1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 7 7 立体几何中的向量方法 重点保分 两级优选练 A 级 一、选择题 1已知点 A(2， 5,1)， B(2， 2,4)， C(1， 4,1)，则向量 AB与 AC的夹角为 ( ) A 30 B 45 C 60 D 90 答案 C 解析 由已知得 AB (0,3,3)， AC ( 1,1,0)， cos AB， AC AB AC|AB|AC| 33 2 2 12. 向量 AB与 AC的夹角为 60. 故选 C. 2 (2018 伊宁期末 )三棱锥 A BCD 中，平面 ABD 与平面 BCD 的法向量分 别为 n1， n2，若 n1， n2 3 ，则二面角
2、A BD C 的大小为 ( ) A. 3 B.23 C. 3 或 23 D. 6 或 3 答案 C 解析 二面角的范围是 0， ，且 n1， n2 3 ， 二面角 A BD C 的大小为 3 或 23 .故选 C. 3 (2017 太原期中 )已知直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，底面 ABCD 为正方形， AA1 2AB，E 为 AA1的中点，则异面直线 BE 与 CD1所成角的余弦值为 ( ) A. 1010 B.15 C.3 1010 D.35 答案 C =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 如图，以 D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系 设 AA1 2AB 2，则 B(1,
3、1,0)， E(1,0,1)， C(0,1,0)， D1(0,0,2) BE (0， 1,1)， CD1 (0， 1,2) cos BE， CD1 1 22 5 3 1010 .故选 C. 4如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F 分别在 A1D， AC 上，且 A1E 23A1D， AF13AC，则 ( ) A EF 至多与 A1D， AC 之一垂直 B EF A1D， EF AC C EF 与 BD1相交 D EF 与 BD1异面 答案 B =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 以 D 点为坐标原点， 以 DA， DC， DD1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z
4、 轴建立空间直角坐标系，如图所示设正方体棱长为 1， 则 A1(1,0,1)， D(0,0,0)， A(1,0,0)， C(0,1,0)， E? ?13， 0， 13 ， F? ?23， 13， 0 ， B(1,1,0)，D1(0,0,1)， A1D ( 1， 0， 1)， AC ( 1,1,0)， EF ? ?13， 13， 13 ， BD1 ( 1， 1,1)，EF 13BD1， A1D EF AC EF 0，从而 EF BD1， EF A1D， EF AC.故选 B. 5 (2018 河南模拟 )如图所示，直三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱长为 3，底面边长 A1C1 B1C1 1，且
5、 A1C1B1 90 ， D 点在棱 AA1上且 AD 2DA1， P 点在棱 C1C 上，则 PD PB1的最小 值为( ) A.52 B 14 C.14 D 52 答案 B 解析 建立如图所示的直角坐标系， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 D(1,0,2)， B1(0,1,3)， 设 P(0,0， z)(0 z3) ， 则 PD (1,0,2 z)， PB1 (0,1,3 z)， PD PB1 0 0 (2 z)(3 z) ? ?z 52 2 14， 故当 z 52时， PD PB1取得最小值为 14.故选 B. 6 (2018 沧州模拟 )如图所示，在正方体 ABCD A B C
6、D 中，棱长为 1， E， F 分别是 BC， CD 上的点，且 BE CF a(0a1)，则 D E 与 B F 的位置关系是 ( ) A平行 B垂直 C相交 D与 a 值有关 答案 B =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 建立如图所示空间直角坐标系 则 D(0,0,1) ， E(1 a,1,0)， B(1,1,1) ， F(0,1 a,0)， D E (1 a,1， 1)， B F ( 1， a， 1) D E B F (1 a)( 1) 1( a) ( 1)( 1) a 1 a 1 0. D E B F，即 D E B F.故选 B. 7 (2017 聊城期中 )在三棱锥 P ABC
7、 中， PA 平面 ABC， BAC 90 ， D， E， F 分别是棱 AB， BC， CP 的中点， AB AC 1， PA 2，则直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为 ( ) A.15 B.2 55 C. 55 D.25 答案 C 解析 以 A 为原点 ， AB， AC， AP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由 AB AC 1， PA 2，得 A(0， 0,0)， B(1， 0,0)， C(0,1,0)， P(0,0,2)， D? 12 ，0,0 )， E( 12， 12， 0 )， F? ?0， 12， 1 ， PA (0,0， 2)，
8、 DE ? ?0， 12， 0 ， DF ? ? 12， 12， 1 . 设平面 DEF 的法向量为 n (x， y， z)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则由? n DE 0，n DF 0，得? y 0， x y 2z 0， 取 z 1，则 n (2,0,1)， 设 PA 与平面 DEF 所成的角为 ， 则 sin |PA n|PA|n| 55 ， PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为 55 .故选 C. 8 (2018 江西红色七校模拟 )已知二面角 l 等于 120 ， A， B 是棱 l 上两点，AC， BD 分别在半平面 ， 内， AC l， BD l，且 AB AC BD
9、1，则 CD 的长等于 ( ) A. 2 B. 3 C 2 D. 5 答案 C 解析 解法一：依题意可知二面角 l 的大小等于 AC与 BD所成的角， 因为 CD CAAB BD，所以 CD2 CA2 AB2 BD2 2CA AB 2CA BD 2AB BD，因为 AC AB， BD AB， AB AC BD 1，所以 CD2 1 1 1 2CA BD 3 2|CA|BD|cos CA， BD 3 2cos CA，BD， 因为 AC， BD 120 ，所以 CA， BD 60 ， 因此 CD2 3 2 12 4，所以 |CD| 2，故选 C. 解法二：在 内作 AE 綊 BD.连接 CE、 D
10、E，易知 CAE 120 ， CE DE， CE2 AC2 AE2 2 AC AEcos120 3. 在 Rt CED 中， CD2 CE2 ED2 4， CD 2. 故选 C. 9 (2017 南阳期中 )若正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长都相等， D 是 A1C1的中点，则直=【 ;精品教育资源文库 】 = 线 AD 与平面 B1DC 所成角的正弦值为 ( ) A.35 B. 45 C. 34 D. 55 答案 B 解析 如图，取 AC 的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系 设各棱长为 2， 则有 A(0， 1,0)， D(0,0,2)， C(0,1,0)， B1( 3， 0,2)
11、 所以 CD (0， 1,2)， CB1 ( 3， 1， 2)， AD (0,1,2) 设 n (x， y， z)为平面 B1CD 的法向量， 则有? n CD 0，n CB1 0? y 2z 0，3x y 2z 0 ?n (0,2,1) cos AD， n AD n|AD|n| 45，即直线 AD 与平面 B1DC 所成角的正弦值故选 B. 10 (2018 福建龙岩模拟 )如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 4，点 E， F 分别是线段 AB， C1D1上的动点，点 P 是上底面 A1B1C1D1内一动点，且满足点 P 到点 F 的距离等于点P 到平面 ABB1A1的距离
12、，则 PE 的最小值是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 5 B 4 C 4 5 D 2 5 答案 D 解析 以 D 为原点，直线 DA 为 x 轴，直线 DC 为 y 轴，直线 DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，设 AE a， D1F b， 0 a4,0 b4 ， P(x， y,4)， 0 x4,0 y4 ， 则 F(0， b,4)，E(4， a,0)， PF ( x， b y,0)， 点 P 到点 F 的距离等于点 P 到平面 ABB1A1的距离， 当E， F 分别是 AB， C1D1的中点， P 为正方形 A1B1C1D1的中心时， PE 取最小值，此时 P(2,2,4)
13、，E(4,2,0)， |PE|min 2 2 2 2 5.故选 D. 二、填空题 11在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中， O 是底面 ABCD 的中心， E， F 分别是 CC1， AD的中点，则异面直线 OE 和 FD1所成的角的余弦值等于 _ 答案 155 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 以 D 为原点，分别以 DA， DC， DD1为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系， F(1,0,0)， D1(0,0,2)， O(1,1,0)， E(0,2,1) FD1 ( 1,0,2)， OE ( 1,1,1) cos FD1， OE 1 25 3 155 .
14、 12 (2018 曲阜模拟 )如图，在正方形 ABCD 中， EF AB，若沿 EF 将正方形折成一个二面角后， AE ED AD 1 1 2，则 AF 与 CE 所成角的余弦值为 _ 答案 45 解析 AE ED AD 1 1 2， AE ED，即 AE， DE， EF 两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，设 AB EF CD 2，则 E(0,0,0)， A(1,0,0)， F(0,2,0)， C(0， 2,1)， =【 ;精品教育资源文库 】 = AF ( 1,2,0)， EC (0,2,1)， cos AF， EC AF EC|AF|EC| 45 5 45， AF 与 CE 所
15、成角的余弦值为 45. 13 (2017 青海质检 )等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB，二面角 C AB D的余弦值为 33 ， M， N 分别是 AC， BC 的中点，则 EM， AN 所成角的余弦值等于 _ 答案 16 解析 过 C 点作 CO 平面 ABDE，垂足为 O，取 AB 中点 F，连接 CF， OF，则 CFO 为二面角 C AB D 的平面角， 设 AB 1，则 CF 32 ， OF CFc os CFO 12， OC 22 ， 则 O 为正方形 ABDE 的中心， 如图所示建立直角坐标系 Oxyz， 则 E? ?0， 22 ， 0 ， M? ?24 ， 0， 24 ， A? ?22 ， 0， 0 ， N? ?0， 24 ， 24 ， EM ? ?24 ， 22 ， 24 ， AN ? ? 22 ， 24 ， 24 ， cos EM， AN EM AN|EM|AN| 16. 14 (2018 临沂期末 )如图，在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD 为正三角形，底面 ABCD
