1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 7 讲 空间中角与距离的计算 1如图 X871，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，若 E， F 分别是 BC， DD1的中点，则B1到平面 ABF 的距离为 ( ) A. 33 B. 55 C. 53 D.2 55 图 X871 图 X872 2 (2016 年黑龙江哈尔滨六中统测 )如图 X872，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，若 BC AC， BAC 3 ， AC 4， AA1 4， M 为 AA1的中点， P 为 BM 的中点， Q 在线段 CA1上， A1Q 3QC.则异面直线 PQ 与 AC 所成角的正弦值为 ( ) A. 391
2、3 B.2 1313 C.2 3913 D. 1313 3如图 X873，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， BB1与平面 ACD1所成角的正切值是 ( ) A. 23 B. 22 C.23 D. 63 图 X873 图 X874 4若正三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长都相等， D 是 A1C1的中点，则直线 AD 与平面 B1DC所成角的正弦值为 ( ) A.35 B.45 C.34 D. 55 5已知在矩形 ABCD 中， AB 1， BC 3，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使平面 ABC与平面 ACD 垂直，则 B 与 D 之间的距离为 _ 6如图 X874，正三棱柱
3、(底面是正三角形的直棱柱 )ABCA1B1C1的底面边长为 2，侧棱长为 2 2，则 AC1与侧面 ABB1A1所成的角为 _ 7 (2017 年山东 )如图 X875，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCD(及其内部 )以 AB 边所在直线为旋转轴旋转 120 得到的 ， G 是 DF 的中点 (1)设 P 是 CE 上的一点，且 AP BE，求 CBP 的大小； (2)当 AB 3， AD 2 时，求二面角 EAGC 的大小 =【 ;精品教育资源文库 】 = 图 X875 8 (2017 年广东深圳一模 )如图 X876，四边形 ABCD 为菱形，四边形 ACFE 为平行四边形，设 B
4、D 与 AC 相交于点 G， AB BD 2， AE 3， EAD EAB. (1)证明：平面 ACFE 平面 ABCD； (2)若 AE 与平面 ABCD 所成角为 60 ，求二面角 BEFD 的余弦值 图 X876 9 (2016 年新课标 )如图 X877，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O， AB 5， AC 6，点 E， F 分别在 AD， CD 上， AE CF 54， EF 交 BD 于点 H.将 DEF 沿 EF 折到 D EF 的位置， OD 10. (1)证明： D H 平面 ABCD； (2)求二面角 BD AC 的正弦值 图 X877 =【 ;精品教育
5、资源文库 】 = 第 7 讲 空间中角与距离的计算 1 D 2 C 解析：以 C 为原点， CB 为 x 轴， CA 为 y 轴， CC1为 z 轴，建立如图 D156 所示的空间直角坐标系， 图 D156 则由题意，得 A(0,4,0)， C(0,0,0)， B(4 3， 0,0)， M(0,4,2)， A1(0， 4,4)， P(2 3，2,1)则 CQ 14CA1 14(0,4,4) (0,1,1) Q(0,1,1)， AC (0， 4,0)， PQ ( 2 3， 1,0)设异面直线 PQ 与 AC 所成角为 ， cos |cos AC ， PQ | ? ?44 13 113， sin
6、1 ? ?113 2 2 3913 .故选 C. 3 B 解析： BB1与平面 ACD1所成角即 DD1 与平面 ACD1所成角，即 DD1O，其正切值是 ODDD1 22 . 4 B 解析：方法一 (间接法 )，由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题设条件，可知B1D 平面 ACD， B1D DC.故 B1DC 为直角三角形 不妨设棱长为 1，则有 AD 52 ， B1D 32 ， DC 52 . 1BDCS 12 32 52 158 . 设 A 到平面 B1DC 的距离为 h， 则有1 ABDCV1 BADCV， 13 h1BDCS 13 B1D S ADC. 13 h 158 13 32 1
7、2. h 25. 设直线 AD 与平面 B1DC 所成的角为 ， 则 sin hAD 45. 方法二 (向量法 )，如图 D157，取 AC 的中点 O 为坐标原 点，建立空间直角坐标系 图 D157 =【 ;精品教育资源文库 】 = 不妨设各棱长为 2， 则有 A(0， 1,0)， D(0,0,2)， C(0,1,0)， B1( 3， 0,2) 设 n (x， y， z)为平面 B1CD 的法向量， 则有? n CD 0，n CB1 0? y 2z 0，3x y 2z 0 ?n (0,2,1) 设直线 AD 与平面 B1DC 所成的角为 ， sin cos AD ， n AD n|AD |
8、n| 45. 5. 102 解析：过 B， D 分别向 AC 作垂线，垂足分别为 M， N.则可求得 AM 12， BM 32 ，CN 12， DN 32 ， MN 1. BD BM MN ND . |BD |2 |BM MN ND |2 |BM |2 |MN |2 |ND |2 2(BM MN MN ND BM ND ) ? ?32 2 12 ? ?32 2 2(0 0 0) 52. |BD | 102 . 6. 6 解析：方法一，如图 D158，以 C 为原点建立空间直角坐标系，则 A(2,0,0)， C1(0,0, 2 2)点 C1在侧面 ABB1A1内的射影为点 C2? ?32， 32
9、 ， 2 2 . 图 D158 AC1 ( 2,0,2 2)， AC2 ? ? 12， 32 ， 2 2 . 设直线 AC1与平面 ABB1A1所成的角为 ， 则 cos AC1 AC2|AC1 |AC2 | 1 0 82 33 32 . 又 ? ?0， 2 ，所以 6. 方法二，取 A1B1的中点 H，连接 AH，由题意易知 C1H 平面 ABB1A1， C1AH 即为 AC1与平面 ABB1A1所成的角在 Rt C1HA 中， C1H 3， C1A AC2 CC21 2 3， C1AH 6 ，即 AC1与侧面 ABB1A 所成角为 6. 7解： (1)因为 AP BE， AB BE， 又
10、AB， AP?平面 ABP， AB AP A， 所以 BE 平面 ABP. 又 BP?平面 ABP，所以 BE BP. 又 EBC 120 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 CBP 30. (2)方法一，取 EC 的中点 H，连接 EH， GH， CH，如图 D159. 因为 EBC 120 ，所以四边形为 BEHC 为菱形 所以 AE GE AC GC 32 22 13. 取 AG 中点 M，连接 EM， CM， EC. 则 EM AG， CM AG. 所以 EMC 为所求二面角的平面角 又 AM 1，所以 EM CM 13 1 2 3. 在 BEC 中，由于 EBC 120 ，
11、由余弦定理，得 EC2 22 22 222cos 120 12， 所以 EC 2 3.因此 EMC 为等边三角形 故所求的角为 60. 图 D159 图 D160 方法二，以 B 为坐标原点，分别以 BE， BP， BA 所在的直线为 x， y， z 轴，建立如图 D160所示的空间直角坐标系 由题意，得 A(0,0,3)， E(2,0,0)， G(1， 3， 3)， C( 1， 3， 0)，故 AE (2,0， 3)，AG (1， 3， 0)， CG (2,0,3) 设 m (x1， y1， z1)是平面 AEG 的一个法向量 由? m AE 0，m AG 0，可得 ? 2x1 3z1 0，
12、x1 3y1 0， 取 z1 2，得平面 AEG 的一个法向量 m(3， 3， 2) 设 n (x2， y2， z2)是平面 ACG 的一个法向量 由? n AG 0，n CG 0，可得 ? x2 3y2 0，2x2 3z2 0，取 z2 2，可得平面 ACG 的一个法向量 n (3， 3， 2) 所以 cos m， n mn|m|n| 12. 因此所求的角为 60. 8 (1)证明： 连接 EG， 四边形 ABCD 为菱形， AD AB， BD AC， DG GB. 在 EAD 和 EAB 中， AD AB， AE AE， EAD EAB， EAD EAB. ED EB. BD EG. AC
13、 EG G， BD 平面 ACFE. BD?平面 ABCD， 平面 ACFE 平面 ABCD. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)解：方法一，如图 D161，过 G 作 EF 的垂线，垂足为 M，连接 MB， MG， MD， 易得 EAC 为 AE 与平面 ABCD 所成的角 EAC 60. EF GM， EF BD， EF 平面 BDM， DMB 为二面角 BEFD 的平面角 可求得 MG 32， DM BM 132 ， 在 DMB 中由余弦定理，可得 cos BMD 513， 二面角 BEFD 的余弦值为 513. 图 D161 图 D162 方法二，如图 D162，在平面 ABCD
14、 内，过 G 作 AC 的垂线，交 EF 于 M 点， 由 (1)可知，平面 ACFE 平面 ABCD， MG 平面 ABCD. 直线 GM， GA， GB 两两互相垂直 分别 GA， GB， GM 为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系 Gxyz， 易得 EAC 为 AE 与平面 ABCD 所成的角， EAC 60. 则 D(0， 1,0)， B(0,1,0)， E? ?32 ， 0， 32 ， F? ? 3 32 ， 0， 32 . 则 FE (2 3， 0,0)， BE ? ?32 ， 1， 32 ， DE ? ?32 ， 1， 32 . 设平面 BEF 的一个法向量为 n (x， y
15、， z)， 则 n FE 0， n BE 0. x 0，且 32 x y 32z 0. 取 z 2，可得平面 BEF 的一个法向量为 n (0,3,2) 同理可求得平面 DEF 的一个法向量为 m (0,3， 2) cos n， m 513. 二面角 BEFD 的余弦值为 513. 9 (1)证明：由 已知，得 AC BD， AD CD. 又由 AE CF，得 AEAD CFCD.故 AC EF. 因此 EF HD，从而 EF D H. 由 AB 5， AC 6，得 DO BO AB2 AO2 4. 由 EF AC，得 OHDO AEAD 14. 所以 OH 1， D H DH 3. 于是 OH 1， D H2 OH2 32 12 10 D O2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 故 D H OH. 又 D H EF，而 OH EF H. 所以 D H 平面 ABCD. 图 D163 (2)解：如图 D163，以 H 为坐标原点， HF 的方向为 x 轴的正方向，建立空间直角坐标系Hxyz，
