1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 12 1 坐标系 知识梳理 1伸缩变换 设点 P(x， y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ：? x x ? 0?，y y ? 0? 的作用下，点 P(x， y)对应到点 P( x ， y) ，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换 2极坐标 一般地，不作特殊说明时，我们认为 0 ， 可取任意实数 3极坐标与直角坐标的互化 设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是 (x， y)，极坐标是 ( ， )，则它们之间的关系为： ? x cos ，y sin ； ? 2 x2 y2，tan yx?x0 ?. 诊断自测 1概念思辨 (1)平面直角坐标系
2、内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系 ( ) (2)点 P 的直角坐标为 ( 2， 2)，那么它的极坐标可表示为 ? ?2， 34 .( ) (3)过极点作倾斜角为 的直线的极坐标方程可表示为 或 .( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = (4)圆心在极轴上的点 (a,0)处，且过极点 O 的圆的极坐标方程为 2asin .( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(选修 A4 4P15T4)若以直角坐标系的原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段 y 1 x(0 x1) 的极坐标方程为 ( ) A 1cos sin ，
3、0 2 B 1cos sin ， 0 4 C cos sin ， 0 2 D cos sin ， 0 4 答案 A 解析 y 1 x(0 x1) ， sin 1 cos (0 cos 1) ； 1sin cos ? ?0 2 .故选 A. (2)(选修 A4 4P8T5)通过平面直角坐标系中的平移变换和伸缩变换，可以把椭圆 ?x 1?29 ?y 1?24 1 变为圆心在原点的单位圆，求上述平移变换和伸缩变换，以及这两种变换的合成的变换 解 先通过平移变换? x x 1，y y 1， 把椭圆?x 1?29 ?y 1?24 1 变为椭圆x 29 y 24 1；再通过伸缩变换? x x3 ，y y2
4、 ，把椭圆 x29 y 24 1 变为单位圆 x2 y 2 1. 上述两种变换的合成变换是? x x 13 ，y y 12 .3小题热身 (1)(2017 东营模拟 )在极坐标系中，已知点 P? ?2， 6 ，则 过点 P 且平行于极轴的直线方程是 ( ) A sin 1 B sin 3 C cos 1 D cos 3 答案 A =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 先将极坐标化成直角坐标表示， P? ?2， 6 转化为点 x cos 2cos 6 3， y sin 2sin 6 1，即 ( 3， 1)，过点 ( 3， 1)且平行于 x 轴的直线为 y 1，再化为极坐标为 sin 1.故选
5、A. (2)(2016 北京高考 )在极坐标系中，直线 cos 3 sin 1 0 与圆 2cos 交于 A， B 两点，则 |AB| _. 答案 2 解析 将 cos 3 sin 1 0 化为直角坐标方程为 x 3y 1 0，将 2cos 化为直角坐标方程为 (x 1)2 y2 1，圆心坐标为 (1,0)，半径 r 1，又 (1,0)在直线x 3y 1 0 上，所以 |AB| 2r 2. 题型 1 平面直角坐标系中的伸缩变换 典例 将圆 x2 y2 1 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线C. (1)求曲线 C 的标准方程； (2)设直线 l： 2x y 2 0 与 C
6、 的交点为 P1， P2，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程 由题意找出 (x， y)与 (x1， y1)的关系，采用代入法求解 解 (1)设 (x1， y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线 C 上点 (x， y)， 依题意，得? x x1，y 2y1， 由 x21 y21 1 得 x2 ? ?y2 2 1， 故曲线 C 的方程为 x2 y24 1. (2)由? x2 y24 1，2x y 2 0，解得? x 1，y 0 或 ? x 0，y 2. 不妨设 P1(1,0)， P2(0,2)，则线段 P1P2的中点坐标为
7、? ?12， 1 ，所求直线斜率为 k 12， 于是所求直线方程为 y 1 12? ?x 12 ， 化为极坐标方程，并整理得 2 cos 4 sin 3， 故所求 直线的极坐标方程为 34sin 2cos . 方法技巧 伸缩变换后方程的求法 =【 ;精品教育资源文库 】 = 平面上的曲线 y f(x)在变换 ：? x x ? 0?，y y ? 0? 的作用下的变换方程的求法是将? x x ，y y代入 y f(x)，得 y f? ?x ，整理之后得到 y h(x) ，即为所求变换之后的方程见典例 提醒：应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标 (x， y)与变换后的坐标 (x ， y) 冲关针对
8、训练 求双曲线 C： x2 y264 1 经过 ： ? x 3x，2y y 变换后所得曲线 C 的焦点坐标 解 设曲线 C 上任意一点 P( x ， y) ， 将? x 13x ，y 2y代 入 x2 y264 1，得x 29 4y 264 1， 化简得 x29 y 216 1，即x29y216 1 为曲线 C 的方程，可见仍是双曲线，则焦点 F1(5,0)， F2(5,0)即为所求 题型 2 极坐标与直角坐标的互化 典例 (2015 全国卷 )在直角坐标系 xOy 中，直线 C1： x 2，圆 C2： (x 1)2(y 2)2 1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 (1)
9、求 C1， C2的极坐标方程； (2)若直线 C3的极坐标方程为 4( R)，设 C2与 C3的交点为 M， N，求 C2MN 的面积 (1)用转化公式； (2)理解 1， 2的几何意义，化成 的二次方程后，利用韦达定理求 1， 2. 解 (1)因为 x cos ， y sin ，所以 C1的极坐标方程为 cos 2， C2的极坐标方程为 2 2 cos 4 sin 4 0. (2)将 4 代 入 2 2 cos 4 sin 4 0， 得 2 3 2 4 0，解得 1 2 2， 2 2.故 1 2 2，即 |MN| 2. 由于 C2的半径为 1，所以 C2MN 的面积为 12. 方法技巧 极坐
10、标方程与直角坐标方程的互化 1直角坐标方程化为极坐标方程：将公式 x cos 及 y sin 直接代入直角坐=【 ;精品教育资源文库 】 = 标方程并化简即可 2极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如 cos ， sin ， 2 的形式，再应用公式进行代换其中方程的两边同乘以 (或同除以 ) 及方程两边平方是常用的变形技巧 冲关针对训练 (2016 北京高考改编 )在极坐标系中，已知极坐标方程 C1： cos 3 sin 1 0， C2： 2cos .求曲线 C1， C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状 解 由 C1： cos 3 sin 1 0， x 3y 1 0，表示一条直线
11、由 C2： 2cos ，得 2 2 cos . x2 y2 2x，即 (x 1)2 y2 1. 所以 C2是圆心为 (1,0)，半径 r 1 的圆 题型 3 极坐标方程的应用 典例 (2016 全国卷 )在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 (x 6)2 y2 25. (1)以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； (2)直线 l的参数方程是? x tcos ，y tsin (t为参数 )， l 与 C交于 A， B两点， |AB| 10，求 l 的斜率 解方 程组? ， 2 12 cos 11 0， 利用韦达定理求 | 1 2| ? 1 2?2 4 1
12、 2即可 解 (1)由 x cos ， y sin ，可得圆 C 的极坐标方程为 2 12 cos 110. (2)在 (1)中建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 ( R) 设 A， B 所对应的极径分别为 1， 2，将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程，得 2 12 cos 11 0. 于是 1 2 12cos ， 1 2 11. |AB| | 1 2| ? 1 2?2 4 1 2 144cos2 44.由 |AB| 10，得 cos2 38， tan 153 . 所以 l 的斜率为 153 或 153 . 方法技巧 极坐标方程及其应用的类型及解题策略 1求极坐标方程可在平面直
13、角坐标系中，求出曲线方程，然后再转化为极坐标方程 2求点到直线的距离先将极坐标 系下点的坐标、直线方程转化为平面直角坐标系下点的坐标、直线方程，然后利用直角坐标系中点到直线的距离公式求解 =【 ;精品教育资源文库 】 = 3求线段的长度先将极坐标系下的点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后再求线段的长度 冲关针对训练 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 ? x 7cos ，y 2 7sin(其中 为参数 )，曲线 C2： (x 1)2 y2 1.以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的极坐标方程； (2)若射线 6 ( 0)与曲线 C1， C2分别交于 A， B 两点，求 |AB|. 解 (1)由 ? x 7cos ，y 2 7sin ，得 ? x 7cos ，y 2 7sin ，所以曲线 C1的普通方程为 x2 (y 2)2 7.把 x cos ， y sin 代入 (x 1)2y2 1，得 ( cos 1)2 ( sin )2 1，化简得曲线 C2的极坐标方程为 2cos . (2)依题意可设 A? ? 1，6 ， B?2，6 . 因为曲线 C1的极坐标方程为 2 4 sin 3 0， 将 6( 0)代入曲线 C1的极坐标方程，得 2 2 3 0，解得 1 3. 同理，将
