1、北京市丰台区2021-2022学年度第二学期综合练习（一）高三数学参考答案 202203一、选择题共10小题，每小题4分，共40分题号12345678910答案 DB BCCAACD C二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11 124 13（答案不唯一）14；5 15 三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16.（本小题共13分）解： 选择条件：（）由条件及已知得，所以.由条件得，所以，即.解得.因为，所以，所以.经检验符合题意. 6分（）由题意得，化简得.因为，所以，所以当，即时，的最大值为. 13分选择条件：（）由条件及已知得，所以.由条件得，解得.因为，
2、所以.所以. 6分（）由题意得，化简得.因为，所以，所以当，即时，的最大值为. 13分 17.（本小题共14分）证明：（）由题意得，所以四边形为平行四边形. 所以. 因为平面，平面，所以平面 4分（）线段上存在点，使得直线和平面所成角 的正弦值为，理由如下：由题意得AD，AB，AF两两垂直.如图，建立空间直角坐标系. 设，则， ，所以，,.设，则.设平面的一个法向量为，所以 即令，则，.于是设直线和平面所成角为， 由题意得，整理得，解得或.因为，所以，即. 所以线段上存在点，当时，直线和平面所成角的正弦值为.14分18（本小题共14分）解：（）由题意得，该校2021届大学毕业生选择“单位就业”
3、的人数为. 4分（）由题意得，样本中名毕业生选择“继续学习深造”的频率为. 用频率估计概率，从该地区2021届大学毕业生中随机选取1名学生，估计该生选择“继续学习深造”的概率为.随机变量的所有可能取值为0，1，2，3. 所以，.所以的分布列为0123 11分（）.14分 19（本小题共15分）解：（）由题意得解得，.所以椭圆的方程是. .5分（）设（），由已知得，所以直线，的方程分别为，.令，得点的纵坐标为，点的纵坐标为，所以.因为点在椭圆上，所以，所以，即. 因为，所以，即.所以.整理得，解得.所以点横坐标的取值范围是. .15分 20.（本小题共15分）解：（）当时，所以.令，解得.因为，
4、所以切点坐标为.故切线方程为. .5分 （）因为， 所以 令，解得.当时，由,得，所以，则在定义域上是增函数.故至多有一个零点，不合题意，舍去.当时，随变化和的变化情况如下表：故在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时，取得最大值.若时，此时至多有一个零点；若时，又, 由零点存在性定理可得在区间和区间上各有一个零点，所以函数恰有两个不同的零点，符合题意. 综上所述，的取值范围是. .15分21（本小题共14分）解：（）因为，又,所以不是的3元完美子集.因为，且,而， 所以是的3元完美子集. .4分（）不妨设. 若，则,，与3元完美子集矛盾； 若，则，而，符合题意，此时. 若，则，于是，所以.综上，的最小值是12. .8分（）证明：不妨设.对任意，都有, 否则，存在某个，使得.由，得. 所以是中个不同的元素，且均属于集合，该集合恰有个不同的元素，显然矛盾.所以对任意，都有.于是.即.等号成立的条件是且. .14分 （若用其他方法解题，请酌情给分）第7页（共6页）
