，得到点 ，点 在抛物线上。 （1）求点 的坐标 用含 的式子表示 ； （2） 求抛物线的对称轴； （3）已知点 P( ， )， ，若抛物线与线段 恰有一个公共点，结合函数图象，求 的取值范围 14如图，已知抛物线 yax2+bx+3 经过点 A（1，0） 、B（3，0）两点，且交 y 轴交于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）点 M 是线段
10、BC 上的点（不与 B、C 重合） ，过 M 作 MNy轴交抛物线于 N，若点 M 的横坐标为 m，请用 m 的代数式表示 MN 的长； （3）在（2）的条件下，连接 NB，NC，是否存在点 M，使BNC的面积最大？若存在，求 m的值及BNC的面积最大值；若不存在，说明理由 15如图，抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，已知 A（1，0） ，C（0，2）. （1）求抛物线的解析式； （2）点 E 是线段 BC 上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F，求出线段 EF 的最大值及此时 E 点的坐标； （3）在 x 轴上
11、是否存在点 P，使PCD是以 CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出 P 点的坐标；如果不存在，请说明理由. 16如图，二次函数 y-x2+（k-1）x+3 的图象与 x 轴的负半轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，且 OAOB （1）求该二次函数的解析式； （2）若点 C 是二次函数图象上的一个动点，且位于第二象限；设ABC的面积为 S，试求出 S的最大值 17如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 y 轴交于点 ，与 x 轴交于点 ，点 B 坐标为 （1）求二次函数解析式及顶点坐标； （2）过点 A 作 AC 平行于 x 轴，交抛物线于点 C，点 P 为抛物线上的一点 点 P 在 AC
12、上方 ，作 PD 平行于 y 轴交 AB 于点 D，问当点 P 在何位置时，四边形 APCD 的面积最大？并求出最大面积 18如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴的两个交点为 A、B，且当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，x1 时，y 随 x 的增大而增大，其最小值为 ，其图象与 x 轴的交点 B 的横坐标是 1，过点B 的直线 l：ykx+ 分别与 y 轴及抛物线交于点 C，D （1）求直线 l 和抛物线的解析式； （2）过点 D 作 x 轴的平行线交抛物线于点 E，点 P 是直线 DE 上的一个动点，点 D 关于直线 OP的对称点 F 恰好在 y 轴上，求直线 OP 的解析式
13、（3）将（1）中的二次函数图象 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象 x 轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，将直线平移得到直线 l，若直线 l 与该新图象恰好有三个公共点，请求出上下平移了几个单位长度 19如图，已知抛物线 y=-x2+bx+c 经过点 A(-1，0)，B(3，0)，与 y 轴交于点 C，点 P 是抛物线上一动点，连接 PB，PC （1）求抛物线的解析式 （2）如图 1，当点 P 在直线 BC 上方时，过点 P 作 PDx轴于点 D，交直线 BC 于点 E。若PE=2ED，求PBC的面积 （3）抛物线上存在一点 P，使P
14、BC是以 BC 为直角边的直角三角形，求点 P 的坐标 20已知一元二次方程 x24x3=0 的两根是 m，n 且 mn.如图，若抛物线 y=-x2+bx +c 的图像经过点 A（m，0） 、B（0，n）. （1）求抛物线的解析式. （2）若（1）中的抛物线与 x 轴的另一个交点为 C根据图像回答，当 x 取何值时，抛物线的图像在直线 BC 的上方？ （3）点 P 在线段 OC 上，作 PEx轴与抛物线交于点 E，若直线 BC 将CPE的面积分成相等的两部分，求点 P 的坐标. 21已知抛物线 （b，c 为常数）经过点 ， . （1）求抛物线的解析式及对称轴； （2）在平面直角坐标系 xOy
15、中，当 m，n 满足 时，就称点 为“美好点”.若点 P、Q（P 在 Q 左边）为抛物线上的“美好点”，点 N 为抛物线上 P、Q 之间的一点（包含P、Q） ，求点 N 的横坐标 及纵坐标 的取值范围. 22如图，直线 y=-x+3 与 x 轴，y 轴分别交于 B，C 两点，抛物线 y=-x2+bx+c 经过 B，C 两点，点A 是抛物线与 x 轴的另一个交点 （1）求此抛物线的函数解析式； （2）在抛物线上是否存在点 P，使 SPAB =2SCAB，若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由 23如图所示，已知抛物线在坐标系中的顶点为 ，且与坐标轴交点为 点.（相关数据见图中标示） （
16、1）求该抛物线的解析式； （2）求 的面积； （3）在 轴上求作一点 使 得周长最小，求出满足条件的点 的坐标. 24如图，在平面直角坐标系中，直线 y= -x-2 与抛物线 y=x2-2mx+n 相交于 A、B 两个不同的点，其中点 A 在 x 轴上. （1）n= （用含 m 的代数式表示） （2）若点 B 为该抛物线的顶点，分别求出 m 和 n 的值； （3）若-3x0 时，二次函数 y=x2-2mx+n 的最小值为-4，求 m 的值. 25如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=-x2+kx-2k(k0)与 x 轴正半轴交于点 C，与 y 轴的交点为 A （1）若抛物线经过点
17、 B(-3，1)，求抛物线的解析式； （2）无论 k 取何值，抛物线都经过定点 M，求点 M 的坐标； （3）在(1)的条件下，点 P 是抛物线上的一个动点，记ABP的面积为 S1，ABM的面积为S2，设 S2=nS1，若符合条件的点 P 有三个，求 n 的值 答案解析部分答案解析部分 【解析】【分析】 （1）根据待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）利用待定系数法求直线 AB 的解析式， 设点 D 的坐标为（m，m+4） ，根据， 建立关于 m 的方程求解，即可解答； （3） 设点 P 的坐标为（xp，yp） ， 分三种情况讨论， 当四边形 AOBP 是平行四边形时，p1在第二象限时，当四
18、边形 AOPB 是平行四边形时，p2在第一象限时，当四边形 APOB 是平行四边形时，p3在第三象限时，分别根据平行四边形的性质求 P 点坐标即可. 【解析】【分析】 （1） 令 x =0 求出 C 点坐标，将抛物线解析式化为顶点式，即可求出顶点 M 坐标； （2）设线段 BC 与对称轴的交点为点 P，连接 AC，AP， 根据轴对称的性质和两点之间线段最短可得线段 BC 与对称轴的交点即为点 P，先利用待定系数法求出 BC 解析式，从而求出点 P 坐标，然后根据勾股定理求出 BC，即 PA+PC 的最小值 ； （3）过 N 点作：轴的垂线交直线 BC 于 Q 点，设(n, 2n2 - 4n -
19、 6)，则可表示出 Q 点坐标，最后根据SBCN = SNQC+ SNQB用 n 表示出BCN面积，然后配方，求BCN面积最大值，再求出 N 点坐标即可. 【解析】【分析】 （1）观察图象，利用待定系数法求函数解析式即可； （2）设日销售利润为 w 元，根据“ 日销售利润=(销售单价-成本价)日销售量”分段列出 w 和 t 之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质分别求出分段函数的中 w 的最大值，即可求解； （3）先求出每天扣除捐赠后的日销售利润与时间 t 的关系式，根据二次函数的性质列出不等式组求解，即可得出结果. 【解析】【分析】 （1）利用待定系数法求出函数的表达式，然后求出顶点坐标及
20、对称轴即可； （2）由（1）可知抛物线的对称轴直线，由于抛物线的开口向上，离对称轴越远的点所对应的函数值越大， 可得当 x=-1 时，y 为最大值 ，当时 y 为最小值，据此即得结论； （3）分别将 m，n 代入函数解析式，由 mn2 可将 MN 整理为 2（n1）22，由于，可得即，即得. 【解析】【解答】解： （1）由题意得：，即， 乙产品每年最多可生产销售 80 件， ， 故答案为：； 【分析】 （1）根据乙产品的年利润 y=乙的销售额-销售总成本-上交的关税，可得到 y 与 x 之间的函数解析式及 x 的取值范围； （2）将（1）中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求出结果
21、； （3）设该企业生产销售甲产品的年利润为 W 万元，对应的销售件数为 x 件，根据题意可得到 W 关于 x 的函数解析式，再根据甲产品每年最多可生产销售 200 件，可得到 x 的取值范围及 a 的取值范围；再利用一次函数的性质，可得到 W 的最大值；然后分情况讨论：当 3a7.7 时；当 a=7.7 时；当 7.7a8 时，分别求出该企业选择生产销售 200 件甲产品可获得最大年利润，即可求解. 【解析】【分析】 （1）利用点 A，B 的坐标，可设 y a（x1）24a ，可得到抛物线的顶点 D 的坐标，再利用ABD的面积，可得到关于 a 的方程，解方程求出 a 的值，即可得到函数解析式.
22、 （2）利用函数解析式求出点 C 的坐标，利用点 B 和点 C 的坐标，可证得OBC45，过 B 作ABP45交 y 轴于 M，交抛物线 C1于 P 点，可得到PBC的内心落在 x 轴上，利用待定系数法求出直线 BP 的函数解析式，设（n，n2+2n+3） ，将两函数解析式，联立方程组，解方程组求出点P 的坐标. （3）过 Q 作 QNx轴与抛物线 C1 另一交点记为 N，连接 DN，过 Q 作直线 QHDE于 H，利用平移可得到 DN 与 QE 平行且相等；利用抛物线的对称性可知 QDDN，可证得QDE是等腰三角形，可知点 H 是 DE 的中点，H（ t+1，4） ，从而可表示出点 Q 的坐
23、标，可得到 QH 的长，然后求出 的值. 【解析】【分析】 （1）由于给出了抛物线与 x 轴的交点坐标，故可设 ya(x2)(x6)，将 C（0，-6）代入求出 a 的值，进而可得抛物线的解析式； （2）作点 O 关于直线 BC 的对称点 O，连接 AO，QO，CO，BO，易得 BC 垂直平分 OO，推出四边形 BOCO是正方形，得到 O的坐标，利用勾股定理求出 AO，根据两点间线段最短的性质可得：当 A、Q、O共线时，QA+QO 取得最小值，为 AO，据此求解； （3）求出直线 BC、AC、PQ 的解析式，联立直线 PQ、BC 的解析式求出 x、y，可得点 Q 的坐标，然后根据 SSPAQS
24、PBQSPAB-SQAB表示出 S，然后二次函数的性质解答即可. 【解析】【分析】 （1）根据对称轴为直线 x=2 可得 x=2，求解可得 b 的值，将 B（6，0）代入求出 c 的值，据此可得抛物线的解析式； （2）连接 AC、BC，过点 C 作 y 轴的平行线交 AB 于点 H，易得 A（2，4） ，求出直线 AB 的表达式，设 C（x，x2+x+3） ，则 H（x，-x+6） ，表示出 CH，设ACH与BCH的边 CH 上的高分别为 h1和 h2，则 h1+h2=xC-xA+xB-xC=4，设ABC面积为 S，根据 S=SCHA+SCHB表示出 S，然后结合二次函数的性质进行解答； （3
25、）易得抛物线 G的表达式为 yx2+4，令 y=0，求出 x 的值，可得点 E、F 的坐标分别为（-4，0） 、 （4，0） ，设 P（p，p2+4） ，表示出直线 PE 的解析式，令 y=8，求出 x，同理可得 n，进而求出 mn 的值. 【解析】【分析】 （1）把 y=1、y=3 分别代入反比例函数解析式中求出 x，根据反比例函数的性质可得：当 x2、0，c0，b=-(a+c)，设 A、B 两点的横坐标分别为 m、n，联立二次函数与一次函数的解析式并结合根与系数的关系可得 m+n=，mn=，设 AB 在 x 轴上的影长为 l，则l2=(m-n)2=(m+n)2-4mn，然后表示出 l2，结
26、合二次函数的性质进行求解即可. 【解析】【分析】 （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）把抛物线的解析式化成顶点式，求出点 D 和点 E 的坐标，从而求出 DE 和 BE 的长，然后根据勾股定理求 BD 长即可； （3） 设点 M 的坐标为（1，m） ， 令 y=0，求出抛物线与 x 轴的交点坐标，从而求出 BC 长，根据 MBC 的面积是 4， 建立关于 m 的方程求解，即可求出点 M 的坐标. 【解析】【分析】 （1）将 A（0，-1）代入 y=ax2+x+c 中可得 c 的值，令 y=x-1 中的 x=6，求出 y的值，可得 B（6，2） ，将其代入 y=ax2+x+c 中
27、可得 a 的值，据此可得抛物线的表达式； （2）设 P（x，x2+x-1） ，则 Q（x，x-1） ，表示出 PQ，然后根据二次函数的性质可得最大值； （3）当 PQ/BC/y 轴且 PQBC 时，四边形 PQCB 是平行四边形，根据 PQBC 可得 x 的值，进而可得点 D 的坐标. 【解析】【分析】 （1）根据二次函数图象的坐标特点求出对称轴，即可求出 b 值； （2）根据二次函数的性质求出二次函数的增减趋势，再根据对称性可得 x= - 1 与 x =2 的函数值相同，然后根据当- 2x 2 时，抛物线与 x 轴有且只有一个公共点，分两种情况讨论：这个公共点是顶点，这个公共点不是顶点两种情
28、况，分别建立关于 c 的一元一次方程和一元一次不等式组求解即可求出结果； （3）根据一元二次方程的根与系数的关系可得 x1=1-x2，从而可得- 2x20 时， 根据二次函数的性质，结合最小值为-4，分别求解即可. 【解析】【分析】 （1）将点 B 的坐标代入函数解析式，可得到关于 k 的方程，解方程求出 k 的值，可得到二次函数解析式. （2）观察函数解析式可得到当 x=2 时，y=-4，函数值与 k 的取值无关，可得到点 M 的坐标. （3）利用（1）中的函数解析式，可得到点 A 的坐标，再由点 B，M 的坐标可求出直线 BM 的函数解析式，再求出直线 BM 与 y 轴的交点 D 的坐标，利用三角形的面积公式取出 S2的值；设点P(x，-x2-2x+4)，过点 P 作 PHx轴交 AB 于点 H，利用待定系数法求出直线 AB 的函数解析式，可得到 点 H 的坐标为(x，x+4)，再求出 PH 的长；根据 S1=SAPH+ SBPH，可对 S1与 x 之间的函数解析式，根据符合条件的点 P 有三个，可求出 n 的值.
