1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 4 1 平面向量的概念及线性运算 知识梳理 1向量的有关概念 =【 ;精品教育资源文库 】 = 2向量的线性运算 =【 ;精品教育资源文库 】 = 3共线向量定理 向量 a(a0) 与 b 共线，当且仅当有唯一的一个实数 ，使得 b a. 特别提醒： (1)限定 a0 的目的是保证实数 的存在性和唯一性 (2)零向量与任何向量共线 (3)平行向量与起点无关 (4)若存在非零实数 ，使得 AB AC或 AB BC或 AC BC，则 A， B， C 三点共线 诊断自测 1概念思辨 (1) ABC 中， D 是 BC 中点， E 是 AD 的中点，则 AE 14(A
2、C AB) ( ) (2)若 a b， b c，则 a c.( ) (3)向量 AB与向量 CD是共线向量，则 A， B， C， D 四点在一条直线上 ( ) (4)当两个非零向量 a， b 共线时，一定有 b a，反之成立 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(必修 A4P78A 组 T5)设 D 为 ABC 所在平面内一点， BC 3CD，则 ( ) A.AD 13AB 43ACB.AD 13AB 43AC=【 ;精品教育资源文库 】 = C.AD 43AB 13ACD.AD 43AB 13AC答案 A 解析 AD AB BD AB 43BC AB 43(AC
3、AB) 13AB 43AC.故选 A. (2)(必修 A4P92A 组 T12)已知 ?ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O，且 OA a， OB b，则 DC_， BC _(用 a， b 表示 ) 答案 b a a b 解析 如图， DC AB OB OA b a， BC OC OB OA OB a b. 3小题热身 (1)设 a0为单位向量， 若 a 为平面内的某个向量，则 a |a|a0； 若 a 与 a0平行，则a |a|a0； 若 a 与 a0平行且 |a| 1，则 a a0.上述命题中，假命题的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 答案 D 解析 向量是既有大小
4、又有方向的量， a 与 |a|a0 的模相等，但方向不一定相同，故 是假命题；若 a 与 a0平行，则 a 与 a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a |a|a0，故 也是假命题综上所述，假命题的个数是 3.故选 D. (2)设 e1， e2是两个不共线的向量，且 a e1 e2与 b 13e2 e1共线，则实数 _. 答案 13 解析 a e1 e2与 b 13e2 e1共线， 存在实数 t，使得 b ta，即 13e2 e1t(e1 e2)， 13e2 e1 te1 t e2， t 1， t 13，即 13. 题型 1 平面向量的基本概念 =【 ;精品教育资源文库 】 = 典
5、例 判断 下列各命题是否正确： (1)单位向量都相等； (2)|a|与 |b|是否相等，与 a， b 的方向无关； (3)若 A， B， C， D 是不共线的四点，则 AB DC是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件； (4)若 a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线； (5)两向量 a， b 相等的充要条件是 |a| |b|且 a b. 根据向量的相关概念判定 解 (1)不正确 (2)正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同 (3)正确， AB DC， |AB| |DC|且 AB DC. 又 A， B， C， D 是不共线的四点， 四边形 ABCD 是平行四
6、边形反之，若四边形 ABCD 是平行四边形，则 AB 綊 DC，且 AB与 DC方向相同因此 AB DC. (4)不正确，当 b 0 时， a 与 c 可以不共线 (5)不正确，当 a b，但方向相反时，即使 |a| |b|，也不能得到 a b. 方法技巧 解决向量的概念问题应关注五点 1相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性 2共线向量即平行向量，它们均与起点无关 相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量 3向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈 4非零向量 a 与 a|a|的关系： a|a
7、|是 a 方向上的单位向量 5向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小 冲关针对训练 下列 4 个命题： (1)若向量 a 与 b 同向，且 |a|b|，则 ab； (2)由于零向量方向不确定，故零向量不能与任意向量平行； (3) ， 为实数，若 a b，则 a 与 b 共线； (4)两向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 =【 ;精品教育资源文库 】 = 其中错误命题的序号为 _ 答案 (1)(2)(3) 解析 (1)不正确因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即 大小与方向，所以两个向量不能比较大小 (2)不正确由零向量方向性质可得
8、 0 与任一向量平行 (3)不正确当 0 时， a 与 b 可能不共线 (4)正确 题型 2 平面向量的线性运算 典例 如图所示，在正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点 F 是 BC 的一个三等分点，那么 EF等于 ( ) A.12AB 13ADB.14AB 12ADC.12AB 12DAD.12AB 23AD用向量的三角形法则转化 答案 D 解析 在 CEF 中， 有 EF EC CF. 因为点 E 是 DC 的中点，所以 EC 12DC. 因为点 F 为 BC 的一个三等分点，所以 CF 23CB. =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 EF 12DC 23CB 12AB
9、23DA 12AB 23AD，故选 D. 方法技巧 平面向量线性运算问题的求解策略 1进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中 ，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来 2向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用 3用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： 观察各向量的位置； 寻找相应的三角形或多边形； 运用法则找关系； 化简结果 冲关针对训练 (2018 昆明模拟 )在 ABC 中， AB 2， BC 3， ABC 60 ， AD 为
10、 BC 边上的高， O 为AD 的中点，若 AO AB BC，则 等于 ( ) A 1 B.12 C.13 D.23 答案 D 解析 AD AB BD AB 13BC， 2AO AB 13BC，即 AO 12AB 16BC. 故 12 16 23.故选 D. 题型 3 共线向量定理及其应用 角度 1 解决三点共线问题 典例 已知 O， A， B 是不共线的三点，且 OP mOA nOB(m， n R) (1)若 m n 1，求证： A， P， B 三点共线； (2)若 A， P， B 三点共线，求证： m n 1. 本题用转化法、向量问题实数化 证明 (1)若 m n 1， =【 ;精品教育资
11、源文库 】 = 则 OP mOA (1 m)OB OB m(OA OB)， OP OB m(OA OB)， 即 BP mBA， BP与 BA共线 又 BP与 BA有公共点 B， A， P， B 三点共线 (2)若 A， P， B 三点共线，存在实数 ，使 BP BA， OP OB (OA OB) 又 OP mOA nOB. 故有 mOA (n 1)OB OA OB， 即 (m )OA (n 1)OB 0. O， A， B 不共线， OA， OB不共线， ? m 0，n 1 0， m n 1. 角度 2 利用共线求参数的取值 典例 (2018 南京模拟 )已知如图，平行四边形 ABCD 中， E
12、， F 分别是 BC， CD 的中点，连接 AE， BF 相交于 P，连接 DP，并延长交 AB 的延长线于点 G，若 AP xAE， BP yBF，AG zAB，则 x _， y _， z _. 本题需作辅助线 答案 45 25 43 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 如图，过 E 作 EQ 平行于 AB，交 BF 于点 Q，因为 E 为 BC 的中点，所以 EQ 平行于CD，且 EQ 12CF，又因为点 F 为 CD 的中点，所以 QPPB EPPA EQAB12CFAB 14， 所以 AP 45AE，所以 x 45. 因为点 Q 为 FB 的中点， 所以 BP 44 1 5BF 2
13、5BF， 所以 y 25.因为 DFBG FPPB 64， 所以 BG 23DF 13AB， 所以 AG 43AB，即 z 43. 所以 x 45， y 25， z 43. 角度 3 共线定理与三角形的面积 典例 (2017 沈阳一模 )在 ABC 中， O 为其内部一点，且满足 OA OC 3OB 0，则 AOB 和 AOC 的面积比是 ( ) A 3 4 B 3 2 C 1 1 D 1 3 本题采用并 项法 答案 D 解析 根据题意，如图，在 ABC 中，设 M 为 AC 的中点， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 OA OC 2OM， 又由 OA OC 3OB 0， 则有 2OM 3
14、OB； 从而可得 B， O， M 三点共线，且 2OM 3BO； 由 2OM 3BO 可得， S AOCS ABC OMBM 35， S AOB S BOC 25S ABC， 又由 S AOB S BOC，则 S AOB 15S ABC， 则 S AOBS AOC 13.故选 D. 方法技巧 1证明向量共线，对于向量 a， b(b0) ，若存在实数 ，使 a b，则 a 与 b 共线见角度 1 典例 2证明三点共线，若存在实数 ，使 AB AC，则 A， B， C 三点共线见角度 1 典例 3利用共线定理解决几何问题要注意两直线相交必然存在两组三点共线，通过列方程组往往能把问题解决 冲关针对训练 1 (2018 长春模拟 )e1， e2是平面内不共线的两向量，已知 AB e1 ke2， CB 2e1 e2，CD 3e1 e2，若 A， B， D 三点共线，则 k 的值是 ( ) A 1 B 2 C 1 D 2 答案 B
