1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 10.3 几何概型 知识梳理 1几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度 (面积或体积 )成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型 2几何概型的两个基本特点 3几何概型的概率公式 P(A) 构成事件 A的区域长度 ?面积或体积 ?试验的全部结果所构成的区域长度 ?面积或体积 ?. 诊断自测 1概念思辨 (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率 ( ) (2)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关 ( ) (3)几何 概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等
2、 ( ) (4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(必修 A3P137例 1)在区间 10,20内的所有实数中，随机取一个实数 a，则这个实数aP(C) P(D)P(B)故选 A. 3小题热身 (1)(2018 承德质检 )节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是( ) A.14 B.12 C.34 D.78 答案 C 解析 设通电
3、x 秒后第一串彩灯闪亮， y 秒后第二串彩灯闪亮依题 意得0 x4,0 y4 ，其对应区域的面积为 S 44 16. =【 ;精品教育资源文库 】 = 又两串彩灯闪亮的时刻相差不超过 2 秒，即 |x y|2 ，如图，易知阴影区域的面积为S 16 1222 1222 12， P SS 1216 34.故选 C. (2)(2017 贵阳质检 )如图所示，在边长为 1 的正方形中随机撒 1000 粒豆子，有 180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为 _ 答案 0.18 解析 由题 意知， S阴S正 1801000 0.18. S 正 1， S 阴 0.18. 题型 1 与长度 (角度 )有关
4、的几何概型 典例 1 (2016 全国卷 )某公司的班车在 7： 30,8： 00,8： 30 发车，小明在 7： 50至 8： 30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是 ( ) A.13 B.12 C.23 D.34 将时间长度转化为实数的区间长度代入几何概型概率公式 答案 B 解析 解法一： 7： 30 的班车小明显然是坐不到的当小明在 7： 50 之后 8： 00 之前到达，或者 8： 20 之后 8： 30 之前到达时，他等车的时间将不超过 10 分钟，故所求概率为 10 1040=【 ;精品教育资源文库 】 = 12.故选 B.
5、解法二：当小明到达车站的时刻超过 8： 00，但又不到 8： 20 时，等车时间将超过 10分钟， 7： 50 8： 30 的其他时刻到达车站时，等车时间将不超过 10 分钟，故等车时间不超过 10 分钟 的概率为 1 2040 12.故选 B. 典例 2 (2015 重庆高考 )在区间 0,5上随机地选择一个数 p，则方程 x2 2px 3p 2 0 有两个负根的概率为 _ 本题是属于不等式解区间长度的几何概型首先由题意列出不等式组求解区间，然后代入公式 答案 23 解析 设方程 x2 2px 3p 2 0 的两个根分别为 x1， x2，由题意得， ? 4p2 4?3p 2?0 ，x1 x2
6、 2p0，解得 230，x1x2 3p 2b0， a2b，它对应的平面区域如图中阴影部分所示，则方程 x2a2y2b2 1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于32 的椭圆的概率为 P S阴影S矩形 112 ?1 3?2 1212124 1532，故选 B. =【 ;精品教育资源文库 】 = 2欧阳修的卖油翁中写到： “( 翁 )乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿 ” ，可见 “ 行行出状元 ” ，卖油翁的技艺让人叹为观止若铜钱是直径为 3 cm 的圆，中间有边长为 1 cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油 (油滴的直径忽略不计 )，则正好落入孔中的概率是 _
7、答案 49 解析 由题意易得 P 12 ? ?32 2 49 . 题型 3 与体积有关的几何概型 典例 1 (2018 兰州名校检测 )一只蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6 个表面的距离均大于 1，称其 为 “ 安全飞行 ” ，则蜜蜂“ 安全飞行 ” 的概率为 ( ) A.481 B.81 481 C.127 D.827 答案 C 解析 由已知条件，蜜蜂只能在一个棱长为 1 的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂 “ 安全飞行 ” 的概率为 P 1333127.故选 C. 典例 2 已知正三棱锥 S ABC 的底面边长为 4，高为 3，则在正三棱
8、锥内任取一点 P，则点 P 满足 V 三棱锥 P ABC12V 三棱锥 S ABC的概率是 _ 答案 78 解析 设三棱锥 P ABC 的高为 h.由 V 三棱锥 P ABC12V 三棱锥 S ABC，得 13S ABC h12 13S ABC3 ，解得 h32，即点 P 在三棱锥的中截面以下的空间 点 P 满足 V 三棱锥 P ABC12V 三棱锥 S ABC的概率是 P 11314S ABC3213S ABC3 78. =【 ;精品教育资源文库 】 = 方法技巧 与体积有关的几何概型问题 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用空间几何体的体积表示，则其概率的计算公式为： P(A) 构成事
9、件 A的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积 . 求解的关键是计算事件的总体积以及事件 A 的体积 冲关针对训练 1在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体 ABCDA1B1C1D1内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 ( ) A.12 B 1 12 C. 6 D 1 6 答案 B 解析 正方体的体积为： 222 8，以 O 为球心， 1 为半径且在正方体内部的半球的体积为： 12 43 r3 12 431 3 23 ，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为： 1238 112.故选 B. 2如图，正方体
10、 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，在正方体内随机取点 M，则使四棱锥 MABCD 的体积小于 16的概率为 _ 答案 12 解析 过 M 作平面 RS 平面 AC，则两平面间的距离是四棱锥 M ABCD 的高，显然 M 在平面 RS 上任意位置时，四棱锥 M ABCD 的体积都相等若此时四棱锥 M ABCD 的体积等于 16.只要 M 在截面以下即可小于 16，当 VM ABCD 16时，即 1311 h 16，解得 h 12，即点 M 到底=【 ;精品教育资源文库 】 = 面 ABCD 的距离，所以所求概率 P11 12111 12. 1 (2017 全国卷 )如图，正方形 ABCD
11、 内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 ( ) A.14 B. 8 C.12 D. 4 答案 B 解析 不妨设正方形 ABCD 的边长为 2，则正方形内切圆的半径为 1， S 正方形 4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得 S 黑 S 白 12S 圆 2 ，所以由几何概型知所求概率 P S黑S正方形24 8.故选 B. 2 (2015 陕西高考 )设复数 z (x 1) yi(x， y R)，若 |z|1 ，则 y x 的概率为( ) A.34 12 B.14 12 C.12 1 D.12 1 答案 B
