1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 60 讲 离散型随机变量及其分布列 解密考纲 离散型随机变量及其分布列在高考中一般与排列、组合及古典概型、几何概型、二项分布及超几何分布相结合，以实际问题为背景呈现在三种题型中，难度中等或较大 一、选择题 1设某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功次数，则 P(X 0) ( C ) A 0 B 12 C 13 D 23 解析 设 X 的分布列为： X 0 1 P p 2p 即 “ X 0” 表示试验失败， “ X 1” 表示试验成功，设失败率为 p，则成功率为 2p， 由 p 2p 1，得 p 13，故选 C 2一只袋
2、内装有 m 个白球， n m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了 X 个白球，下列概率等于 n m2mA3n 的是 ( D ) A P(X 3) B P(X2) C P(X3) D P(X 2) 解析 由超几何分布知 P(X 2) n m2mA3n . 3 设 X 是一个离散型随机变量，其分布列为 X 1 0 1 P 13 2 3q q2 则 q ( C ) A 1 B 32 336 C 32 336 D 32 336 解析 由分布列的性质知? 2 3q0 ，q20 ，13 2 3q q2 1， q 32 336 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 4随机变量 X
3、 的概率分布为 P(X n) an n (n 1,2,3,4)，其中 a 是常数，则P? ?12X52 ( D ) A 23 B 34 C 45 D 56 解析 P(X 1) P(X 2) P(X 3) P(X 4) a2 a6 a12 a20 1， a 54， P? ?12X52 P(X 1) P(X 2) 54 12 54 16 56. 5若随机变量 X 的分布列为 X 2 1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当 P(Xa) 0.8 时，实数 a 的取值范围是 ( C ) A ( ， 2 B 1,2 C (1,2 D (1,2) 解析 由随机变量 X
4、的分布列知： P(X 1) 0.1， P(X0) 0.3， P(X1) 0.5， P(X2) 0.8，则当 P(Xa) 0.8 时，实数 a 的取值范围是 (1,2 6已知随机变量 X 的概率分布列如下表 . X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P 23 232 233 234 235 236 237 238 239 m 则 P(X 10) ( C ) A 239 B 2310 C 139 D 1310 解析 由题易知： P(X 1) P(X 2) ? P(X 10) 1?23 232 ? 239 m 1?m 1 ? ?23 232 ? 239 1 ? ?1 139 139，故选 C
5、 二、填空题 7设随机变量 X 的概率分布列为 X 1 2 3 4 =【 ;精品教育资源文库 】 = P 13 m 14 16 则 P(|X 3| 1) 512 . 解析 由 13 m 14 16 1， 解得 m 14， P(|X 3| 1) P(X 2) P(X 4) 14 16 512. 8由于电脑故障，使得随机变量 X 的分布列中部分数据丢失 (以 “ x， y” 代替 )，其分布列如下 . X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20 则丢失的两个数据 x， y 依次为 _2,5_. 解析 由于 0.20 0.10 (0.1 x 0.05)
6、 0.10 (0.1 0.01 y) 0.20 1，得 10x y 25，又因为 x， y 为正整数，故两个数据依次是 2,5. 9若离散型随机变量 X 的分布列为 X 0 1 P 9c2 c 3 8c 则常数 c _13_， P(X 1) _13_. 解析 由离散型随机变量分布列的性质可知： ? 9c2 c 3 8c 1，09 c2 c1 ，03 8c1 ，解得 c 13. P(X 1) 3 8 13 13. 三、解答题 10设 为随机变量，从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条：当两条棱相交时， 0；当两条棱平行时， 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时， 1. (1)求概率 P
7、( 0)； (2)求 的分布列 解析 (1)若两条棱相交，则交点必为正方体 8 个顶点中的 1 个，过任意 1 个顶点恰有 3条棱，所以共有 8C23对相交棱， 因此 P( 0) 8C23C2128366 411. (2)若两条棱平行，则它们的距离为 1 或 2，其中距离为 2的共有 6 对， 于是 P( 1) 1 P( 0) P( 2) 1 411 111 611. =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以随机变量 的分布列是 0 1 2 P 411 611 111 11某学校的三个学生社团的人数分布如下表 (每名学生只能参加一个社团 ). 围棋社 舞蹈社 拳击社 男生 5 10 28 女生
8、15 30 m 学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取 18 人，结果拳击社被抽出了 6 人 (1)求拳击社团被抽出 6 人中有 5 人是男生的概率； (2)设拳击社团有 X 名女生被抽出，求 X 的分布列 解析 (1)由于按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取 18 人，拳击社被抽出了 6 人， 628 m 1820 40 28 m， m 2. 设 A 为 “ 拳击社团被抽出的 6 人中有 5 人是男生 ” ， 则 P(A) C528C12C630 48145. (2)由题意可知 X 0,1,2， P(X 0) C628C63092145， P(X 1)
9、C528C12C630 48145， P(X 2) C428C22C630 5145129， X 的分布列为 X 0 1 2 P 92145 48145 129 12某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为 12， 13， 23. (1)求该高中获得冠军个数 X 的分布列； (2)若球队获得冠军，则给其所在学校加 5 分，否则加 2 分，求该高中得分 Y 的分布列 解析 (1)由题意知 X 的 可能取值为 0,1,2,3， 则 P(X 0) ? ?1 12 ? ?1 13 ? ?1 23 19， =【 ;精品教育资源文库 】 = P(X 1) 12 ? ?
10、1 13 ? ?1 23 ? ?1 12 13 ? ?1 23 ? ?1 12 ? ?1 13 23 718， P(X 2) 12 13 ? ?1 23 ? ?1 12 13 23 12 ? ?1 13 23 718， P(X 3) 12 13 23 19. X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 19 718 718 19 (2) 得分 Y 5X 2(3 X) 6 3X， X 的可能取值为 0,1,2,3， Y 的可能取值为 6,9,12,15，则 P(Y 6) P(X 0) 19， P(Y 9) P(X 1) 718， P(Y 12) P(X 2) 718， P(Y 15) P(X 3) 19. Y 的分布列为 Y 6 9 12 15 P 19 718 718 19
