1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 7 5 直线、平面垂直的判定与性质 知识梳理 1直线与平面垂直 判定定理与性质定理 2平面与平面垂直 判定定理与性质定理 =【 ;精品教育资源文库 】 = 3.直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角 对于直线和平面所成的角应从以下三方面理解： (1)一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是 0 的角； (2)一条直线垂直于平面，则称它们所成的角是直角； (3)直线和平面所成角 的范围是 0 90. 4必记结论 (1)若两条平行线中一条垂 直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面 (2)若一条直线垂
2、直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线 (3)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直 (4)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直 (5)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直 =【 ;精品教育资源文库 】 = (6)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面 诊断自测 1概念思辨 (1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直，则 l .( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行 ( ) (3)若两平面垂直，则其中一 个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面 ( ) (4)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线，则 .( ) 答案 (1)
3、 (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(必修 A2P73A 组 T1)若 m， n 表示两条不同的直线， 表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为 ( ) ?m n ?m n； ?m n ?m n； ?m m n ?n . A 1 B 2 C 3 D 0 答案 B 解析 不正确，直线 n 与 不一定垂直，可能是平行或相交或在平面内 均正确故选 B. (2)(必修 A2P67T2)在三棱锥 P ABC 中，点 P 在平面 ABC 中的射影为点 O， 若 PA PB PC，则点 O 是 ABC 的 _心； 若 PA PB， PB PC， PC PA，则点 O 是 ABC 的 _心 答案 外
4、垂 解析 如图 1，连接 OA， OB， OC， OP， 在 Rt POA、 Rt POB 和 Rt POC 中， PA PC PB， 所以 OA OB OC，即 O 为 ABC 的外心 如图 2， PC PA， PB PC， PA PB P， PC 平面 PAB， AB?平面 PAB， PC AB，又 AB PO， PO PC P， =【 ;精品教育资源文库 】 = AB 平面 PGC，又 CG?平面 PGC， AB CG， 即 CG 为 ABC 边 AB 的高， 同理可证 BD， AH 分别为 ABC 边 AC， BC 上的高，即 O 为 ABC 的垂心 3小题热身 (1)(2017 湖南
5、六校联考 )已知 m 和 n 是两条不同的直线， 和 是两个不重合的平面，下面给 出的条件中一定能推出 m 的是 ( ) A 且 m? B 且 m C m n 且 n D m n 且 答案 C 解析 由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知 C 正确故选 C. (2)(2018 辽宁五校联考 )假设平面 平面 EF， AB ， CD ，垂足分别为 B，D，如果增加一个条件，就能推出 BD EF，现有下面四个条件： AC ； AC ； AC 与 BD 在 内的射影在同一条直线上； AC EF. 其中能成为增加条件的是 _ (把你认为正确的条件序号都填 上 ) 答案 解析 如果 AB 与
6、CD 在一个平面内，可以推出 EF 垂直于该平面，又 BD 在该平面内，所以 BD EF.故要得到 BD EF，只需 AB， CD 在一个平面内即可，只有 能保证这一条件 题型 1 直线与平面垂直的判定与性质 角度 1 直线与平面垂直的判定定理 典例 (2016 全国卷 )如图，已知正三棱锥 P ABC 的侧面是直角三角形， PA 6.顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D， D 在平面 PAB 内的正投影为点 E，连接 PE 并延长交 AB于点 G. (1)证明： G 是 AB 的中点； (2)在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F(说明作法及理由 )，并求四面体 PDEF
7、的体积 利用线面垂直判定定理进行证明 解 (1)证明：因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 AB PD. =【 ;精品教育资源文库 】 = 因为 D 在平面 PAB 内的正投影为 E，所以 AB DE.又 PD DE D，所以 AB 平面 PED，故 AB PG. 又由已知可得， PA PB，从而 G 是 AB 的中点 (2)在平面 PAB 内，过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F， F 即为 E 在平面 PAC 内的正投影 理由如下：由已知可得 PB PA， PB PC，又 EF PB，所以 EF PA， EF PC，又 PA PC P，因此 EF 平面 PAC，即点
8、F 为 E 在平面 PAC 内的正投影 连接 CG，因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 D 是正三角形 ABC 的中心，由 (1)知，G 是 AB 的中点，所以 D 在 CG 上，故 CD 23CG. 由题设可得 PC 平面 PAB， DE 平面 PAB，所以 DE PC，因此 PE 23PG， DE 13PC. 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA 6，可得 DE 2， PE 2 2. 在 等腰直角三角形 EFP 中，可得 EF PF 2， 所以四面体 PDEF 的体积 V 13 12222 43. 角度 2 垂直关系中的探索性问题 典例 如图所示，平面 ABCD 平面
9、BCE，四边形 ABCD 为矩形， BC CE，点 F 为 CE的中点 (1)证明： AE 平面 BDF； (2)点 M 为 CD 上任意一点，在线段 AE 上是否存在点 P，使得 PM BE？若存在，确定点P 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由 =【 ;精品教育资源文库 】 = 从 BC CE，取 BE 的中点 H， CH BE 入手分析 解 (1)证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 OF，如右图 四边形 ABCD 是矩形， O 为 AC 的中点， 又 F 为 EC 的中点， OF 为 ACE 的中位线， OF AE，又 OF?平面 BDF， AE?平面 BDF. AE 平面 B
10、DF. (2)当 P 为 AE 中点时，有 PM BE. 证明如下：取 BE 中点 H，连接 DP, PH， CH. P 为 AE 的中点， H 为 BE 的中点， PH AB，又 AB CD， PH CD， P， H， C， D 四点共面 平面 ABCD 平面 BCE，平面 ABCD 平面 BCE BC， CD?平面 ABCD， CD BC. CD 平面 BCE，又 BE?平面 BCE， CD BE， BC CE， H 为 BE 的中点， CH BE， 又 CD CH C， BE 平面 DPHC，又 PM?平面 DPHC， BE PM，即 PM BE. 方法技巧 =【 ;精品教育资源文库 】
11、 = 1证明直线与平面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理，这是主要证明方法 (2)利用 “ 两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直 ” (3)利用 “ 一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直 ” (4)利用 面面垂直的性质定理 2线面垂直中的探索性问题 同 “ 平行关系中的探索性问题 ” 的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明见角度 2 典例 冲关针对训练 (2018 济南模拟 )如图，正方形 ABCD 和直角梯形 ACEF 所在的平面互相垂直， FA AC，EF AC， AB 2， EF FA 1. (
12、1)求证： CE 平面 BDF； (2)求证： BE 平面 DEF. 证明 (1)设正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，连接 FO.由题知 EF OC 1，因为 EF AC， 所以四边形 CEFO 为平行四边形，所以 CE OF. 又 CE?平面 BDF， OF?平面 BDF， 所以 CE 平面 BDF. (2)因为平面 ABCD 平面 ACEF，平面 ABCD 平面 ACEF AC， FA AC， FA?平面 ACEF，故 FA 平面 ABCD. 连接 EO，易知四边形 AOEF 为边长为 1 的正方形， 所以 EO 平面 ABCD，则 EO BD. 所以 BDE 为等腰
13、三角形， BD 2BO 2OC 2， BE DE BO2 EO2 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 因为 BD2 BE2 DE2， 所以 BE DE.同理在 BEF 中， BE EF， 因为 DE EF E，所以 BE 平面 DEF. 题型 2 面面垂直的判定与性质 典例 (2017 北京高考 )如图，在三棱锥 P ABC 中， PA AB， PA BC， AB BC， PA AB BC 2， D 为线段 AC 的中点， E 为线段 PC 上一点 (1)求证： PA BD； (2)求证：平面 BDE 平面 PAC； (3)当 PA 平面 BDE 时，求三棱锥 E BCD 的体积 首先分析
14、已知中的垂直线段所在的平面，由于AB BC，取 AC 的 中点是关键 解 (1)证明：因为 PA AB, PA BC，所以 PA 平面 ABC. 又因为 BD?平面 ABC，所以 PA BD. (2)证明：因为 AB BC， D 为 AC 中点， 所以 BD AC.由 (1)知， PA BD，又 PA AC A， 所以 BD 平面 PAC.又 BD?平面 BDE， 所以平面 BDE 平面 PAC. (3)因为 PA 平面 BDE，平面 PAC 平面 BDE DE，所以 PA DE. 因为 D 为 AC 的中点， 所以 DE 12PA 1， BD DC 2. 由 (1)知， PA 平面 ABC，
15、 所以 DE 平面 ABC. 所以三棱锥 E BCD 的体积 V 16BD DC DE 13. 结论探究 在典例条件下，证明：平面 PBC 平面 PAB. 证明 由 (1)知 PA BC，又 BC AB 且 PA AB A， BC 平面 PAB，又 BC?平面 PBC， 平面 PBC 平面 PAB. =【 ;精品教育资源文库 】 = 方法技巧 面面垂直的应用策略 1证明平面和平面垂直的方法： 面面垂直的定义； 面面垂直的判定定理 2已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进 一步转化为线线垂直 冲关针对训练 (2015 全国卷 )如图，四边形 ABCD 为菱形， G 为 AC 与 BD 的交点， BE 平面
