1、 数学试题共2页第1页电子科技大学 2015 年硕士学位研究生入学考试试题 考试科目：688 高等数学 注：所有答案必须写在答题纸上，做在试卷或草稿纸上无效。 一、选择题（每小题 4 分，共 32 分，只有一项符合题目要求） 1. 设( )232xxf x =+， 当0 x 时 （ ） . ( )A ( )f x与x是等价无穷小； ( )B ( )f x与x是同阶但非等价无穷小； ( )C ( )f x是比x高阶的无穷小； ()D ( )f x是比x低阶的无穷小. 2. 设当axb，则当axb; ( )B( ) ( )( ) ( )f x g bf b g x; ( )C( ) ( )( )
2、( )f x g xf b g b; ()D( ) ( )( ) ( )f x g xf a g a. 3. 设( )x在 , a b上连续,( )0 x,则函数 ( )| ( )dbayxxttt=的图形( ). ( )A 在( , )a b内为凸(上凸)； ( )B 在( , )a b内为凹(下凸)； ( )C 在( , )a b内有拐点； ()D 在( , )a b内有间断点. 4. 若( , )f x y在点(0,0)的两个偏导数存在， 则( , )f x y在点(0,0) ( ). ( )A 连续且可微； ( )B 连续但不一定可微； ( )C 可微但不一定连续； ()D不一定可微也
3、不一定连续 5.设 222( ), uf rrxyz=+, ( )f r具有二阶连续导数, 则222222uuuxyz+=( ). 22121112( )( )( );( ) ( )( )( )( )( );()( )( )A frfrB frfrCfrfrDfrfrrrrrrr+;. 6. 14 0 0d( cos , sin ) df rrr r= ( ). 2222221122 0 0 0221122 0 0 0( ) d( , )d ; ( ) d( , )d ;( ) d( , )d ; () d( , )d .xxxyyyAxf x yyBxf x yyCyf x yxDyf x
4、yx 7. 设曲线L是区域D的正向边界， 则D的面积为 ( ). 11( ) dd ; ( ) dd ; ( ) dd ; () dd .22LLLLAx yy xBx yy xCx yy xDx yy x+ 1(3)6,2nnnaxxx=8.若幂级数在处发散则该级数在处 ( ). ( ) ; ( ) ; ( ) ; () .ABCD条件收敛绝对收敛发散敛散性不能判定 数学试题共2页第2页 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 1. 当 0 x ,22121()xaxbxo x= + 则a = ,b = . 2. 设 ( )(1)(2) (100)f xxxx=, 则(100)f = .
5、 3. 240sinsindxxxx= . 4. 函数23uxy z=在点(1, 1, 1)处方向导数的最大值是 . 5. 设 222( , , )(1)1x y z xyz =+,则222d d d_.xyzx y z+= 6. 函数2, 01,( )0, 12xxf xx=在点0 x =可微， (1) 求常数, a b的值； (2) 求函数( )f x在 1,1上的值域 , c d. 四、 （10 分）设2(sin)sinxfxx=，求 ( )d .1xf xxx 五、（11 分） 设f二阶可导，(0)1f=， 满足 1 2 0 ( )3 ( )2( )dxfxf xxf txte+= ，
6、 求( )f x. 六、 （10 分）求曲线2226,0 xyzxyz+=+=在点(1, 2,1)处的切线和法平面方程. 七、 （11 分）过椭圆223231xxyy+= 上任一点(第一象限)作椭圆的切线, 求这些切线与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值. 八、 （10 分）计算曲线积分3()d()d()dLIxy zxxyyxyzz=+ ，其中曲线L为曲面221xy+= 与曲面22xyz+= 的交线, 从原点看去是逆時针方向. 九、 （10 分）设函数( )f x具有连续导数,S为曲面22+1 (13)zxyz=+,取上侧, 计算曲面积分 2222 () +d d() + d d(+) d dxSzxzxfxyy zfx yez xz xyx yyyxy+. 十、十、 （10 分）设函数( )f x在0,1上可导,(0)0f=, 在(0,1)内有最大值 2，并取得最小值, 证明: (1) 至少存在一个点(0,1), 使得 ( )2f ； (2) 至少存在一个点(0,1), 使得 ( )4f . 十一、 （十一、 （11 分）设( )g x在(,) +连续,对任意实数x,有(1)( )g xg x+=,且 1 0( )d0g xx =; 又函数( )f x在0,1上有连续的导数, 记 1 0( ) ()dnaf x g nxx=, 证明：级数 21nna=收敛.
