1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 47 讲 两条直线的位置关系 解密考纲 对直线方程与两条直线的位置关系的考查 ， 常以选择题或填空题的形式出现 一 、 选择题 1 若直线 ax 2y 1 0 与直线 x y 2 0 互相垂直 ， 那么 a ( D ) A 1 B 13 C 23 D 2 解析 由 a1 21 0 得 a 2， 故选 D 2 直线 2x y 1 0 关于直线 x 1 对称的直线方程是 ( C ) A x 2y 1 0 B 2x y 1 0 C 2x y 5 0 D x 2y 5 0 解析 由题意可 知 ， 直线 2x y 1 0 与直线 x 1 的交点为 (1,3)， 直线
2、 2x y 1 0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补 ， 因此它们的斜率互为相反数直线 2x y 1 0 的斜率为 2， 故所求直线的斜率为 2， 所以所求直线方程是 y 3 2(x 1)， 即 2x y 5 0. 3 已知过点 A( 2， m)和 B(m,4)的直线与直线 2x y 1 0 平行 ， 则 m ( B ) A 0 B 8 C 2 D 10 解析 kAB 4 mm 2 2， 则 m 8. 4 “ m 1” 是 “ 直线 x y 0 和直线 x my 0 互相垂直 ” 的 ( C ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析 因为 m 1 时 ， 两
3、直线方程分别是 x y 0 和 x y 0， 两直线的斜率分别是 1 和 1， 所以两直线垂直 ， 所以充分性成立；当直线 x y 0 和直线 x my 0 互相垂直时 ， 有11 ( 1) m 0， 所以 m 1， 所以必要性成立故选 C 5 若动点 A， B 分别在直线 l1： x y 7 0 和 l2： x y 5 0 上移动 ， 则 AB 的中点 M到原点的距离的最小值为 ( A ) A 3 2 B 2 2 C 3 3 D 4 2 解析 由条件知点 M 的轨迹是直线 x y 7 52 0， 即 x y 6 0， 所以最小距离为|0 0 6|12 12 3 2. =【 ;精品教育资源文库
4、 】 = 6 在等腰直角三角形 ABC 中 ， AB AC 4， 点 P 是边 AB 上异于 A， B 的一点光线从点P 出发 ， 经 BC， CA 反射后又回到点 P(如图 )若光线 QR 经过 ABC 的重心 ， 则 AP ( D ) A 2 B 1 C 83 D 43 解析 以 AB 为 x 轴 ， AC 为 y 轴建立如图所示的直角坐标系 ， 由题设知 B(4,0)， C(0,4)，则直线 BC 方程为 x y 4 0， 设 P(t,0)(0t4)， 则 P1(4,4 t)， P2( t,0)， 根据反射定理可知直线 P1P2 就是光线RQ 所在直线 ， 直线 P1P2的方程为 y 4
5、 t4 t (x t)， 设 ABC 的重心为 G， 易知 G? ?43， 43 .因为重心 G 在光线 RQ 上 ， 所以有 43 4 t4 t ? ?43 t ，即 3t2 4t 0. 因为 0t4， 所以 t 43， 即 |AP| 43.故选 D 二 、 填空题 7 经过点 P( 1,2)且与曲线 y 3x2 4x 2 在点 M(1,1)处的切线平行的直线的方程是_2x y 4 0_. 解析 解析 y 6x 4， y| x 1 2， 所求直线方程为 y 2 2(x 1)， 即 2x y 4 0. 8 过点 ( 1,1 )的直线被圆 x2 y2 2x 4y 11 0 截得的弦长为 4 3，
6、 则该直线的方程为 _x 1 或 3x 4y 1 0_. 解析 圆 x2 y2 2x 4y 11 0， 即 (x 1)2 (y 2)2 16， 则圆心为点 M(1,2)， 半径r 4. 由条件知 ， 点 ( 1,1)在圆内 ， 设过点 N( 1,1)的直线为 l， 当 l 的斜率 k 不存在时 ， l： x 1， 则交点 A( 1,2 2 3)， B( 1， 2 2 3)， 满足|AB| 4 3. =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 l 的斜率 k 存在时 ， 设 l： y 1 k(x 1)， 即 kx y k 1 0， 则圆心 M(1,2)到直线 l 的距离 d |k 2 k 1|k2 1
7、 |2k 1|k2 1. 则 d2 (2 3)2 16， 即 d2 k2k2 1 16 12 4， 解得 k34. 此时 ， y 1 34(x 1)， 即 3x 4y 1 0. 综上所述 ， 直线 l 为 x 1 或 3x 4y 1 0. 9 已知定点 A(1,1)， B(3,3)， 动点 P 在 x 轴上 ， 则 |PA| |PB|的最小值是 _2 5_. 解析 点 A(1,1)关于 x 轴的对称点为 C(1， 1)， 则 |PA| |PC|， 设 BC 与 x 轴的交点为 M， 则 |MA| |MB| |MC| |MB| |BC| 2 5. 由三角形两边之和大于第三边知 ， 当 P 不与
8、M 重合时 ， |PA| |PB| |PC| |PB| |BC|， 故当 P 与 M 重合时 ， |PA| |PB|取得最小值 三 、 解答题 10 正方形的中心为点 C( 1,0)， 一条边所在的直线方程是 x 3y 5 0， 求其他三边所 在直线的方程 解析 点 C 到直线 x 3y 5 0 的距离 d | 1 5|1 9 3 105 . 设与 x 3y 5 0 平行的一边所在直线的方程是 x 3y m 0(m 5)， 则点 C 到直线 x 3y m 0 的距离 d | 1 m|1 9 3 105 ， 解得 m 5(舍去 )或 m 7， 所以与 x 3y 5 0 平行的边所在直线的方程是
9、x 3y 7 0. 设与 x 3y 5 0 垂直的边所在直线的方程是 3x y n 0， 则点 C 到直线 3x y n 0 的距离 d | 3 n|1 9 3 105 ， 解得 n 3 或 n 9， 所以与 x 3y 5 0 垂直的两边所在直线的方程分别 是 3x y 3 0 和 3x y 9 0. 综上知正方形的其他三边所在直线的方程分别为 x 3y 7 0， 3x y 3 0,3x y 9 0. 11 已知 ABC 中 ， A(2， 1)， B(4,3)， C(3， 2)， 求： =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)BC 边上的高 AD 所在直线方程的一般式； (2)求 ABC 的面
10、积 解析 (1)因为 kBC 2 33 4 5， 所以 BC 边上的高 AD 所在直线的斜率 k 15. 所以 AD 所在直线方程为 y 1 15(x 2)， 即 x 5y 3 0. (2)由题意得 BC 的直线方程为 y 2 5(x 3)， 即 5x y 17 0. 点 A 到直线 BC 的距离 d |52 17|52 1 626， |BC| 26， S ABC 3. 12 (1)在直线 l： 3x y 1 0 上求一点 P， 使得 P 到 A(4,1)和 B(0,4)的距离之差最大 (2)在直线 l： 3x y 1 0 上求一点 Q， 使得 Q 到 A(4,1)和 C(3,4)的距离之和最
11、小 解析 (1)如图 (1)， 设点 B 关于 l 的对称点 B 的坐标为 (a， b)， 直线 l 的斜率为 k1，则 k1 kBB 1， 即 3 b 4a 1. 图 (1) a 3b 12 0. 又由于线段 BB 的中点坐标为 ? ?a2， b 42 ， 且在直线 l 上 ， 3 a2 b 42 1 0. 即 3a b 6 0 .解 得 a 3， b 3， B(3,3) 于是 AB 的方程为 y 13 1 x 43 4， 即 2x y 9 0. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解? 3x y 1 0，2x y 9 0， 得 ? x 2，y 5， 即 l 与 AB 的交点坐标为 P(2,5)， 此时 |PA| |PB|最大 (2)如图 (2)， 设 C 关于 l 的对称点为 C ， 求出 C 的坐标为 ? ?35， 245 . 图 (2) AC 所在直线的方程为 19x 17y 93 0， AC 和 l 的交点坐标为 ? ?117 ， 267 ， 故 Q 点坐标为 ? ?117 ， 267 ， 此时 |QA| |QC|最小
