1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 8 3 圆的方程 基础送分 提速狂刷练 一、选择题 1 (2017 豫北名校联考 )圆 (x 2)2 y2 4 关于直线 y 33 x 对称的圆的方程是 ( ) A (x 3)2 (y 1)2 4 B (x 2)2 (y 2)2 4 C x2 (y 2)2 4 D (x 1)2 (y 3)2 4 答案 D 解析 设圆 (x 2)2 y2 4 的圆心 (2,0)关于直线 y 33 x 对称的点 的坐标为 (a， b)，则有? ba 2 33 1，b233 a 22 ，解得 a 1， b 3，从而所求圆的方程为 (x 1)2 (y 3)24.故选 D. 2 (20
2、17 湖南长沙二模 )圆 x2 y2 2x 2y 1 0 上的点到直线 x y 2 距离的最大值是 ( ) A 1 2 B 2 C 1 22 D 2 2 2 答案 A 解析 将圆的方程化为 (x 1)2 (y 1)2 1，圆心坐标为 (1,1)，半径为 1，则圆心到直线 x y 2的距离 d |1 1 2|2 2，故圆上的点到直线 x y 2距离的最大值为 d 1 2 1，故选 A. 3已知点 P 在圆 x2 y2 5 上，点 Q(0， 1)，则线段 PQ 的中点的轨迹方程是 ( ) A x2 y2 x 0 B x2 y2 y 1 0 C x2 y2 y 2 0 D x2 y2 x y 0 答
3、案 B 解析 设 P(x0， y0)， PQ 中点的坐标为 (x， y)，则 x0 2x， y0 2y 1，代入圆的方程即得所求的方程是 4x2 (2y 1)2 5，化简得 x2 y2 y 1 0.故选 B. 4 (2018 山西运城模拟 )已知圆 (x 2)2 (y 1)2 16 的一条直径通过直线 x 2y 3 0 被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 3x y 5 0 B x 2y 0 C x 2y 4 0 D 2x y 3 0 答案 D 解析 直线 x 2y 3 0 的斜率为 12，已知圆的圆心坐标为 (2， 1)，该直径所在直线的斜
4、率为 2，所以该直径所在的直线方程为 y 1 2(x 2)，即 2x y 3 0，故选 D. 5 (2018 唐山期末 )若当方程 x2 y2 kx 2y k2 0 所表示的圆取得最大面积时，则直线 y (k 1)x 2 的倾斜角 ( ) A.34 B. 4 C.32 D.54 答案 A 解析 将圆 x2 y2 kx 2y k2 0 化成标准方程，得 ?x k22 (y 1)2 1 3k24 ， 半径 r 满足 r2 1 3k24 ， 当圆取得最大面积时， k 0，半径 r 1. 因此直线 y (k 1)x 2 即 y x 2.得直线的倾斜角 满足 tan 1， 直线的倾斜角 0， ) ， 3
5、4 .故选 A. 6若方程 16 x2 x m 0 有实数解，则实数 m 的取值范围 ( ) A 4 2 m4 2 B 4 m4 2 C 4 m4 D 4 m4 2 答案 B 解析 由题意知方程 16 x2 x m有实数解，分别作出 y 16 x2与 y x m的图象，如图，若两图象有交点，需 4 m4 2.故选 B. 7 (2017 广东七校联考 )圆 x2 y2 2x 6y 1 0 关于直线 ax by 3 0(a0， b0)对称，则 1a 3b的最小值是 ( ) A 2 3 B.203 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 4 D.163 答案 D 解析 由圆 x2 y2 2x 6y 1
6、 0 知其标准方程为 (x 1)2 (y 3)2 9， 圆 x2 y22x 6y 1 0 关于直线 ax by 3 0(a0， b0)对称， 该直线经过圆心 ( 1,3)，即 a 3b 3 0， a 3b 3(a0， b0) 1a 3b 13(a 3b)? ?1a 3b 13? ?1 3ab 3ba 9 13?10 2 3ab 3ba 163 ，当且仅当3ba 3ab ，即 a b 时取等号，故选 D. 8由直线 y x 1 上的一点向圆 C： x2 6x y2 8 0 引切线， 则切线长的最小值为( ) A 1 B 2 2 C. 7 D 3 答案 C 解析 解法一：切线长的最小值在直线 y
7、x 1 上的点与圆心距离最小时取得，圆心 (3,0)到直线的距离为 d |3 0 1|2 2 2，圆的半径长为 r 1，故切线长的最小值为 d2 r28 1 7. 解 法 二 ： 易 知 P(m ， m 1) 在 直 线 y x 1 上 ， 由 切 线 长 公 式 得 |PC| m2 6m m 2 8 m 2 7，由 m R 可得 |PC|min 7. 9 (2017 山东菏泽一模 )已知在圆 M： x2 y2 4x 2y 0 内，过点 E(1,0)的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为 ( ) A 3 5 B 6 5 C 4 15 D 2 15 答案 D 解析
8、圆 x2 y2 4x 2y 0 可化为 (x 2)2 (y 1)2 5，圆心 M(2， 1)，半径 r 5，最长弦为圆的直径， AC 2 5. BD 为最短弦， AC 与 BD 垂直，易求得 ME 2， BD2BE 2 5 2 2 3. S 四边形 ABCD S ABD S BDC 12BD EA 12BD EC 12BD( EA EC) 12BD AC 122 32 5 2 15.故选 D. 10 已知点 P(x， y)在圆 C： x2 y2 6x 6y 14 0上，则 x y的最大值与最小值是 ( ) A 6 2 2， 6 2 2 B 6 2， 6 2 C 4 2 2， 4 2 2 D 4
9、 2， 4 2 答案 A =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 设 x y b，则 b 表示动直线 y x b 在 y 轴上的截距，显然当动直线 y x b 与圆 (x 3)2 (y 3)2 4 相切时， b 取得最大值或最小值，如图所示 由圆心 C(3,3)到切线 x y b 的距离等于圆的半径 2，可得 |3 3 b|12 12 2，即 |b 6|2 2，解得 b 62 2，所以 x y 的最大值为 6 2 2，最小值为 6 2 2.故选 A. 二、填空题 11 (2016 天津高考 )已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2x y 0 的
10、距离为 4 55 ，则圆 C 的方程为 _ 答案 (x 2)2 y2 9 解析 因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 C(a,0)，且 a0，所以圆心到直线 2x y 0 的距离 d 2a5 4 55 ，解得 a 2，所以圆 C 的半径 r |CM| 4 5 3，所以圆 C 的方程为 (x 2)2 y2 9. 12 (2017 广东七校联考 )一个圆与 y 轴相切，圆心在直线 x 3y 0 上，且在直线 yx 上截得的弦长为 2 7，则该圆的方程为 _ 答案 (x 3)2 (y 1)2 9 或 (x 3)2 (y 1)2 9 解析 所求圆的圆心在直线 x 3y 0 上， 设所求圆的圆心为
11、 (3a， a)， 又所求圆与 y 轴相切， 半径 r 3|a| 又所求圆在直线 y x 上截得的弦长为 2 7，圆心 (3a， a)到直线 y x 的距离 d |2a|2 ， d2 ( 7)2 r2，即 2a2 7 9a2， a 1. 故所求圆的方程为 (x 3)2 (y 1)2 9 或 (x 3)2 (y 1)2 9. 13 (2017 金牛期末 )已知 a R，若方程 a2x2 (a 2)y2 4x 8y 5a 0 表示圆，则此圆心坐标是 _ 答案 ( 2， 4) 解析 方程 a2x2 (a 2)y2 4x 8y 5a 0 表示圆， a2 a 20 ，解得 a 1 或 a 2， =【 ;
12、精品教育资源文库 】 = 当 a 1 时，方程化为 x2 y2 4x 8y 5 0， 配方得 (x 2)2 (y 4)2 25， 所得圆的圆心坐标为 ( 2， 4)，半径为 5； 当 a 2 时，方程化为 x2 y2 x 2y 2.5 0， 此时 D2 E2 4F0，方程不表示圆， 所以圆心坐标为 ( 2， 4) 14 (2018 河北邯郸模拟 )已知圆 O： x2 y2 8，点 A(2,0)，动点 M 在圆上，则 OMA的最大值为 _ 答案 4 解析 设 |MA| a，因为 |OM| 2 2， |OA| 2，由余弦定理知 cos OMA|OM|2 |MA|2 |OA|22|OM|MA| 2
13、2 a2 2222 2a 14 2? ?4a a 14 22 4a a 22 ，当且仅当 a 2 时等号成立， OMA 4 ，即 OMA 的最大值为 4. 三、解答题 15已知过原点的动直线 l 与圆 C1： x2 y2 6x 5 0 相交于不同的两点 A， B. (1)求圆 C1的圆心坐标； (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程 解 (1)把圆 C1的方程化为标准方程得 (x 3)2 y2 4， 圆 C1的圆心坐标为 C1(3,0) (2)设 M(x， y)， A， B 为过原点 的直线 l 与圆 C1的交点，且 M 为 AB 的中点， 由圆的性质知： MC1 MO， MC1
14、MO 0. 又 MC1 (3 x， y)， MO ( x， y)， 由向量的数量积公式得 x2 3x y2 0. =【 ;精品教育资源文库 】 = 易知直线 l 的斜率存在， 设直线 l 的方程为 y mx， 当直线 l 与圆 C1相切时， d |3m 0|m2 1 2， 解得 m 2 55 . 把相切时直线 l 的方程代入圆 C1的方程化简得 9x2 30x 25 0，解得 x 53. 当直线 l 经过圆 C1的圆心时， M 的坐标为 (3,0) 又 直线 l 与圆 C1交于 A， B 两点， M 为 AB 的中点， 53x3. 点 M 的轨迹 C 的方程为 x2 3x y2 0，其中 53
15、x3 ，其轨迹为一段圆弧 16已知圆 C 经过 P(4， 2)， Q( 1,3)两点，且 y 轴被圆截得的弦长为 4 3，半径小于 5. (1)求直线 PQ 与圆 C 的方程； (2)若直线 l PQ，且 l 与圆 C 交于点 A， B 且以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线 l 的方程 解 (1)由题意知直线 PQ 的方程为 x y 2 0. 设圆心 C(a， b)，半径为 r， 由于线段 PQ 的垂直平分线的方程是 y 12 x 32，即 y x 1，所以 b a 1. 由圆 C 在 y 轴上截得的线段的长为 4 3， 知 r2 12 a2， 可得 (a 1)2 (b 3)2 12 a2， 由 得 a 1， b 0 或 a 5， b 4. 当 a 1， b 0 时， r2 13，满足 题意， 当 a 5， b 4 时， r2 37，不满足题意 故圆 C 的方程为 (x 1)2 y2 13. (2)设
