1、第 1 页，共 2 页 浙浙 江江 理理 工工 大大 学学 20172017 年硕士研究生招生考试初试试题年硕士研究生招生考试初试试题 考试科目：考试科目： 高等代数高等代数 代码：代码： 912912 （请考生在答题纸上答题，在此试题纸上答题无效）（请考生在答题纸上答题，在此试题纸上答题无效） 一.（15 分）设有线性方程组 1234123412341234512333819377xxxxxxxxxxxxxxxx 试用其一个特解与其导出方程组的基础解系表出其全部解. 二. (15 分）求向量组 11, 1,2,2,0，22, 2,4, 2,0， 33,0,6, 1,1，40,3,0,0,1.
2、 的一个极大无关组，并把每个向量都用极大无关组表示出来. 三. (15 分）在复数域上求下列矩阵的若尔当标准型：452221111 四. (15 分）计算n阶行列式1232341.3452121nDnn 五(15 分）设向量组 12,r (1) 线性无关，且可由向量组 12,s (2) 线性表示.证明：1）rs; 2)向量组（2）中存在r个向量用组（1）中某r个向量代替后得到的向量组 与组（2）等价. 第 2 页，共 2 页 六.(15 分)设T为线性空间V的一个线性变换，且2TT.证明： 1） T的特征值只能是 1 或 0； 2） 若用1V与0V分别表示对应于特征值 1 或 0 的特征子空间
3、， 则: 11,00VTV VT 3） 1100VVVTVT; 4） T只有特征值 0 的充要条件是T为零变换. 七.(15 分) 如果既约分数qp是整系数多项式 1011nnnnf xa xa xaxa 的根.证明：对任何整数k，pkq整除 f k. 八.(15 分) 用正交线性代换化下列二次型为标准型形： 222123121 32322448f xxxxx xx xx x 九 （15 分）设A为m n矩阵，设B为n s矩阵，证明：Sylvester 不等式： r ABr Ar Bn 十 （15 分） 1231,0,2,1 ,2,0,1, 1 ,3,0,3,0，121,1,0,1 ,4,1,3,1， 令1123,VL ,212,VL .求12VV的维数，并求其一组基.
