1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 10.7 离散型随机变量及其分布列 知识梳理 1离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为 随机变量 ，常用字母 X， Y， ， ， ? 表示所有取值可以一一列出的随机变量，称为 离散型随机变量 2离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1， x2， ? ， xi， ? ， xn， X 取每一个值 xi(i 1,2， ? ， n)的概率 P(X xi) pi，则表 X x1 x2 ? xi ? xn P p1 p2 ? pi ? pn 称为离散型随机变量 X 的 概率分布列 ，简 称为 X 的 分布列 ，有时
2、为了表达简单，也用等式 P(X xi) pi， i 1,2， ? ， n 表示 X 的分布列 (2)离散型随机变量的分布列的性质 pi0( i 1,2， ? ， n)； ?i 1npi 1. 3常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 若随机变量 X 服从两点分布，即其分布列为 X 0 1 P 1 p p ，其中 p P(X 1)称为成功概率 (2)超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则 P(X k) CkMCn kN MCnN ， k=【 ;精品教育资源文库 】 = 0,1,2， ? ， m，其中 m minM， n，且 n N， M N，
3、n， M， N N*. X 0 1 ? m P C0MCn 0N MCnN C1MCn 1N MCnN ? CmMCn mN MCnN 如果随机变量 X 的分布列具 有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布 诊断自测 1概念思辨 (1)随机试验的结果与随机变量是一种映射关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应 . ( ) (2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的 ( ) (3)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和 ( ) (4)若随机变量 X 的分布列由下表给出， X 2 5 P 0.3 0.7 则它服从两点分布 ( ) 答案
4、(1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(选 修 A2 3P49A 组 T5)设离散型随机变量 的分布列如下： 1 2 3 4 P 错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! 则 P? ?12 52 _. 答案 310 解析 P? ?12 52 P( 1) P( 2) 110 210 310. (2)(选修 A2 3P49T3)从一副 52 张 (去掉两张王 )的扑克牌中任取 5 张，其中黑桃张数的概率分布公式是 _，黑桃不多于 1 张的概率是 _ 答案 P( k) Ck13C5 k39C552 (k 0,1,2,3,4,5) 0.633 解析 P( k) Ck13C5 k39C552
5、(k 0,1,2,3,4,5)； =【 ;精品教育资源文库 】 = P( 1) P( 0) P( 1)0.222 0.411 0.633. 3小题热身 (1)袋中有除标号不同外其余均相同的 5 个钢球，分别标有 1,2,3,4,5 五个号码在有放回地抽取条件下依次取出 2 个球，设两个球号码之和为随机变量 ，则 所有可能值的个数是 ( ) A 25 B 10 C 9 D 5 答案 C 解析 第一次可取号码为 1,2,3,4,5 中的任意一个，由于是有放回地抽取，第二次也可取号码为 1,2,3,4,5 中的任何一个，两个球的号码之和可 能为 2,3,4,5,6,7,8,9,10.故选 C. (2
6、)(2018 安康质检 )设随机变量 X 的概率分布列为 X 1 2 3 4 P 13 m 14 16 则 P(|X 3| 1) _. 答案 512 解析 由 13 m 14 16 1，解得 m 14， P(|X 3| 1) P(X 2) P(X 4) 14 16 512. 题型 1 离散型随机变量分布列的性质 典例 设随机变量 的分布列 P? ? k5 ak(k 1,2,3,4,5) (1)求常数 a 的值； (2)求 P? ? 35 ； (3)求 P? ?110 710 . 解 由 已知分布列为： 错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! P a 2a 3a 4a 5a =【 ;精
7、品教育资源文库 】 = (1)由 a 2a 3a 4a 5a 1，得 a 115. (2)P? ? 35 P? ? 35 P? ? 45 P( 1) 315 415 515 45， 或 P? ? 35 1 P? ? 25 1 ? ?115 215 45. (3)因为 110 710只有 15， 25， 35满足， 故 P? ?110 710 P? ? 15 P? ? 25 P? ? 35 115 215 315 25. 条件探究 1 若将典例条件 “ P? ? k5 ak， k 1,2,3,4,5” 变为 “ P( i) a? ?23i， i 1,2,3” ，求 a 的值 解 P( i) a?
8、 ?23 i(i 1,2,3) 23a 49a 827a 1，得 a 2738. 条件探究 2 若将典例条件变为 “ P( n) an?n 1?(n 1,2,3,4) ” 求 P? ?12 52的值 解 P( n) an?n 1?. a2 a6 a12 a20 1， a 54.P? ?12 52 P( 1) P( 2) 56. 方法技巧 1分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为 1 可求参数的值及检查分布列的正确性 (2)随机变量 X 所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率 提醒：求分布列中的参数值时，要保证每个概率值均为非负数 2随机
9、变量 X 的线性组合的 概率及分布列问题 (1)随机变量 X 的线性组合 aX b(a， b R)是随机变量 (2)求 aX b 的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列 =【 ;精品教育资源文库 】 = 冲关针对训练 1随机变量 X 的分布列如下： X 1 0 1 P a b c 其中 a， b， c 成等差数列，则 P(|X| 1) _. 答案 23 解析 a、 b、 c 成等差数列， 2b a c，又 a b c 1， b 13， P(|X| 1) a c 23. 2 设离散型随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求
10、： (1)2X 1 的分布列； (2)|X 1|的分布列 解 由分布列的性质知： 0 2 0.1 0.1 0.3 m 1， m 0.3. 首先列表为 X 0 1 2 3 4 2X 1 1 3 5 7 9 |X 1| 1 0 1 2 3 从而由上表得两个分布列为 (1)2X 1 的分布列 2X1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)|X 1|的分布列 |X 1| 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 题型 2 超几何分布 典例 (2017 山东高考 )在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，
11、具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用现有 6 名男志愿者 A1， A2， A3， A4， A5， A6和 4 名女志愿者 B1， B2， B3， B4，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示 (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1但不包含 B1的概率； (2)用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X 的分布列与数学期望 E(X) 解 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1但不包含 B1的事件为 M， 则 P(M) C48C510
12、518. (2)由题意知 X 可取的值为 0,1,2,3,4，则 P(X 0) C56C510142， P(X 1)C46C14C510 521， P(X 2) C36C24C510 1021， P(X 3)C26C34C510 521， P(X 4) C16C44C510 142. 因此 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! X 的数学期望是 E(X) 0 P(X 0) 1 P(X 1) 2 P(X 2) 3 P(X 3) 4 P(X 4) 0 1 521 2 1021 3 521 4 142 2. 方法技巧 1超几何分布的两个特点 =
13、【 ;精品教育资源文库 】 = (1)超几何分布是不放回抽样 问题 (2)随机变量为抽到的某类个体的个数 2超几何分布的应用条件及实质 (1)条件： 考察对象分两类； 已知各类对象的个数； 从中抽取若干个个体，考察某类个体个数 的概率分布 (2)实质：超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型 冲关针对训练 (2015 重庆高考 )端午节吃粽子是我国的传统习俗设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取 3 个 (1)求三种粽子各取到 1 个的概率； (2)设 X 表示取到的豆沙 粽个数，求 X
14、 的分布列与数学期望 解 (1)令 A 表示事件 “ 三种粽子各取到 1 个 ” ，则由古典概型的概率计算公式有 P(A) C12C13C15C310 14. (2)X 的所有可能值为 0,1,2，且 P(X 0) C38C310715， P(X 1)C12C28C310 715， P(X 2) C22C18C310 115. 综上知， X 的分布列为 X 0 1 2 P 错误 ! 错误 ! 错误 ! 故 E(X) 0 715 1 715 2 115 35(个 ). 题型 3 求离散型随机变量的分布列 角度 1 与互斥事件有关的分布列问题 典例 (2015 安徽高考 )已知 2 件次品和 3
15、件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束 (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2)已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3件正品时所需要的检测费用 (单位：元 )，求 X 的分布列和均值 (数学期望 ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 (1)记 “ 第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品 ” 为事件 A，则 P(A) A12A13A25 310. (2)X 的可能取值为 200,300,400. P(X 200) A22A25110， P(X 300) A33 C12C13A22A35 310， P(X 400) 1 P(X 200) P(X 300) 1 110 310 610. 故 X 的分布列为 X 200 300 400 P 错误 ! 错误 ! 错误 ! E(X) 200 110 300 310 4
