1、 勾股定理的逆定理复习卷一、单选题1如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA3，PB4，PC5，以BC为边在ABC外作BQCBPA，连接PQ，则以下结论中正确有（）BPQ是等边三角形；PCQ是直角三角形；APB150；APC120ABCD【答案】A【解析】【解答】解：ABC是等边三角形，ABC=60，BQCBPA，BQ=BP，CBQ=ABP，CQ=PA=3，BPA=BQC，PBQ=PBC+CBQ=PBC+ABP=ABC=60，BPQ是等边三角形，故正确；BPQ是等边三角形，PQ=PB=4，PC=5，CQ=3，CQ2+PQ2=PC2，PQC=90，PCQ是直角三角形，且PQC=90，故正确；B
2、PQ是等边三角形，BPQ=BQP=60，BPA=BQC=60+90=150，故正确；APC=360-150-60-QPC=150-QPC，PQC=90，CQPC，QPC30，APC120，故错误，正确的结论是.故答案为：A.【分析】根据等边三角形的性质，得出ABC=60，根据全等三角形的性质得出BQ=BP，CBQ=ABP，CQ=PA=3，BPA=BQC，从而得出PBQ=ABC=60，即可得出BPQ是等边三角形，故正确；根据等边三角形的性质得出PQ=PB=4，从而得出CQ2+PQ2=PC2，根据勾股定理的逆定理得出PCQ是直角三角形，故正确；根据等边三角形的性质得出BPQ=BQP=60，从而得出
3、BPA=BQC=150，故正确；先求出APC=150-QPC，再根据PQC=90，CQPC，得出QPC30，即可得出APC120，故错误.2下列各组数不是勾股数的是（）A3，4，5B5，12，13C7，24，25D0.6，0.8，1【答案】D【解析】【解答】解：A、32+42=52，3、4、5是正整数，3、4、5是勾股数，A不符合题意； B、52+122=132，5、12、13是正整数，5、12、13是勾股数，B不符合题意； C、72+242=252，7、24、25是正整数， 7、24、25是勾股数，C不符合题意； D、0.6、0.8不是正整数， 0.6、0.8、1不是勾股数，D符合题意. 故
4、答案为：D. 【分析】根据勾股数满足条件：满足a2+b2=c2，且三个数为正整数，据此判断即可得出符合题意的选项.3如图，在ABC中，点D是AB上一点，连接CD，AC=2 ，BC=2，DB=1，CD= ，则AB的长为（） A5B4C3D2【答案】B【解析】【解答】解：BD2+CD2=1+3=4，BC2=22=4，BD2+CD2=BC2，CDB=ADC=90，AB=AD+BD=3+1=4. 故答案为：B. 【分析】分别求出BD2+CD2和BC2的值，可得到BD2+CD2=BC2，由此可证得CDB=ADC=90；再利用勾股定理求出AD的长；然后根据AB=AD+BD，代入计算求出AB的长.4下列各组
5、数据作为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（）ABCD1.5，2，3【答案】C【解析】【解答】解：A、42，不能构成直角三角形，故A不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故B不符合题意； C、，能构成直角三角形，故C符合题意； D、，不能构成直角三角形，故D不符合题意. 故答案为：C. 【分析】根据勾股定理的逆定理逐项进行判断，即可得出答案.5有下列说法：有一个角为60的等腰三角形是等边三角形；三边长为 ， ，3的三角形为直角三角形；等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为10；一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形其中正确的个数是（）A4个B3个C2个D1个【答案
6、】B【解析】【解答】解：根据等边三角形的判定定理：有一个角为60的等腰三角形是等边三角形，可知的说法正确；由 ，可得三边长为 ， ，3的三角形为直角三角形，故的说法正确；等腰三角形的两条边长为2，4，当腰为2，底为4时不构成三角形；当腰为4，底为2时，构成三角形，周长为10，故说法正确；一边上的中线等于这边长的一半的三角形是直角三角形，故说法错误. 正确的说法有3个. 故答案为：B. 【分析】利用等边三角性判定定理，可直接判断；利用勾股定理的逆定理，计算出三边的平方，可判断；根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系，分类讨论2为腰以及4为腰的情况，可判断；根据三角形的中线性质以及等腰直角三角形的
7、判定可判断，由此可得出答案.6如图，以 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若 ，则图中阴影部分的面积为（） A3BCD【答案】A【解析】【解答】解： RtABC AC2+BC2=AB2=3S阴影= AC2+ BC2+ AB2= （AC2+BC2）+ AB2= AB2+ AB2=AB2=3.故答案为：A.【分析】利用勾股定理求出AC2+BC2=AB2=3，再利用三角形的面积公式求出阴影部分的面积.7已知ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，满足下列条件的三角形中，不能判定ABC为直角三角形是的（） AA：B：C3：4：5BACBCa：b：c5：12：13DA：B：C1：2：3【答案
8、】A【解析】【解答】解：A、 A：B：C3：4：5， 故A选项符合题意；B、 则 故B选项不符合题意；C、 a：b：c5：12：13，设 则 所以能构成直角三角形，故C选项不符合题意；D、 A：B：C1：2：3， 故D选项不符合题意.故答案为：A. 【分析】根据三角形的内角和定理求出三角形中最大内角的度数，据此判断A、B、D；设a=5k，则b=12k，c=13k，利用勾股定理逆定理可判断C.8下列命题中，是真命题的有（） 以1、 、 为边的三角形是直角三角形，则1、 、 是一组勾股数；若一直角三角形的两边长分别是5、12，则第三边长为13；二次根式 是最简二次根式；在实数0，0.3333， ，
9、0.020020002， ，0.23456， 中，无理数有3个；东经113，北纬35.3能确定物体的位置.ABCD【答案】D【解析】【解答】解：以1、 、 为边的三角形是直角三角形，但1、 、 不是勾股数，故该项不是真命题； 若一直角三角形的两边长分别是5、12，则第三边长为13或 ，故该项不是真命题；二次根式 不是最简二次根式，故该项不是真命题；在实数0，0.3333， ，0.020020002， ，0.23456， 中，无理数有3个，故该项是真命题；东经113，北纬35.3能确定物体的位置，故该项是真命题；故答案为：D. 【分析】勾股数就是满足其中两个数的平方和等于第三个数的平方的三个正整
10、数，据此进行判断；分两种情况：12为直角边或12为斜边，利用勾股定理分别计算，再判断即可；最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母和被开方数不含能开方开得尽的因数或因式；据此判断即可；无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：开方开不尽的数，与有关的数，锐角三角函数，如sin60等，据此逐一判断；地图上确定物体的位置：经度和纬度，据此判断即可.9如图，五根小木棒，其长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）ABCD【答案】C【解析】【解答】A、对于ABD，由于，则此三角形不是直角三角形，同理ADC也不是直角三角形，故不合题意；B、对于ABC，由
11、于，则此三角形不是直角三角形，同理ADC也不是直角三角形，故不合题意；C、对于ABC，由于，则此三角形是直角三角形，同理BDC也是直角三角形，故符合题意；D、对于ABC，由于，则此三角形不是直角三角形，同理BDC也不是直角三角形，故不合题意故答案为：C【分析】利用直角三角形的判定方法判断即可。10如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（）A26尺B24尺C17尺D15尺【答案】C【解析】【解答】解：设水池的深度为尺，由题意得：，解得：，所以即：这个芦苇的高度是17尺故答案为：C【分
12、析】根据题意，设水池的深度为尺，列出方程解答即可。二、填空题11一个三角形的三边长分别为 ， ， ，则这个三角形的面积为 【答案】【解析】【解答】解：三角形的三边长分别为，（）2+（）2=8=（）2，此三角形为直角三角形，三角形的面积=. 故答案为： . 【分析】先根据三角形的三边满足勾股定理的逆定理，判定三角形为直角三角形，再根据三角形的面积公式代入数据求出面积即可.12如图，已知RtABC，C=90，AC=BC=2，点M，N分别为CB，CA上的动点，且始终保持BM=CN，则AM+BN的最小值为 【答案】2 【解析】【解答】解：如图，过点B作BDAC，使得BD=AC=BC=2，连接AD，交B
13、C于点N，再过点DEAB于E点，NC=MB，C=MBD=90，BC=BD，CBNBDM（SAS），BN=MD，AM+BN=AM+MD，当A、M、D三点共线时，AM+MD最小，最小为AD，即AM+BN最小值为AD长，BD=CB=2,BE=DE=，AB=2AE=AB+BE=2+=3,在RtAED中，由勾股定理得AD=,AM+BN的最小值为2. 故答案为：2 . 【分析】过点B作BDAC，使得BD=AC=BC=2，连接AD，交BC于点N，再过点DEAB于E点，易证明CBNBDM，可得BN=MD，进而得AM+BN=AM+MD，因此当A、M、D三点共线时AM+BN最小，最小值为AD长；再分别求出DE和A
14、E得长，由勾股定理即可求得AD的长，即可求出AM+BN的最小值.13如图所示的长方体中，长AB5cm，宽BC3cm，高CD6cm，一只蚂蚁从顶点A处沿长方体的表面爬行到点D处，它爬行的最短距离为 .【答案】10cm【解析】【解答】解：如图，蚂蚁从前面与右侧面经过时，连接AD由题意得： 如图，蚂蚁从前面与上面经过时，连接AD由题意得： 如图，蚂蚁从左面与上面经过时，连接AD由题意得： 而 所以蚂蚁爬行的最短距离为10cm.故答案为：10cm. 【分析】蚂蚁从前面与右侧面经过时，连接AD，由题意得AC=8，CD=6，利用勾股定理可得AD；蚂蚁从前面与上面经过时，连接AD，由题意得AB=5，BD=9
15、，利用勾股定理求出AD；蚂蚁从左面与上面经过时，连接AD，由题意得AG=3，DG=11，利用勾股定理求出AD，然后进行比较即可得到最短距离.14如图所示，是长方形地面，长，宽，中间竖有一堵砖墙高.一只蚂蚱从B点爬到D点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 m的路程.【答案】【解析】【解答】解：将长方形底面和中间墙展开后的平面图如下，并连接BD根据题意，展开平面图中的一只蚂蚱从B点爬到D点，最短路径长度为展开平面图中BD长度是长方形地面故答案为：.【分析】将长方形底面和中间墙展开后的平面图如下，并连接BD，可得一只蚂蚱从B点爬到D点，最短路径长度为展开平面图中BD长度，利用勾股定理求出BD即可.
16、15如图，是的角平分线，则的长为 【答案】【解析】【解答】解：如图，过点作于点，是直角三角形是的角平分线，在与中设，则在中，即解得在中故答案为：【分析】过点作于点，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再证明，可得BE=BC=9，进而求出AE的长，再利用勾股定理列出方程求解即可。三、解答题16如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米求竹子折断处与根部的距离CB【答案】解：由题意知BCAC8，CBA90， 设BC长为x米，则AC长为（）米，在RtCBA中，有，即：x2+16=(8-x)2，解得：，竹子折断处C与根部的距离CB
17、为3米【解析】【分析】由题意可设BC长为x米，则AC长为（）米，在RtCBA中，利用勾股定理列出方程，求解即可。17学校运动场上垂直竖立的旗杆的顶端A系有一根升旗用的绳子,绳子垂直到地面时还剩1米长在地面（如图）,小芳为了测量旗杆AB的高度,将绳子拉直,使绳子的另一端C刚好着地（如图）量得BC5米,求旗杆AB的高度【答案】解：设旗杆的高度为，则，在中，由勾股定理即可得解得：故旗杆的高度为米【解析】【分析】设旗杆的高度为，则，利用勾股定理可得，求出x的值即可。18如图所示，A，B两地之间有一-座山，汽车原来从A地到B地时需经过C地沿折线ACB行驶，开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶已知AC=10
18、 km，A=30B=45则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？【答案】解：作CDAB于点D在RtACD中，A= 30，CD= AC=5 km，AD= ( km) B=45，BD=CD=5 km，BC= (km)，AC+ BC- AB=10+ -( +5)=(5+ - ) km，汽车从A地到B地比原来少走(5+ - ) km【解析】【分析】作CDAB于点D，利用30角所对的直角边等于斜边的一半，可求出CD的长，再利用勾股定理求出AD的长，利用等腰直角三角形的性质可求出BD的长，利用勾股定理求出BC的长；然后根据汽车从A地到B地比原来少走的路程为AC+BC-AB，代入计算求出其结果.1
19、9如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）【答案】解：在RtABC中： CAB=90，BC=13米，AC=5米， （米），此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，CD=13-0.510=8（米）， （米），BD=AB-AD=12- （米），答：船向岸边移动了（12- ）米【解析】【分析】在RtABC中利用勾股定理求出AB的长，再根据题意得出CD的长，再利用勾股定理计算出AD的长，再利用AB=AD即可得出BD的长。20如图，在
20、ABC中，D是BC边上的一点，若AB5，BD3，AD4，AC8，求CD的长【答案】解：AB5，BD3，AD4， ， ， ，在RtADC中，AC=8， 【解析】【分析】根据AB5，BD3，AD4，得出 ，在RtADC中，AC=8，利用勾股定理得出DC的值。21小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，AC40米，AB30米出发3秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？【答案】解：如图，出发3秒钟时， 米， 米， AC=40米，AB=30米，AC1=28米，AB1=21米，在 中， 米25米，出发3秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰 【解析】【分析】根据题意求得 米， 米， 得出 AC1=28米，AB1=21米， ，根据勾股定理即可得出结论。22如图，在 ABC中，点D是BC上一点，连接AD，若AB=13，BD=5，AD=12，CD=16，求AC的长度 【答案】解：AB=13，BD=5，AD=12， ， ABD是直角三角形，ADB90ADC90，ADC是直角三角形DC=16，AC= =20【解析】【分析】由三角形三边的关系可判断ABD是直角三角形，然后由勾股定理即可求出AC的长。
