1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 7 1 空间几何体的结构及其三视图和直观图 知识梳理 1多面体的结构特征 2旋转体的结构特征 =【 ;精品教育资源文库 】 = 3直观图 (1)画法：常用 斜二测画法 (2)规则 原图形中 x轴、 y轴、 z轴两两垂直，直观图中， x 轴与 y 轴的夹角为 45( 或 135) ，z 轴与 x 轴 (或 y 轴 )垂直 原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍 平行于坐标轴 平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度 不变 ，平行于 y 轴的线段的长度在直观图中变为原来的 一半 4三视图 (1)几何体的三视图包括 正 视图、 侧 视图、 俯 视图，分别
2、是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线 (2)三视图的画法 基本要求：长对正，高平齐，宽相等 画法规则： 正侧 一样高， 正俯 一样长， 侧俯 一样宽；看不到的线画虚线 诊断自测 1概念思辨 (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 ( ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 ( ) (3)用斜二测画法画水平放置的 A 时，若 A 的两边分别平行于 x 轴和 y 轴，且 A 90 ，则在直观图中， A 45.( ) (4)正方体、球、圆锥各自的三视图 中，三视图均相同 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 (1) (2) (3)
3、 (4) 2教材衍化 (1)(必修 A2P15T4)如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的几何体是 ( ) 答案 A 解析 对于 A，该几何体的三视图恰好与已知图形相符，故 A 符合题意；对于 B，该几何体的正视图的矩形中，对角线应该是虚线，故不符合题意；对于 C，该几何体的正视图的矩形中，对角线应该是从左上到右下的方向，故不符合题意；对于 D，该几何体的侧视图的矩形中，对角线应该是虚线，不符合题意故选 A. (2)(必修 A2P28T3)如图 1 所示，是一个棱长为 2 的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中 DD1 1， AB BC AA1 2，若此几何体的俯视图如图 2
4、 所示，则可以作为其正视图的是 ( ) 答案 C =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由直观图和俯视图知，正视图中点 D1的射影是 B1，侧棱 B1B 是看不见的，在直观图中用虚线表示所以正视图是选项 C 中的图形故选 C. 3小题热身 (1)(2017 长沙模拟 )如图是一个正方体， A， B， C 为三个顶点， D 是棱的中点，则三棱锥 A BCD 的正视图，俯视图是 (注：选项中的上图是正视图，下图是俯视图 )( ) 答案 A 解析 正视图是等腰直角三角形，且 AD 棱属于看不见的部分，用虚线表示，俯视图也是等腰直角三角形，且 BD 棱属于看不见的部分，用虚线表示故选 A. (2)(
5、2017 北京高考 )某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( ) A 3 2 B 2 3 C 2 2 D 2 答案 B =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 在正方体中还原该四棱锥，如图所示， 可知 SD 为该四棱锥的最长棱 由三视图可知正方体的棱长为 2， 故 SD 22 22 22 2 3. 故选 B. 题型 1 空间几何体的结构特征 典例 下列结论正确的个数是 _ (1)有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱； (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； (3)有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台； (4)直角三角形绕其任
6、一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； (5)若在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线 举反例 答 案 0 个 解析 (1)(2)(3)(4)的反例见下面四个图 (5)平行于轴的连线才是母线 =【 ;精品教育资源文库 】 = 方法技巧 空间几何体结构特征有关问题的解题策略 1关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可 2圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系 3既然棱 (圆 )台是由棱 (圆 )锥定义的，所以在解决棱 (圆 )台问
7、题时，要注意应用 “ 还台为锥 ” 的解题策略 冲关针对训练 下列结论正确的是 _ 各个面都是三角形的几何体是三棱锥 若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 答案 解析 错误，如图 1； 错误，若两个垂直于底面的侧面平行，则可为斜棱柱； 正确，如图 2，底面 ABCD 为矩形， PD 平面 ABCD，那么四棱锥 P ABCD 四个侧面都是直角三角形； 错误，当截面与底面不平行时，不正确 题型 2 空间几何体的直观图 典例 (2017 桂林模拟 )已知正三角形 ABC 的边长为 a，那么 ABC 的平面直观图 A
8、 B C 的面积为 ( ) A. 34 a2 B. 38 a2 C. 68 a2 D. 616a2 根据平面图形的原图形与直观图的关系求解 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 D 解析 如图 (1)所示的是 ABC 的实际图形，图 (2)是 ABC 的直观图 由图 (2)可知 A B AB a， O C 12OC 34 a，在图 (2)中作 C D A B 于 D ，则 C D 22 O C 68 a. S A B C 12A B C D 12 a 68 a 616a2.故选 D. 条件探究 若将典例条件变为 “ ABC 的直观图 A1B1C1是边长为 a 的正三角形 ” ，则 ABC 的
9、面积是多少？ 解 在 A1D1C1中，由正弦定理 asin45 xsin120 ， 得 x 62 a， S ABC 12 a 6a 62 a2. 方法技巧 用斜二测画法画直观图的技巧 1在原图形中与 x 轴或 y 轴平行的线段在直观图中仍然与 x 轴或 y 轴平行 2原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线 3原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点，然后用平滑曲线连接 冲关针对训练 用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边 AB平行于 y轴， BC， AD平行于 x轴已=【 ;精品教育资源文库 】 = 知四边形 ABCD 的面积为 2 2cm2，则原平面图
10、形的面积为 ( ) A 4 cm2 B 4 2 cm2 C 8 cm2 D 8 2 cm2 答案 C 解析 依题意可知 BAD 45 ，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与 BC， AD相等，高为梯形 ABCD 的高的 2 2倍，所以原平面图形的面积为 8 cm2.故选 C. 题型 3 空间几何体的三视图 角度 1 已知几何体识别三视图 典例 (2018 湖南长沙三校一模 )已知点 E， F， G 分别是正方体 ABCD A1B1C1D1的棱AA1， CC1， DD1的中点，点 M， N， Q， P 分别在线段 DF， AG， BE， C1B1上以 M， N， Q， P 为顶点的三棱锥 P
11、MNQ 的俯视图不可能是 ( ) 答案 C 解析 当 M 与 F 重合、 N 与 G 重合、 Q 与 E 重合、 P 与 B1重合时，三棱锥 P MNQ 的俯视=【 ;精品教育资源文库 】 = 图为 A；当 M， N， Q， P 是所在线段的中点时，三棱锥 P MNQ 的俯视图为 B；当 M， N， Q， P位于所在线段的非端点位置时，存在三棱锥 P MNQ，使其俯视图为 D.不管 M， N， P， Q 在什么位置，三棱锥 P MNQ 的俯视图都不可能是正三角形故选 C. 角度 2 已知三视图还原几何体 典例 (2018 河北名师俱乐部模拟 )某几何体的三视图如图所示，记 A 为此几何体所有棱
12、的长度构成的集合，则 ( ) A 3 A B 5 A C 2 6 A D 4 3 A 答案 D 解析 由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，其中底面是边长为 4 的正方形， AF 平面 ABCD， AF DE， AF 2， DE 4，可求得 BE 的长为 4 3， BF 的长为 2 5， EF 的长为2 5， EC 的长为 4 2.故选 D. 方法技巧 1已知几何体，识别三视图的技巧 已知几何体画三视图时，可先找出各个顶点在投影面上的投影，然后再确定线在投影面上的实虚 2已知三视图，判断几何体的技巧 (1)一般情况下，根据正视图、侧视图确定是柱体、锥体还是组合体 (2)根据俯视图确定是否为旋
13、转体，确定柱体、锥体类型、确定几何体摆放位置 (3)综合三个视图特别 是在俯视图的基础上想象判断几何体 =【 ;精品教育资源文库 】 = 提醒：对于简单组合体的三视图，应注意它们的交线的位置，区分好实线和虚线的不同 冲关针对训练 (2017 文登市三模 )空间几何体的三视图如图所示，则此空间几何体的直观图为 ( ) 答案 A 解析 由已知三视图的上部分是锥体，是三棱锥，三棱锥的底面是等腰三角形，但不是直角三角形，排除 B， C.等腰三角形的一个顶点在正方体一条棱的中点，故排除 D.故选 A. 1 (2017 全国卷 )某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边 长为 2，俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 ( )
