1、1 1、你曾见过这个图案吗、你曾见过这个图案吗? ?活动活动1 1 欣赏图片了解历史欣赏图片了解历史赵爽弦图赵爽弦图 这个图案是这个图案是3 3世纪我国世纪我国汉代的赵爽在注解汉代的赵爽在注解周髀周髀算经算经时给出的，人们称时给出的，人们称之为之为“赵爽弦图赵爽弦图”2 2、你听说过、你听说过“勾股定理勾股定理”吗？吗？如：勾三，股四，弦五如：勾三，股四，弦五 在我国古代，人们将直角三角形在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做中短的直角边叫做勾勾，长的直角边叫，长的直角边叫做做股股，斜边叫做，斜边叫做弦弦。活动活动2 2、 探索勾股定理探索勾股定理ABCA、B、C的面积有什么关系？的面积
2、有什么关系？SA+SB=SC直角三角形三边有什么关系？直角三角形三边有什么关系？两直边的平方和等于斜边的平方两直边的平方和等于斜边的平方数学家毕达哥拉斯的故事数学家毕达哥拉斯的故事 对于等腰直角三角形有这样的性质：对于等腰直角三角形有这样的性质：两直两直边的平方和等于斜边的平方边的平方和等于斜边的平方. 那么对于那么对于一般一般的直角三角形是否也有这样的直角三角形是否也有这样的性质呢？的性质呢？ 请大家画一个任意的直角三角形，请大家画一个任意的直角三角形，量一量，算一算。量一量，算一算。命题：如果直角三角形的两直角边长分命题：如果直角三角形的两直角边长分别为别为a a、b b，斜边长为，斜边长
3、为c c，那么，那么a a2 2+b+b2 2=c=c2 2。abcABCA的面的面积积(单单位长度位长度)B的面的面积积(单单位长度位长度)C的面的面积积(单单位长度位长度)图图2图图3A、B、C面积面积关系关系直角三直角三角形三角形三边关系边关系图图2图图3491392534sA+sB=sC两直角边的平方和两直角边的平方和等于斜边的平方等于斜边的平方ABC探究：你会求出图形的面积吗？探究：你会求出图形的面积吗？ 两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣。因为这个定理太贴近人们的生活实际，以致趣。因为这个定理太贴近人们的生活实际，以致于古往今来，下至平民
4、百姓，上至帝王总统都愿于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨它的证明，因此不断涌现新的证法。下面意探讨它的证明，因此不断涌现新的证法。下面我们一起学习几种证明勾股定理的方法。我们一起学习几种证明勾股定理的方法。勾股定理勾股定理: :直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方a a2 2+b+b2 2=c=c2 2b2c2a2赵爽的赵爽的“弦图弦图” 早早在公元在公元3 3世纪，我国数世纪，我国数学家赵爽就用左边的图形验证学家赵爽就用左边的图形验证了了“勾股定理勾股定理”。 在在北京召开的北京召开的20022002年国际年国际数学家大会（数学家大会
5、（TCMTCM20022002）的）的会标，其图案正是会标，其图案正是“弦图弦图”，它标志着中国古代的数学成就它标志着中国古代的数学成就. .思考思考: :你能验证吗？你能验证吗？ 赵爽指出：按赵爽指出：按弦图，又可以勾股弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾之为朱实四，以勾股之差自相乘为中股之差自相乘为中黄实。加差实，亦黄实。加差实，亦成弦实。成弦实。赵爽弦图赵爽弦图朱实朱实朱实朱实朱实朱实CcABababc朱实朱实C2=(221ab）+ (a-b)2a2+b2=2 (4)(3)(2)(1)(1)(2)(3)(4)cccc(a-b)2(a-b)2C2421ab=a2
6、 + b2 = c2可得可得：a2+b22ab = c22abbCa想一想：这四个直角三角形还能怎样拼？想一想：这四个直角三角形还能怎样拼？证法一证法一bababa bacccc大正方形的面积该怎样表示大正方形的面积该怎样表示?(a+b)2=a2 + b2 + 2ab = c2+2ab可得可得: a2 + b2 = c2ab2142c证法二证法二 在在1876年一个周末的傍晚年一个周末的傍晚,美国华盛顿的郊外美国华盛顿的郊外,有一位中年有一位中年人正在散步人正在散步,欣赏黄昏的美景欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德议员伽菲尔德.他走着走着他走着
7、走着,突然发现附近的一个小石凳上突然发现附近的一个小石凳上,有两有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论时而大声争论,时而小声探时而小声探讨讨.由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚想搞清楚两个小孩到底在干什么两个小孩到底在干什么,只见一个小男孩正俯着身子，用树枝在只见一个小男孩正俯着身子，用树枝在地上画一个直角三角形，于是伽菲尔德便问，你们在干什么？地上画一个直角三角形，于是伽菲尔德便问，你们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形请问先生，如果直
8、角三角形的两条直角边分别是和的两条直角边分别是和4，那么斜边长为多少呢？，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔伽菲尔德答到：德答到：“是呀。是呀。”小男孩又问道：小男孩又问道：“如果两条直角边分别如果两条直角边分别为和，那么这个直角三角形的斜边长又是多少呢？为和，那么这个直角三角形的斜边长又是多少呢？”伽菲伽菲尔德不假思索地回答到：尔德不假思索地回答到：“那斜边的平方，一定等于那斜边的平方，一定等于5的平方的平方加上加上7的平方的平方”小男孩又说道：小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道先生，你能说出其中的道理吗？理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不
9、是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。留下的难题。证证 法法 3 3 (a + b)(b + a) = a2 +a2 + b2= c2aabbcc 伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法道理，并给出了简洁的证明方法1876年年4月月1日，伽菲尔德日，伽菲尔德在在新英格兰教育日志新英格兰教育日志上发表了他对勾股定理的这一证法。上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念年，伽菲尔德就
10、任美国第二十任总统后，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证法称为法称为“总统总统”证法证法。2121212121c2+ 2( )21+ ab + b2= c2abab a2 + b2 = c2a2b2a2c2毕达哥拉斯证法毕达哥拉斯证法证证 法法 4 4： 你还想知道勾股定理的其它证法吗？你还想知道勾股定理的其它证法吗？ 请上网查询，你一定会有精彩的发现。若你请上网查询，你一定会有精彩的发现。若你再能写一点有关勾股定理的小文章，那就更漂亮再能写一点有关勾股定理的小文章，那就更漂亮了。了。定理：经过证明被确认为正确的
11、命题叫做定理：经过证明被确认为正确的命题叫做定理。定理。勾股定理：如果直角三角形的两直角边长勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为、，斜边为，那么分别为、，斜边为，那么2 2+b+b2 2=c=c2 2。ACB如图，在如图，在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，则，则 2 2 +b+b2 2 =c=c2 2常用的勾股数：常用的勾股数：3，4，5； 5，12，13； 6，8，10； 7，24，25。勾股定理的各种表达式勾股定理的各种表达式： 在在RTRTABCABC中，中，C=90C=90, A , A 、B B、 C C的对边分别为的对边分别为a a 、b b 、c ,c ,则则
12、: :c2=a2+b2a2=c2-b2b2=c2-a2c2=a2+b2a2=c2-b2b2=c2-a222ba c=a=22bc b=22ac “ “赵爽弦图赵爽弦图表现了我国古代人队数学的钻表现了我国古代人队数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲，研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲，因此，这个图案被选为因此，这个图案被选为20022002年在北京召开的国际年在北京召开的国际数学家大会的会徽。数学家大会的会徽。 在西方，一般认为这个定理是毕达哥拉斯发在西方，一般认为这个定理是毕达哥拉斯发现的，所以人们称这个定理为毕达哥拉斯定理。现的，所以人们称这个定理为毕达哥拉斯定理。例例1
13、1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方男孩头顶上方3 3千米处，过了千米处，过了2020秒，飞机距离这个秒，飞机距离这个男孩头顶男孩头顶5 5千米。这一过程中飞机飞过的距离是多千米。这一过程中飞机飞过的距离是多少千米？少千米？ABC3千米千米5千米千米20秒后秒后例例1 1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方男孩头顶上方3 3千米处，过了千米处，过了2020秒，飞机距离这个男秒，飞机距离这个男孩头顶孩头顶5 5千米。这一过程中飞机飞过的距离是多少千千米。这一过程中飞机飞过的距离是
14、多少千米？米？BCA35？1) 在直角三角形中，两条直角边分别为在直角三角形中，两条直角边分别为a,b, 斜边为斜边为c，则，则c2=_a2+b22) 在在RTABC中中C=90, 若若a=4,b=3,则则c=_若若c=13,b=5,则则a=_ 若若 c=17,a=8,则则b=_51215一一 填空题：填空题：(3)(3)等边三角形的边长为等边三角形的边长为1212，则它的高为，则它的高为_（4) 4) 在直角三角形中在直角三角形中, ,如果有两边为如果有两边为3,4,3,4,那么那么另一边为另一边为_5 5或或736二二 选择题：选择题：如果直角三角形的一个锐角为30度，斜边长是2 ，那么直
15、角三角形的其它两边长是（ ）A 1， B 1 ，3 C 1， D 1 ,5 如图，在如图，在RTRTABCABC中，中，C=90C=90, ,B=45B=45,AC=1,AC=1,则则AB=( )AB=( )A 2 B 1 C D A 2 B 1 C D 3523ACABC一个长方形的长是宽的2 倍，其对角线的长是5，那么它的宽是（ ） A B C D 2525525二二 选择题：选择题：B（4 4）、放学以后，小红和小颖从学校分手，分）、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东方向和南方向回家，若小红和小颖行别沿着东方向和南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是走的速度都是4040米米/ /
16、分，小红用分，小红用1515分钟到家，小分钟到家，小颖用颖用2020分钟到家，小红和小颖家的距离为分钟到家，小红和小颖家的距离为 （ ） A A、600600米米 B B、800800米米 C C、10001000米米 D D、不能确定、不能确定C C（5 5）、直角三角形两直角边分别为）、直角三角形两直角边分别为5 5厘米、厘米、1212厘厘米，那么斜边上的高是米，那么斜边上的高是 （ ）A A、6 6厘米厘米 B B、 8 8厘米厘米 C C、 80/1380/13厘米；厘米； D D、 60/1360/13厘米；厘米；D D探索勾股定理探索勾股定理1、想一想、想一想我们有我们有: :三、
17、解决问题：三、解决问题：46b=58b=58a=46a=4658cc c2 2=a=a2 2+b+b2 2 =46 =462 2+58+582 2 =5480 =5480 而而74742 2=5476=5476由勾股定理得：由勾股定理得：在误差范围内在误差范围内小明妈妈买了一部小明妈妈买了一部2929英寸英寸(74(74厘米厘米) )的的电视机，小明量了电视机的屏幕后，电视机，小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有发现屏幕只有5858厘米长和厘米长和4646厘米宽，厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了他觉得一定是售货员搞错了. .你同意你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？他的想法吗？你能解释这是
18、为什么吗？DABC2 2、蚂蚁沿图中的折线从、蚂蚁沿图中的折线从A A点爬到点爬到D D点，一共爬了点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为多少厘米？（小方格的边长为1 1厘米）厘米）GFE某楼房三楼失火，消防队员赶来救某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高火，了解到每层楼高2 2米，消防队米，消防队员取来员取来7 7米长的云梯，如果梯子的米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是底部离墙基的距离是2.52.5米，请问米，请问消防队能否进入三楼灭火消防队能否进入三楼灭火? ?应用举例应用举例解解:如图如图,在在RtABC中，中，C=90, AC=6米米 , BC=2米米,则则AB= 6.3因为因为7米大于米大于6.3米米所以所以消防队能进入三楼灭火消防队能进入三楼灭火1 1）本节课我们学习了什么）本节课我们学习了什么? ?3 3）了解用面积法证明勾股定理）了解用面积法证明勾股定理勾股定理勾股定理2 2）利用勾股定理，）利用勾股定理，已知直角三角形已知直角三角形的某两边长，会根据条件求另一边的某两边长，会根据条件求另一边2 2、通过书籍和网络查阅有关资料，了解勾股定理的、通过书籍和网络查阅有关资料，了解勾股定理的历史背景和意义（如课本历史背景和意义（如课本P65P65） 1 1、P69-70P69-70第第1 1、2 2题题
