1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 12.3 绝对值不等式 知识梳理 1绝对值不等式 (1)定理 如果 a， b 是实数，那么 |a b| |a| |b|，当且仅当 ab0 时，等号成立 (2)如果 a， b， c 是实数，那么 |a c| a b| |b c|.当且仅当 (a b)(b c)0 时，等号成立，即 b 落在 a， c 之间 (3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式 |a1 a2 ? an| a1| |a2| ? |an|. |a| |b| a b| a| |b|. 2绝对值不等式的解法 (1)形如 |ax b| cx d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求
2、解 (2) 绝对值不等式 |x|a 与 |x|0)和 |ax b| c(c0)型不等式的解法 |ax b| c? c ax b c(c0)， |ax b| c?ax b c 或 ax b c(c0) 诊断自测 1概念思辨 (1)不等式 |x 1| |x 2|c 的解集为 R，则 c0.( ) (3)|ax b| c(c0) 的解集，等价于 c ax b c.( ) (4)对 |a b| a| |b|当且仅当 ab0 时等号成立 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)(选修 A4 5P19T5)解不等式 |2x 1| |x 2|4. 解
3、 当 x 12时，原不等式可化为 2x 1 2 x4，所以 x4，所以 x1，此时 14，所以 x53，此时 x2. 综上，原不等式的解集为 ( ， 1) (1， ) (2)(选修 A4 5P20T9)设函数 f(x) |x 4| |x 3|. 解不等式 f(x)3 ； 若 f(x) a 对一切 x R 恒成立，求实数 a 的取值范围 解 当 x3 时，原不等式可化为 4 x 3 x3 ，即 x2 ，所以 x2 ； 当 35 时，原不等式等价于 x 1 (x 5)1 的解集 (1)去绝对值符号转化为分段函数； (2)根据 (1)作出的图象，采用数形结合方法求解 解 (1)f(x)? x 4，
4、x 1，3x 2， 132，y f(x)的图象如图所示 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)由 f(x)的表达式及图象，当 f(x) 1 时，可得 x 1 或 x 3； 当 f(x) 1 时，可得 x 13或 x 5， 故 f(x)1 的解集为 x|15 . 所以 |f(x)|1 的解集为?x? x5 . 方法技巧 解 |x a| |x b| c 或 |x a| |x b| c 的一般步骤 1用 “ 零点分段法 ” (1)令每个含绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根； (2)将这些根按从小到大排序并以这些根为端点把实数集分为若干个区间； (3)由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解
5、这些不等式，求出解集； (4)取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集 2利用 |x a| |x b|的几 何意义 数轴上到点 x1 a和 x2 b的距离之和大于 c的全体， |x a| |x b| x a (x b)| |a b|. 3图象法：作出函数 y1 |x a| |x b|和 y2 c 的图象，结合图象求解见典例 提醒：易出现解集不全的错误对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值号还是利用几何意义，都要不重不漏 冲关针对训练 (2017 全国卷 )已知函数 f(x) |x 1| |x 2|. (1)求不等式 f(x)1 的解集； (2)若不等式 f(x) x2 x m 的解集非空，求
6、 m 的取值范围 解 (1)f(x)? 3， x 1，2x 1， 1 x2 ，3， x 2.当 x 1 时， f(x)1 无解； 当 1 x2 时，由 f(x)1 ，得 2x 11 ，解得 1 x2 ； 当 x 2 时，由 f(x)1 ，解得 x 2. 所以 f(x)1 的解集为 x|x1 (2)由 f(x) x2 x m，得 m| x 1| |x 2| x2 x. 而 |x 1| |x 2| x2 x| x| 1 |x| 2 x2 |x| ? ?|x| 32 2 54 54， 且当 x 32时， |x 1| |x 2| x2 x 54， =【 ;精品教育资源文库 】 = 故 m 的取值范围为
7、 ? ? ， 54 . 题型 2 绝对值不等式性质的应用 典例 (2016 全国卷 )已知函数 f(x) |2x a| a. (1)当 a 2 时，求不等式 f(x)6 的解集； (2)设函数 g(x) |2x 1|.当 x R 时， f(x) g(x)3 ，求 a 的取值范围 (1)将不等式化为 |x a| c 的形式求解 (2)利用绝对值不等式性质消去 a. 解 (1)当 a 2 时， f(x) |2x 2| 2. 解不等式 |2x 2| 26 ，得 1 x3. 因此 f(x)6 的解集为 x| 1 x3 (2)当 x R 时， f(x) g(x) |2x a| a |1 2x|2 x a
8、 1 2x| a |1 a| a， 当 x 12时等号成立，所以当 x R 时， f(x) g(x)3 等价于 |1 a| a3. 当 a1 时， 等价于 1 a a3 ，无解 当 a1 时， 等价于 a 1 a3 ，解得 a2. 所以 a 的取值范围是 2， ) 条件探究 将典例 (1)中条件 “ a 2 时 ” 变为 “ g(x) |2x 1|，若 g(x)5 时，恒有 f(x)6” ，试求 a 的最大值 解 g(x)5 ?|2x 1|5 ? 52 x 15 ? 2 x3 ； f(x)6 ?|2x a|6 a?a 62 x a6 a?a 3 x3. 依题意有 a 3 2， a1. 故 a
9、的最大值为 1. 方法技巧 绝对值不等式性质的应用 利用不等式 |a b| a| |b|(a， b R)和 |a b| a c| |c b|(a， b R)，通过确定适当的 a， b，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以 (1)求最值， (2)证明不等式见典例 冲关针对训练 (2018 福建漳州模拟 )已知函数 f(x) |2x a| |2x 3|， g(x) |x 1| 2. 若对任意 x1 R，都存在 x2 R，使得 f(x1) g(x2)成立，求实数 a 的取值范围 解 因为对任意 x1 R，都存在 x2 R，使得 f(x1) g(x2)成立，所以 y|y f(x)?y|y g(
10、x)， 又 f(x) |2x a| |2x 3|(2 x a) (2x 3)| |a 3|， g(x) |x 1| 22 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 |a 3|2 ，解得 a 1 或 a 5， 所以实数 a 的取值范围为 1， ) ( ， 5 1 (2017 河西区三模 )若存在实数 x，使 |x a| |x 1|3 成立，则实数 a 的取值范围是 ( ) A 2,1 B 2,2 C 2,3 D 2,4 答案 D 解析 由 |x a| |x 1|( x a) (x 1)| |a 1|，不等式 |x a| |x 1|3 有解，可得 |a 1|3 ，即 3 a 13 ，求得 2 a
11、4. 故选 D. 2 (2017 潍坊一模 )若关于 x 的不等式 |x 1| |x 2| m 70 的解集为 R，则实数m 的取值范围为 ( ) A (4， ) B 4， ) C ( ， 4) D ( ， 4 答案 A 解析 不等式 |x 1| |x 2| m 70， 移项： |x 1| |x 2|7 m， 根据绝对值不等式的几何意义，可知： |x 1| |x 2|的最小值是 3， 解集为 R，只需要 37 m 恒成立即可， 解得 m4.故选 A. 3 (2017 北仑区期中 )关于 x 的不等式 |x 1| |x 3|a2 3a 的解集为非空数集，则实数 a 的取值范围是 ( ) A 12
12、 D a1 或 a2 答案 B 解析 关于 x 的不等式 |x 1| |x 3|a2 3a 的解集为非空数集 ， 则 a2 3a0) (1)当 a 4 时，求不等式的解集； (2)若不等式有解，求实数 a 的取值范围 解 (1)当 a 4 时，不等式为 |2x 1| |x 1|2. 当 x1 时， x0 ，此时 x 不存在， 原不等式的解集为?x? 4 x 23 . (2)令 f(x) |2x 1| |x 1|， 则 f(x)? x 2， x1.故 f(x) ? ? 32， ，即 f(x)的最小值为 32. 若 f(x)log 2a 有解，则 log2a 32， 解得 a 24 ，即 a 的取
13、值范围是 ? ?24 ， . 2 (2017 广东潮州二模 )设函数 f(x) |2x 3| |x 1|. (1)解不等式 f(x)4； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)若 ? x ? ? ， 32 ，不等式 a 11，f(x)4? x4或? 32 x1 ，x 44或? x1，3x 24 ?x1. 不等式 f(x)4 的解集为 ( ， 2) (0， ) (2)由 (1)知，当 x52， a 1 52，即 a 32. 实数 a 的取值范围为 ? ? ， 32 . 3 (2017 湖北黄冈调研 )已知函数 f(x) |2x a| |2x 1|(a R) (1)当 a 1 时，求 f(x)2
14、 的解集； (2)若 f(x)|2 x 1|的解集包含集合 ? ?12， 1 ，求实数 a 的取值范围 解 (1)当 a 1 时， f(x) |2x 1| |2x 1|， f(x)2 ? ?x 12 ? ?x 12 1 ，上述不等式的几何意义为数轴上点 x 到两点 12， 12距离之和小于或等于 1，则 12 x 12，即原不等式的解集为 ? ? 12， 12 . (2) f(x)|2 x 1|的解集包含 ? ?12， 1 ， 当 x ? ?12， 1 时，不等式 f(x)|2 x 1|恒成立， 当 x ? ?12， 1 时， |2x a| 2x 12 x 1 恒成立， 2x 2 a2 x 2
15、 在 x ? ?12， 1 上恒成立， (2x 2)max a(2 x 2)min? ?x ? ?12， 1 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 0 a3. 故实数 a 的取值范围是 0,3 4 (2018 山西八校联考 )设函数 f(x) |x 1| |x a|. (1)若 f(x)5 对于 x R 恒成立，求实数 a 的取值范围； (2)当 a 1 时，函数 f(x)的最小值为 t，且正实数 m， n 满足 m n t，求证： 1m 1n2. 解 (1)|x 1| |x a|表示数轴上的动点 x 到两定点 1， a 的距离之和，故当 a4或 a 6 时， |x 1| |x a|5 对于 x R 恒成立，即实数 a 的
