1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 42 讲 直线、平面垂直的判定及其性质 解密考纲 对直线 、 平面垂直的判定与性质定理的初步考查一般以选择题 、 填空题的形式出现 ， 难度不大；综合应用直线 、 平面垂直的判定与性质常以解答题为主 ， 难度中等 一 、 选择题 1 已知平面 平面 ， l， 点 A ， A?l， 直线 AB l， 直线 AC l， 直线 m ， m ， 则下列四种位置关系中 ， 不一定成立的是 ( D ) A AB m B AC m C AB D AC 解析 如图所示 ， AB l m； AC l， m l?AC m； AB l?AB ， 只有 D 项不一定成立 ， 故选
2、 D 2 在空间中 ， l， m， n， a， b 表示直线 ， 表示平面 ， 则下列命题正确的是 ( D ) A若 l ， m l， 则 m B若 l m， m n， 则 l n C若 a ， a b， 则 b D若 l ， l a， 则 a 解析 对于 A 项 ， m 与 位置关系不确定 ， 故 A 项错；对于 B 项 ， 当 l 与 m， m 与 n 为异面垂直时 ， l 与 n 可能异面或相交 ， 故 B 项错；对于 C 项 ， 也可能 b? ， 故 C 项错；对于 D 项 ， 由线面垂直的定义可知正确 3 (2018 江西南昌模拟 )已知 m， n 为异面直线 ， m 平面 ， n
3、平面 .直线 l 满足l m， l n， l? ， l? ， 则 ( D ) A 且 l B 且 l C 与 相交 ， 且交线垂直于 l D 与 相交 ， 且交线平行于 l 解析 由于 m， n 为异面直线 ， m 平面 ， n 平面 ， 则平面 与平面 必相交 ，但不一定垂直 ， 且交线垂直于直线 m， n， 又直线 l 满足 l m， l n， 则交线平行于 l. 4 设 a， b 是夹角为 30 的异面直线 ， 则满足条件 “ a? ， b? ， 且 ” 的平面 ， ( D ) A不存在 B有且只有一对 C有且只有两对 D有无数对 解析 过直线 a 的平面 有无数个 ， 当平面 与直线
4、b 平行时 ， 两直线的公垂线与 b确定的平面 ， 当平面 与 b 相交时 ， 过交点作平面 的垂线与 b 确定的平面 .故选 D =【 ;精品教育资源文库 】 = 5 (2018 宁夏银川一模 )如图 ， 在正方形 ABCD 中 ， E， F 分别是 BC， CD 的中点 ， G 是EF 的中点 ， 现沿 AE， AF 及 EF 把这个正方形折成一个空间图形 ， 使 B， C， D 三点重合 ， 重合后的点记为 H， 那么 ， 在这个空间图形中必有 ( A ) A AH 平面 EFH B AG 平面 EFH C HF 平面 AEF D HG 平面 AEF 解析 由平面图形得 AH HE， A
5、H HF， 又 HE HF H， AH 平面 HEF， 故选 A 6 (2018 陕西宝鸡质检 )对于四面体 ABCD， 给出下列四个命题： 若 AB AC， BD CD， 则 BC AD； 若 AB CD， AC BD， 则 BC AD； 若 AB AC， BD CD， 则 BC AD； 若 AB CD， AC BD， 则 BC AD 其中为真命题的是 ( D ) A B C D 解析 如图，取 BC 的中点 M，连接 AM， DM， 由 AB AC?AM BC， 同理 DM BC?BC平面 AMD， 而 AD?平面 AMD， 故 BC AD 设 A 在平面 BCD 内的射影为 O， 连接
6、BO， CO， DO，由 AB CD?BO CD， 由 AC BD?CO BD?O 为 BCD 的垂心 ?DO BC?AD BC 二 、 填空题 7 若 ， 是两个相交平面 ， m 为一条直线 ， 则下列命题中 ， 所有真命题的序号为 _ _. 若 m ， 则在 内一定不存在与 m 平行的直线； 若 m ， 则在 内一定存在无数条直线与 m 垂直； 若 m? ， 则在 内不一定存在与 m 垂直的直线； 若 m? ， 则在 内一定存在与 m 垂直的直线 解析 对于 ， 若 m ， 如果 ， 互相垂直 ， 则在平面 内存在与 m 平行的直线 ，故 错误；对于 ， 若 m ， 则 m 垂直于平面 内
7、的所有直线 ， 故在平面 内一定存在=【 ;精品教育资源文库 】 = 无数条直线与 m 垂直 ， 故 正确；对于 ， 若 m? ， 则在平面 内一定存在与 m 垂直的直线 ， 故 错误 ， 正确 8 (2018 吉林长春模拟 )如图所示 ， 在直角梯形 ABCD 中 ， BC DC， AE DC， N， M 分别是 AD， BE 的中点 ， 将三角形 ADE 沿 AE 折起 ， 下列说法正确的是 _ _(填上所有正确的序号 ) 不论 D 折至何位置 (不在平面 ABC 内 )都有 MN 平面 DEC； 不论 D 折至何位置都有 MN AE； 不论 D 折至何位置 (不在平面 ABC 内 )都有
8、 MN AB 解析 如图 ， 分别取 EC， DE 的中点 P， Q， 由已知易知四边形 MNQP 为平行四边形 ， 则MN PQ， 又 PQ?平面 DEC， 故 MN 平面 DEC， 正确； 取 AE 的中点 O， 易证 NO AE， MO AE.故 AE 平面 MNO， 又 MN?平面 MNO， 则 AEMN， 正确； D?平面 ABC， N?平面 ABC， 又 A， B， M 平面 ABC， MN 与 AB 异面 ， 错误 9 如图 ， 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 ， 侧棱长为 2， AC BC 1， ACB 90 ， D 是 A1B1的中点 ， F 是 BB1上的动点 ， AB
9、1， DF 交于点 E， 要使 AB1 平面 C1DF， 则线段 B1F 的长为 _12_. 解析 设 B1F x， 因为 AB1 平面 C1DF， DF?平面 C1DF， 所以 AB1 DF. 由已知可以得 A1B1 2. 设 Rt AA1B 斜边 AB1上的高为 h， 则 DE 12h. 又 22 2 h 22 2 2， 所以 h 2 33 ， DE 33 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 在 Rt DB1E 中 ， B1E ? ?22 2 ? ?33 2 66 . 由面积相等得 66 x2 ? ?22 2 22 x， 得 x 12. 即线段 B1F 的长为 12. 三 、 解答题 1
10、0 如图 ， 在 ABC 中 ， ABC 90 ， D 是 AC 的中点 ， S 是 ABC 所在平面外一点 ， 且SA SB SC (1)求证： SD 平面 ABC； (2)若 AB BC， 求证： BD 平面 SAC 证明 (1)因为 SA SC， D 是 AC 的中点 ， 所以 SD AC 在 Rt ABC 中 ， AD BD， 又 SA SB， SD SD， 所以 ADS BDS， 所以 SD BD 又 AC BD D， 所以 SD 平面 ABC (2)因为 AB BC， D 为 AC 的中点 ， 所以 BD AC 由 (1)知 SD BD， 又 SD AC D， 所 以 BD 平面
11、SAC 11 (2018 河南郑州模拟 )如图 ， 已知三棱柱 ABC A B C 的侧棱垂直于底面 ， AB AC， BAC 90 ， 点 M， N 分别为 A B 和 B C 的中点 (1)证明： MN 平面 AA C C； (2)设 AB AA ， 当 为何值时 ， CN 平面 A MN， 试证明你的结论 解析 (1)证明：如图 ， 取 A B 的中点 E， 连接 ME， NE. 因为 E， N 分别为 A B 和 B C 的中点 ， 所以 NE A C ， ME BB AA. =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 A C ?平面 AA C C， NE?平面 AA C C， 所以 NE
12、平面 AA C C， 同理 ME 平面 AA C C， 又 EM EN E， 所以平面 MNE 平面 AA C C， 因为 MN?平面 MNE， 所以 MN 平面 AA C C (2)当 2时 ， CN 平面 A MN， 证明如下： 连接 BN， 设 AA a， 则 AB AA a ， 由题意知 BC 2a ， CN BN a2 12 2a2， 因为三棱柱 ABC A B C 的侧棱垂直于底面 ， 所以平面 A B C 平面 BB C C， 因为 AB AC， 点 N 是 B C 的中点 ， 所以 A N 平面 BB C C， 所以 CN A N， 要使 CN 平面 A MN， 只需 CN B
13、N 即可 ， 所以 CN2 BN2 BC2， 即 2? ?a2 12 2a2 2 2a2， 解得 2， 故当 2时 ， CN 平面 A MN. 12 如图 ， 在 ABC 中 ， B 90 ， AB 2， BC 1， D， E 两点分别是边 AB， AC 的中点 ， 现将 ABC 沿 DE 折成直二面角 A DE B (1)求证：平面 ADC 平面 ABE； (2)求直线 AD 与平面 ABE 所成角的正切值 解析 (1)证明： D， E 两点分别是边 AB， AC 的中点 ， DE BC B 90 ， ADE 90 ， DE AD， DE BD， ADB 为二面角 A DE B 的平面角 ，
14、 ADB 90 ， AD 平面 BCD 又 BE?平面 BCD， AD BE. 又 BD 22 ， DE 12， BC 1， 即 BDDE BCBD， BDE CBD， EBD DCB， EBD BDC 90 ， BE DC 又 DC AD D， BE 平面 ADC 又 BE?平面 ABE， 平面 ABE 平面 ADC =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)设 BE 交 CD 于 H， 连接 AH， 过点 D 作 DO AH 于 O. AD BE， BE DH， 又 AD DH D， BE 平面 ADH. DO?平面 ADH， BE DO. 又 DO AH， BE AH H， DO 平面 ABE， DAO 为 AD 与平面 ABE 所成的角 在 Rt BDE 中 ， BD 22 ， DE 12， DH BD DEBE 66 . 在 Rt ADH 中 ， tan DAO DHDA 66 2 33 ， 直线 AD 与平面 ABE 所成角的正切值为 33 .
