1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 5 3 等比数列及其前 n 项和 基础送分 提速狂刷练 一、选择题 1 (2018 邢台摸底 )已知数列 an为等比数列， a5 1， a9 81，则 a7 ( ) A 9 或 9 B 9 C 27 或 27 D 27 答案 B 解析 依题意得 a27 a5 a9 81，又注意到 a7a5 q20(其中 q 为公比 )，因此 a5， a7的符号相同，故 a7 9.故选 B. 2 (2018 安徽安庆模拟 )数列 an满足： an 1 a n 1(n N*， R 且 0) ， 若数列 an 1是等比数列，则 的值等于 ( ) A 1 B 1 C.12 D 2 答
2、案 D 解析 由 an 1 a n 1，得 an 1 1 a n 2 ? ?an2 .由于数列 an 1是等比数列，所以 2 1，得 2.故选 D. 3中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题： “ 三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ” 其 意思为：有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地，请问第二天走了 ( ) A 192 里 B 96 里 C 48 里 D 24 里 答案 B 解析 设等比数列 an的首项为 a1，公比为 q 12，依题意有a1? ?1 1261
3、 12 378，解得 a1 192，则 a2 192 12 96，即第二天走了 96 里故选 B. 4 (2018 浙江温州十校联考 )设等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 Sm 1 5， Sm 11，Sm 1 21，则 m ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 答案 C 解析 由已知得， Sm Sm 1 am 16， Sm 1 Sm am 1 32，故公比 q am 1am 2.又 Sm=【 ;精品教育资源文库 】 = a1 amq1 q 11，故 a1 1.又 am a1 qm 1 16，故 ( 1)( 2)m 1 16，求得 m 5.故选 C. 5 (2017 福建漳州八校联考
4、)等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S3 2， S6 18，则 S10S5等于 ( ) A 3 B 5 C 31 D 33 答案 D 解析 设等比数列 an的公比为 q，则由已知得 q1. S3 2， S6 18， 1 q31 q6218，得 q3 8， q 2. S10S5 1 q101 q5 1 q5 33.故选 D. 6 (2017 安徽六校素质测试 )在各项均为正数的等比数列 an中， a2， a4 2， a5成 等差数列， a1 2， Sn是数列 an的前 n 项的和，则 S10 S4 ( ) A 1008 B 2016 C 2032 D 4032 答案 B 解析 由题意知
5、2(a4 2) a2 a5，即 2(2q3 2) 2q 2q4 q(2q3 2)，得 q 2，所以an 2n， S10 2101 2 211 2 2046， S4 241 2 25 2 30，所以 S10 S4 2016.故选 B. 7 (2018 上海黄浦模拟 )已知 an是首项为 1 的等比数列，若 Sn是数列 an的前 n 项和，且 28S3 S6，则数列 ? ?1an的前 4 项和为 ( ) A.158 或 4 B.4027或 4 C.4027 D.158 答案 C 解析 设数列 an的公比为 q. 当 q 1 时，由 a1 1，得 28S3 283 84， S6 6，两者不相等，因此
6、不合题意 当 q1 时，由 28S3 S6及首项为 1，得 q31 q 1 q61 q，解得 q 3. 所以数列 an的通项公式为 an 3n 1. 所以数列 ? ?1an的前 4 项和为 1 13 19 127 4027. 8 (2018 衡水模拟 )已知 Sn 是等比数列 an的前 n 项和， a1 120， 9S3 S6，设 Tna1a2a3? an，则使 Tn取最小值时 n 的值为 ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 答案 C =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 设等比数列 an的公比为 q，由 9S3 S6知， q1 ，故 q31 q 1 q61 q，解得 q 2，又 a1
7、120， 所以 an a1qn 1 2n 120 . 因为 Tn a1a2a3? an， 故当 Tn取最小值时 an1 ，且 an 11 ， 即? 2n 120 1 ，2n201 ，得 n 5.故选 C. 9 (2018 河南洛阳模拟 )若 a， b 是函数 f(x) x2 px q(p0， q0)的两个不同的零点，且 a， b， 2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p q的值等于 ( ) A 6 B 7 C 8 D 9 答案 D 解析 a， b 是函数 f(x) x2 px 十 q(p0， q0)的两个不同的零点， a b p， ab q. p0， q0， a0
8、， b0. 又 a， b， 2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列， ? 2b a 2，ab 4 或 ? 2a b 2，ab 4， 解 得? a 4，b 1， 解 得 ? a 1，b 4. p a b 5， q 14 4. p q 9.故选 D. 10 (2017 广东清远一中一模 )已知正项等比数列 an满足： a3 a2 2a1，若存在两项am， an，使得 aman 4a1，则 1m 4n的最小值为 ( ) A.32 B.53 C.256 D不存在 答案 A 解析 正项等比数列 an满足： a3 a2 2a1， a1q2 a1q 2a1， 即 q2 q 2，解得 q
9、 1(舍 )或 q 2， 存在两项 am， an，使得 aman 4a1， aman 16a21， (a12 m 1)( a12 n 1) 16a21， =【 ;精品教育资源文库 】 = a212 m n 2 16a21， m n 6， 1m 4n ? ?1m 4n ? ?16 m n 16? ?5 nm 4mn 16? ?5 2 nm 4mn 32(当且仅当 n 2m 时取等 )， 1m 4n的最小值是 32.故选 A. 二、填空题 11 (2014 天津高考 )设 an是首项为 a1，公差为 1 的等差数列， Sn为其前 n 项和若S1， S2， S4成等比数列，则 a1的值为 _ 答案
10、12 解析 S1 a1， S2 2a1 1， S4 4a1 6.故 (2a1 1)2 a1(4a1 6)，解得 a1 12. 12 (2014 广东高考 )若等比数列 an的各项均为正数，且 a10a11 a9a12 2e5，则 ln a1 ln a2 ? ln a20 _. 答案 50 解析 因为等比数列 an中， a10 a11 a9 a12，所以由 a10a11 a9a12 2e5，可解得 a10 a11 e5. 所以 ln a1 ln a2 ? ln a20 ln (a1 a2 ? a20) ln (a10 a11)10 10ln (a10 a11) 10ln e5 50. 13 (2
11、017 广东潮州二模 )已知 Sn为数列 an的前 n 项和 ， an 23 n 1(n N*)， 若 bnan 1SnSn 1， 则 b1 b2 ? bn _. 答案 12 13n 1 1 解析 由 an 23 n 1可知数列 an是以 2 为首项， 3 为公比的等比数列， 所以 Sn 3n1 3 3n 1， 则 bn an 1SnSn 1 Sn 1 SnSnSn 1 1Sn 1Sn 1，则 b1 b2 ? bn ? ?1S1 1S2 ? ?1S2 1S3 ? ? ?1Sn 1Sn 1 1S1 1Sn 1 12 13n 1 1. 14一正数等比数列前 11 项的几何平均数为 32，从这 11
12、 项中抽去一项后所余下的 10项的几何平均数为 32，那么抽去的这一项是第 _项 答案 6 解析 由于数列的前 11 项的几何平均数为 32，所以该数列的前 11 项之积为 3211 255. 当抽去一项后所剩下的 10 项之积为 3210 250， 抽去的一项为 2552 50 25. =【 ;精品教育资源文库 】 = 又因 a1 a11 a2 a10 a3 a9 a4 a8 a5 a7 a26， a1 a2? a11 a116 .故有 a116 255， 即 a6 25. 抽出的应是第 6 项 三、解答题 15 (2017 海淀区模拟 )已知 an是等差数列，满足 a1 2， a4 14，
13、数列 bn满足 b1 1，b4 6，且 an bn是等比数列 (1)求数列 an和 bn的通项公式； (2)若 ? n N*，都有 bn bk成立，求正整数 k 的值 解 (1)设 an的公差为 d，则 d a4 a13 4， an 2 (n 1)4 4n 2， 故 an的通项公式为 an 4n 2(n N*) 设 cn an bn，则 cn为等比数列 c1 a1 b1 2 1 1， c4 a4 b4 14 6 8， 设 cn的公比为 q，则 q3 c4c1 8，故 q 2. 则 cn 2n 1，即 an bn 2n 1. bn 4n 2 2n 1(n N*) 故 bn的通项公式为 bn 4n
14、 2 2n 1(n N*) (2)由题意， bk应为数列 bn的最大项 由 bn 1 bn 4(n 1) 2 2n 4n 2 2n 1 4 2n 1(n N*) 当 n 3 时， bn 1 bn 0， bn bn 1，即 b1 b2 b3； 当 n 3 时， bn 1 bn 0，即 b3 b4； 当 n 3 时， bn 1 bn 0， bn bn 1，即 b4 b5 b6 ?. 综上所述，数列 bn中的最大项为 b3和 b4. 故存在 k 3 或 4，使 ? n N*，都有 bn bk成立 16 (2015 广东高考 )设数列 an的前 n 项和为 Sn， n N*.已知 a1 1， a2 3
15、2， a3 54，且当 n2 时， 4Sn 2 5Sn 8Sn 1 Sn 1. (1)求 a4的值； (2)证明： ? ?an 112an 为等比数列； (3)求数列 an的通项公式 解 (1) 4Sn 2 5Sn 8Sn 1 Sn 1， n 2 时， 4S4 5S2 8S3 S1， 4(a1 a2 a3 a4) 5(a1 a2) 8(a1 a2 a3) a1， 4 ? ?1 32 54 a4 5 ? ?1 32 8 ( 1 32 54 ) 1，解得 a4 78. (2)证明： n2 时， 4Sn 2 5Sn 8Sn 1 Sn 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = 4(Sn 2 Sn 1) 2(Sn 1 Sn) 2? ?Sn 1 Sn 12 Sn Sn 1 ， (Sn 2 Sn 1) 12(Sn 1 Sn) 12? ?Sn 1 Sn 1
