1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束1/61重积分重积分第八章第八章习题课习题课一、关于二重积分计算一、关于二重积分计算二、关于三重积分在直角坐标系下计算二、关于三重积分在直角坐标系下计算三、关于二重积分的应用三、关于二重积分的应用机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束2/61（一）、（一）、重积分常见题目类型重积分常见题目类型1.一般重积分的计算：一般重积分的计算：a. 选择坐标系选择坐标系使积分域多为坐标面使积分域多为坐标面(线线)围成围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.b. 确定积分序确定积分序积分域分块要
2、少积分域分块要少, 累次积分易算为妙累次积分易算为妙 .列不等式法列不等式法 (投影穿线投影穿线)c. 写出积分限写出积分限 累次积分累次积分法法d. 计算要简便计算要简便充分利用对称性充分利用对称性应用换元公式应用换元公式一、关于二重积分计算一、关于二重积分计算机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束3/612.改变累次积分的积分次序改变累次积分的积分次序题目要求改变积分次序或按原积分次序题目要求改变积分次序或按原积分次序积不出来，必须改变积分次序积不出来，必须改变积分次序. .3.求平面图形求平面图形D 的面积的面积 Ddxdy Ddd 4.求由曲面所围立体的体积求由曲面
3、所围立体的体积 DdxdyyxfV),(用二重积分：用二重积分：5.用二用二重积分求曲面的面积重积分求曲面的面积 xyDdxdyyzxzA22)()(1 xzDdxdzzyxyA22)()(1 yzDdydzzxyxA22)()(1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束4/616.重积分性质的应用题重积分性质的应用题 重重积积分分中中值值定定理理的的应应用用比比较较重重积积分分的的大大小小估估计计重重积积分分的的值值（二）、重积分计算的基本技巧（二）、重积分计算的基本技巧分块积分法分块积分法利用对称性利用对称性1. 交换积分顺序的方法交换积分顺序的方法2. 利用对称性简化计
4、算利用对称性简化计算3. 消去被积函数绝对值符号消去被积函数绝对值符号4.被积函数为被积函数为1时巧用其几何意义时巧用其几何意义 的面积的面积DdxdyD 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束5/61, bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续. .)(1x )(2x ,ba(三三)、利用直角坐标系计算二重积分、利用直角坐标系计算二重积分(1)X型域型域)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 【X型区域的特点型区域的特点】 穿过区域内部且平行于穿过区域内部且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点轴的直线与区
5、域边界相交不多于两个交点. .1. 【预备知识及预备知识及二重积分公式推导二重积分公式推导】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束6/61若积分区域为若积分区域为X型域：型域：, bxa ).()(21xyx 0),( yxf且设且设为曲顶的柱体体积为曲顶的柱体体积为底，以曲面为底，以曲面的值等于以的值等于以则则),(),( yxfzDdyxfD 【方法方法】根据二重积分的几何意义根据二重积分的几何意义以及计算以及计算“平平行截面面积为已知的立体求体积行截面面积为已知的立体求体积”的方法来求的方法来求. .,0bax 0 xx 作平面作平面机动机动 目录目录 上页上页 下页
6、下页 返回返回 结束结束7/61)(01x )(02x )()(000201),()(xxdyyxfxA badxxAV)( .),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf 即得即得公式公式1 的二次积分的二次积分后对后对上式称为先对上式称为先对xyyxzab0 xo)(1xy)(02x )(01x )(2xy)(0 xA ),()( )()(21 xxdyyxfxA ),( yxfzoyxz)(0 xA),(yxfz )(1xy)(2xyab0 x机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束8/61【几点小结几点小结】计计算算方方法法实实现现了了二二重重积积分分的
7、的一一种种通通过过体体积积作作为为过过渡渡 , .)( 来来求求解解单单积积分分通通过过计计算算两两次次定定积积分分).()(, :21xyxbxaDX baxxDdxdyyxfdxdyyxf),(),()()(21 aboxyDx)(1xy )(2xy abdx )(1x )(2x dy Ddyxf ),(),(yxf投影穿线法投影穿线法定限：定限：二重积分的计算关键是二重积分的计算关键是 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束9/61,dyc ).()(21yxy (2)Y型域型域)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D【Y型区域的特点型区域的特点】
8、穿过区域内部且平行于穿过区域内部且平行于x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束10/61).()( , 21yxydyc xyoD yx1 yx2 cd:Y).2(型型域域若若积积分分域域为为 y Ddxdyyxf),( . 的的二二次次积积分分后后对对即即化化二二重重积积分分为为先先对对yx )()(21),(yydxyxf dcdy公式公式2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束11/61(3)既非既非X型域也非型域也非Y型域型域3D2D1D在分割后的三个区域上分别都在
9、分割后的三个区域上分别都是是X型域型域( (或或Y型域型域) )如图如图 , , 则必须分割则必须分割. .321 DDDD由二重积分积分区域的可加性得由二重积分积分区域的可加性得2.【二重积分的计算步骤可归结为二重积分的计算步骤可归结为】画出积分域的图形，标出边界线方程画出积分域的图形，标出边界线方程根据积分域特征，确定积分次序；根据积分域特征，确定积分次序；根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束12/61(1) 使用公式使用公式1必须是必须是X型域，公式型域，公式2 2必须是必须是Y型
10、域型域. .(2)若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 , Dyxyxfdd),(为计算方便为计算方便, ,可可选择积分次序选择积分次序, , 必要时还可必要时还可交换积分次序交换积分次序. .则有则有yyxfxxd),()()(21 baxdxyxfyyd),()()(21 dcyd)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdcx)(1xyy(3) 若积分域较复杂若积分域较复杂,X- -型域或型域或Y- -型域型域. . 321DDDDoxy1D2D3D【说明说明】可将它分成若干可将它分成若干机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束13/61【例例1】.2, 1,所围闭区域
11、所围闭区域及及：由：由其中其中计算计算xyxyDxydD 【解解】看作看作X型域型域 xyxDX121: 21121212dxyxxydydxxydxxD 811)22(213 dxxx12oxy y=xy=1DxD既是既是X型域又是型域又是Y型域型域法法13、 【利用直角坐标系计算二重积分题类利用直角坐标系计算二重积分题类】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束14/61看作看作Y型域型域 221:xyyDY 21222212dyxyxydxdyxydyyD 811)22(213 dyyy12oxyx = yx=2Dy12法法2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回
12、返回 结束结束15/61【例例2】. 1, 1,: ,122所围闭区域所围闭区域和和由由计算计算 yxxyDdyxyD 【解解】 D既是既是X型域又是型域又是Y型域型域 111:yxxDX法法1 122111xdyyxydx上式上式21 1 11 11 1xo oy=xDxy机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束16/61法法2 yxyDY111: ydxyxydy122111原式原式注意到先对注意到先对x 的积分较繁，故应用法的积分较繁，故应用法1 1较方便较方便111yoy=xD1xy注意两种积分次序的计算效果！注意两种积分次序的计算效果！机动机动 目录目录 上页上页
13、下页下页 返回返回 结束结束17/61【例例3】所围闭区域所围闭区域及及：由：由其中其中计算计算2,2 xyxyDxydD 【解解】 D是是Y型域型域也可以视也可以视X型域型域先求交点先求交点(4,2) (1,-1) 2 2和和由由 xyxy机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束18/61法法1 视为视为X型域型域 xyxxD10:1 xyxxD241:221 DDD 则必须分割则必须分割 21DDDxyd xxxxxydydxxydydx24110 （计算较繁）（计算较繁）本题进一步说明两种积分本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！次序的不同计算效果！法法2 221:
14、2yxyyDY 2212yyDxydxdyxyd 855 （计算简单）（计算简单）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束19/61D【例例4】【解解】围成围成由由其中其中计算计算2,1,.22 xxyxyDdyxD X-型型 xxDdyyxdxdyx1222122 2112)(dxyxxx 213)(dxxx.49 . 21,1: xxyxD机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束20/61【例例5】【解解】. 10, 11:.2 yxDdxyD其中其中计算计算 1D2D3D先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图 dxydyxdxyDDDD 321)
15、()(222 1211021122)()(xxdyxydxdyyxdx.1511 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束21/61.sin21231 xdyydx计算计算 21231sinxdyydx 11220sinydxydy 202sindyyy).4cos1(21 【例例6】【解解】【分析分析】交换积分次序交换积分次序若直接计算，积若直接计算，积分比较困难！分比较困难！（注意被积函数）（注意被积函数）作业作业 P152;同济同济p154机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束22/61（四）、利用极坐标系计算二重积分（四）、利用极坐标系计算二重积分
16、首先分割区域首先分割区域 D 常数（一系列同心圆）常数（一系列同心圆） 射线）射线）常数（一系列过极点的常数（一系列过极点的 两组曲线将两组曲线将 D 分割成许多小区域分割成许多小区域AoD用用1.极坐标系下二重积分表达式极坐标系下二重积分表达式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束23/61AoDii ii iii sincos yx再再作作代代换换将典型小区域将典型小区域近似看作矩形（近似看作矩形（面积面积= =长长宽宽）则则 面积元素面积元素 ddd 扇形扇形弧长弧长径向径向宽度宽度dddd机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束24/61.)sin
17、,cos(),( DDddfdxdyyxf 则则二重积分极坐标表达式二重积分极坐标表达式可得下式可得下式【注意注意】极坐标系下的面积元素为极坐标系下的面积元素为dd d 直角坐标系下的面积元素为直角坐标系下的面积元素为ddxdy 区别区别机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束25/61.)sin,cos()()(21 dfd Dddf )sin,cos(2. .二重积分化为二次积分的公式二重积分化为二次积分的公式区域特征如图区域特征如图, ).()(21 （1）极点极点O 在区域在区域 D 的边界曲线之外时的边界曲线之外时 ADo)(1 )(2 机动机动 目录目录 上页上页
18、 下页下页 返回返回 结束结束26/61若区域特征如图若区域特征如图, ).()(21 .)sin,cos()()(21 dfd Dddf )sin,cos(AoD)(2 )(1 特别地特别地机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束27/61AoD)( .)sin,cos()(0 dfd（2）极点极点O 恰在区域恰在区域 D 的边界曲线之上时的边界曲线之上时区域特征如图区域特征如图, ).(0 Dddf )sin,cos(（1）的特例的特例机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束28/61 Dddf )sin,cos(.)sin,cos()(020 dfd区
19、域特征如图区域特征如图).(0 DoA)( ,2 0（3）极点极点 O 在区域在区域 D 的边界曲线之内时的边界曲线之内时（2）的特例的特例一般在什么情况下利用极坐标计算二重积分呢？一般在什么情况下利用极坐标计算二重积分呢？机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束29/611 yx122 yx【解解】 sincosyx Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 dfd3、利用极坐标系计算二重积分、利用极坐标系计算二重积分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束30/61【解解】dxdyeDyx 22 aded0202 ).1(2ae x
20、 yo的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数 , ,故本题无法故本题无法【注注】1.由于由于用直角坐标计算用直角坐标计算. .2xe 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束31/61【解解】 Ddxdyyxyx2222)sin( 210sin42 dd. 4 14DD 1D 12222)sin(4Ddxdyyxyx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束32/61【例例4】 计算二重积分计算二重积分 ,dd)(222 DyxyxeyxxI其中其中:(1) D为圆域为圆域;122 yx(2) D由直线由直线1,1, xyxy【解解】 (1) 利用对称性利
21、用对称性.yox1D dd2 DyxxI 0dd)(2122 Dyxyx 10320dd21 4 dd22 Dyxyxeyx围成围成 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束33/61 dd122 Dyxyxeyx(2) 积分域如图积分域如图:o1yx11D2Dxyxy ,xy 将将D 分为分为,21DD dd2 DyxxI dd222 Dyxyxeyx00dd1112 xyxx32 添加辅助线添加辅助线利用对称性利用对称性 , 得得 22 Dyxdxdyxye机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束34/61.)232(2222 dyxxayx 计算计算
22、 222)232(2ayxdyxx 222)2(2ayxdx 222 2)(21222adyxayx 20320221adrrda .2424aa 【例例6】【解解】作业作业 P153;同济同济p155!机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束35/614.【补充补充】 改变二次积分的积分次序例题改变二次积分的积分次序例题【例1】交换下列积分顺序 22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI【解解】 积分域由两部分组成积分域由两部分组成:,21020:21 xyxD822 yx2D22 2280222:xyxD21DDD 将将 :D视为视为Y型区域型区
23、域 , 则则282yxy 20 y DyxyxfIdd),( 282d),(yyxyxf 20dyyxo221D221xy 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束36/61【例例2】计算计算 Ddxdyyysin其其中中 D 是由直线是由直线 y=x 及抛物线及抛物线 y2 = x 所围成所围成oxy1xy xy 1【解解】)(积分次序计算积分次序计算后后按先按先xy xxdyyydxIsin10积不出的积分，无法计算。积不出的积分，无法计算。),(积积分分次次序序计计算算后后按按先先改改变变积积分分次次序序yx yydxyydyI2sin10 102)(sindyyyyy
24、 1010sinsinydyyydy. 1sin1)1sin1(cos1cos1 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束37/61)0( .),(22202 adyyxfdxIaxxaxa更换积分次序更换积分次序【例例3】【解解】 ,22,20:2axyxaxaxD,321三部分三部分及及分成分成将积分区域将积分区域DDDD2D1D3D;0,2:2221ayyaaxayD 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束38/61;2,22:22ayaaxayD ;0,2:223ayaxyaaD .),(),(),(2022220222222 ayaaaaayaa
25、yaaayadxyxfdydxyxfdydxyxfdyI故故2D1D3D作业作业 P153; 同济同济p155!机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束39/61二、三重积分的计算二、三重积分的计算1.1.利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分 以下只限于叙述计算方法以下只限于叙述计算方法1.直角坐标下直角坐标下2.柱面坐标下柱面坐标下3.球面坐标下球面坐标下方法方法1 . 投影法投影法 (“先一后二先一后二”)方法方法2 . 截面法截面法(切片法切片法) (“先二后一先二后一”) ,0),( zyxf先假设连续函数先假设连续函数 最后最后, 推广到一般可积函数的积
26、分计算推广到一般可积函数的积分计算. -将三重积分化为三次积分将三重积分化为三次积分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束40/61方法方法1 1 ：投影法：投影法【“先一后二先一后二”】单积分单积分内先对内先对函数，在函数，在的的只看作只看作将将看作定值，看作定值，先将先将zyxzyxzzzzyxfyx),(),(),(,)3(21 如图如图xyDxoy面投影为平面闭区域面投影为平面闭区域向向将空间闭区域将空间闭区域 )1(),(:),(:2211yxzzSyxzzS 作直线作直线过点过点xyDyx ),()2(穿穿出出，从从穿穿入入从从 21zzz轴轴xyzo xyD1
27、z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束41/61 ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF上的二重积分上的二重积分在闭区域在闭区域计算计算xyDyxF),( )4(.),(),(),(),(21 xyxyDyxzyxzDddzzyxfdyxF ),()( , :21xyyxybxaDxy 得得),( yxFyx的函数的函数、结果为结果为X型域型域机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束42/61 dvzyxf),(.),()()(),(),(212
28、1 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx【注意注意】于两点情形于两点情形相交不多相交不多的边界曲面的边界曲面直线与闭区域直线与闭区域内部的内部的轴且穿过闭区域轴且穿过闭区域这是平行于这是平行于Sz 此式称为先对此式称为先对z、次对、次对y、最后对、最后对x的三次积分的三次积分得计算公式得计算公式（1）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束43/61（2）若交点多于两个，也可像处理二重积分那样，若交点多于两个，也可像处理二重积分那样， 将将分割，化为部分区域上的三重积分之和分割，化为部分区域上的三重积分之和. .（3）也可把也可把投影到投影到yoz面或面或zox面上，
29、便可面上，便可 把三重积分化为其它顺序的三次积分把三重积分化为其它顺序的三次积分. .（要求平行于（要求平行于 x 轴或轴或 y 轴且穿过闭区域轴且穿过闭区域内内部的直线与部的直线与的边界曲面的边界曲面 S 相交不多于两点）相交不多于两点）. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束44/61【例例1】.12 所围成的闭区域所围成的闭区域及平面及平面为三个坐标面为三个坐标面，其中，其中计算计算 zyxxdxdydz【解解】xyzo)0 , 0 , 1(A)0,21,0(B)1 , 0 , 0(CxyD如图如图OABDxoyxy为为闭闭域域面面得得投投影影到到将将 )1(21
30、010 xyxDxy：X型域型域xyDyx ),(作直线穿越作直线穿越内部内部穿出穿出穿入，从穿入，从从从yxzz210 yxz210 即即机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束45/61故故 yxzxyx210)1(21010:则则 yxxxdzdydxxdxdydz210)1(21010 21010)21(xdyyxxdx481)2(411032 dxxxxxyzo)0 , 0 , 1(A)0,21,0(B)1 , 0 , 0(CxyD机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束46/61【解解】, 122 yx.),(11221122222 xyxxxd
31、zzyxfdydxI得交线投影区域得交线投影区域机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束47/61【解解】 2220111:yxzyxx如图如图机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束48/61【例例4】所围成所围成由曲面由曲面，其中，其中计算计算 1, 1, 1 122222 yzxzxydxdydzxy【解解】 如图示如图示 面面投影到投影到将将xoz 1:22 zxDxz 上上的的二二重重积积分分积积分分，再再求求先先对对xzDy 112221zxDydydxdzxxz原式原式 22112211221xxdzzxdxx4528 机动机动 目录目录 上页
32、上页 下页下页 返回返回 结束结束49/61z【方法方法】 “先二后一先二后一”;,(2)21zDxoyzccz得截面得截面平面的平面去截平面的平面去截且平行且平行用过点用过点对对 【“先二后一先二后一”法的一般步骤法的一般步骤】;,)()1(21ccz投投影影区区间间得得投投影影轴轴例例如如向向某某轴轴把把积积分分区区域域 .,)()4(21即即得得三三重重积积分分值值最最后后计计算算定定积积分分 ccdzzF);(,),(3)zFzdxdyzyxfzD的函数的函数其结果为其结果为计算二重积分计算二重积分 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束50/61 zdxdydz,
33、10 zDdxdyzdz0, 0,1| ),( yxzyxyxDz)1)(1(21zzdxdyzD xozy111(?)zDDz之面积之面积241)1(21102 dzzz原式原式作业作业: 同济同济P164: 4,5机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束51/611.若积分区域为若积分区域为D,0),( yxf且设且设为曲顶的柱体体积为曲顶的柱体体积为底，以曲面为底，以曲面的值等于以的值等于以则则),(),( yxfzDdyxfD 三、关于二重积分的应用三、关于二重积分的应用（一）、立体的体积（一）、立体的体积概念概念 p138！机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返
34、回返回 结束结束52/61【例例1】 . )0( 24222222内内的的部部分分）立立体体的的体体积积所所截截得得的的（含含在在圆圆柱柱面面被被圆圆柱柱面面求求球球体体 aaxyxazyx【解解】由对称性由对称性14VV 其中其中 DdxdyyxaV222142: 2 D xyaxx轴与所围Flash 动画演示动画演示xyz2a2aD2.例题例题机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束53/61例1. 求球体求球体22224azyx被圆柱面xayx222)0( a所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解解:由对称性可知1:02cos, 02Dra12244d dDVar r
35、r20d4cos2022d4arrrad)sin1 (3322033a)322(3323aoxyza2机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束54/61【例例2】求两个底圆半径都等于求两个底圆半径都等于R 的直交圆柱面所围成的直交圆柱面所围成的立体的体积的立体的体积V.【解解】xyzRRo 设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为,222Ryx 利用对称性利用对称性, , 考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分, ,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为则所求体积为则所求体积为 DyxxRVdd822 220dxRyxxRRd)(8022 3316R 22
36、2Rzx 22xRz 2200:),(xRyRxDyxXxxRRd8022 222Ryx 222Rzx D机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束55/611.设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(yxfz 在在D上偏上偏导数连续导数连续xyzSo设光滑曲面设光滑曲面DyxyxfzS ),( , ),(:则面积则面积 A 可看成曲面上各点可看成曲面上各点),(zyxM处小切平面的面积处小切平面的面积 dA 无限积累而成无限积累而成. 设它在设它在 D 上的投影为上的投影为 d ,Adcosd ),(),(11cos22yxfyxfyx d),(),(1d22yxfyxfAyx
37、 (称为曲面称为曲面S的面积元素的面积元素)则则Mnd（二）、曲面的面积（二）、曲面的面积机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束56/61,122 DyxdffA dxdyyzxzAxyD 22)()(1故有曲面面积公式故有曲面面积公式即即2.若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为 yzDzyzxyxA dd)()(122,),( , ),(zyDzyzygx 则有则有 dd)()(122 zxDxzxyzyA3.若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为 ,),( , ),(xzDxzxzhy 则有则有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束57/61 1D：axyx
38、22,222yxaa 【解解】)0,( yx动画演示动画演示22)()(1yzxz 于是于是14AA 由对称性知由对称性知机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束58/61 12224Ddxdyyxaa cos0220142ardrrada.4222aa xyzaa1D0机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束59/61【例2】计算双曲抛物面yxz 被柱面被柱面222Ryx 【解解】 曲面在曲面在 xoy 面上投影为面上投影为,:222RyxD 则则 DyxdxdyzzA221 Ddxdyyx221rrrRd1d0220 所截出的面积所截出的面积 A . .
39、azoxy z = x y. 1)1(32232 R 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束60/61【解解】解方程组解方程组,22222 yxazazyx得两曲面的交线为圆周得两曲面的交线为圆周,222 azayx在在 平面上的投影域为平面上的投影域为xoy,:222ayxDxy 得得由由)(122yxaz ,2axzx ,2ayzy 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束61/61 221yxzz22221 ayax,441222yxaa 知知由由222yxaz 221yxzz, 2dxdyyxaaSxyD 222441故故dxdyxyD 2rdrraada 022204122 a ).15526(62 a【作业作业 P141例题例题;同济同济p175!】
