1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 29 讲 等差数列及其前 n 项和 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.理解等差数列的概念 2掌握等差数列的通项公式与前 n项和公式 3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题 4了解等差数列与一次函数、二次函数的关系 . 2016 全国卷 ， 3 2016 浙江卷， 6 2016 天津卷， 18 1.利用公式求等差数列指定项、前 n 项和；利用定义、通项公式证明等差数列 2利用等差数列性质求等差数列指定项 (或其项数 )、公差；利用等差数列的单调性求前 n 项和的最值 . 分值： 5 7 分 1等差数列的有关概念 (1)等差数列
2、的定义 一般地，如果一个数列从第 _2_项起，每一项与它的前一项的差等于 _同一个常数 _，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 _d_表示，定义表达式为 _an an 1 d(常数 )(n N*， n2) _或 _an 1 an d(常数 )(n N*)_. (2)等差中项 若三个数 a， A， b 成等差数列，则 A 叫做 a 与 b 的等差中项，且有 A _a b2 _. 2等差数列的有关公式 (1)等差数列 的通项公式 如果等差数列 an 的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式是 _an a1 (n 1)d_. (2)等差数列的前 n 项和公式 设等
3、差数列 an 的公差为 d，其前 n 项和 Sn _na1 n?n 1?2 d_或 Sn _n?a1 an?2 _. 3等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广： an am _(n m)d_(n， m N*) (2)若 an 为等差数列，且 k l m n(k， l， m， n N*)，则 _ak al am an_. (3)若 an 是等差数列，公差为 d，则 a2n 也是等差数列，公差为 _2d_. (4)若 an ， bn 是等差数列，公差为 d，则 pan qbn 也是等差数列 (5)若 an 是等差数列，公差为 d，则 ak， ak m， ak 2m， ?( k， m N*)是公差
4、为 _md_的=【 ;精品教育资源文库 】 = 等差数列 (6)数列 Sm， S2m Sm， S3m S2m， ? 也是等差数列 (7)S2n 1 (2n 1)an. (8)若 n 为偶数，则 S 偶 S 奇 nd2 ； 若 n 为 奇数，则 S 奇 S 偶 a 中 (中间项 ) 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “”) (1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列 ( ) (2)数列 an 为等差数列的充要条件是对任意 n N*，都有 2an 1 an an 2.( ) (3)等差数列 an 的单调性是由公差 d 决定的 ( ) (4)数列 an 为等
5、差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数 ( ) (5)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数 ( ) 解析 (1)错误若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，这个数列就不是等差数列 (2)正确如果数列 an为等差数列，根据定义 an 2 an 1 an 1 an，即 2an 1 an an 2；反之，若对任意 n N*，都有 2an 1 an an 2，则 an 2 an 1 an 1 an an an 1 ? a2 a1，根据定义 数列 an为等差数列 (3)正确当 d0 时为递增数列； d 0 时为常数列； d0，得 n a7 a8 0 a9 ?
6、， n 7 或 8 时， Sn最大 答案 7 或 8 【跟踪训练 1】 (2018 山西孝义模拟 )在等差数列 an中， a1 a3 a5 105， a2 a4a6 99，以 Sn表示 an的前 n 项和，则使 Sn取到最大值的 n 是 ( B ) A 21 B 20 C 19 D 18 解析 因为 a1 a3 a5 3a3 105， a2 a4 a6 3a4 99，所以 a3 35， a4 33.所以 d 2， a1 39. 由 an a1 (n 1)d 39 2(n 1) 41 2n0 ，解得 n 412 ，所以当 n 20 时， Sn达到最大值，故选 B 课时达标 第 29 讲 解密考纲
7、 主要考查等差数列的通项公式，等差中项及其性质，以及前 n 项和公式的应用，三种题型均有涉及 一、选择题 1已知等差数列 an的前 13 项之和为 39，则 a6 a7 a8 ( B ) A 6 B 9 C 12 D 18 解析 由等差数列的性质得， S13 13a7 39， a7 3.由等差中项，得 a6 a7 a8 3a7 9，故选 B 2等差数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 a5 8， S3 6，则 a9 ( C ) A 8 B 12 C 16 D 24 解析 由已知得 a1 4d 8,3a1 322 d 6，解得 a1 0， d 2. 故 a9 a1 8d 16，故选 C 3设
8、Sn是公差不为零的等差数列 an的前 n 项和，且 a10，若 S5 S9，则当 Sn最大时，n ( B ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 6 B 7 C 10 D 9 解析 由题意可得 S9 S5 a6 a7 a8 a9 0， 2(a7 a8) 0，即 a7 a8 0.又 a10， 该等差数列的前 7 项为正数，从第 8 项开始为负数 当 Sn最大时， n 7. 4等差数列 an中， a1 3a8 a15 120，则 2a9 a10 ( C ) A 20 B 22 C 24 D 8 解析 在等差数列 an中， a1 3a8 a15 120， 5a8 120， a8 24.2a9 a1
9、0 a8 24，故选 C 5在等差数列 an中， a9 12a12 3，则数列 an的前 11 项和 S11 ( C ) A 24 B 48 C 66 D 132 解析 设公差为 d， a9 12a12 3 即 a1 8d 12(a1 11d) 3，整理，得 a1 5d 6，即 a6 6. S11 11?a1 a11?2 112 a62 66，故选 C 6设 Sn是公差为 d(d0) 的无穷等差数列 an的前 n项和，则下列命题错误的是 ( C ) A若 d0 D若对任意的 n N*，均有 Sn0，则数列 Sn是递增数列 解析 选项 C 显然是错的，举出 反例： 1， 0,1,2,3， ? 满
10、足数列 Sn是递增数列，但是 Sn0 不成立 二、填空题 7设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a1 3， ak 1 32， Sk 12，则正整数 k _13_. 解析 由 Sk 1 Sk ak 1 12 32 212 ，又 Sk 1 ?k 1?a1 ak 1?2 ?k 1? ? 3 322 212 ，解得 k 13. 8 (2016 江苏卷 )已知 an是等差数列， Sn是其前 n 项和若 a1 a22 3， S5 10，=【 ;精品教育资源文库 】 = 则 a9的值是 _20_. 解析 设等差数列 an的公差为 d，则由题设可得? a1 ?a1 d?2 3，5a1 542 d 10
11、， 解得? d 3，a1 4， 从而 a9 a1 8d 20. 9设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 1a31,0a63，则 S9 的取值范围是 _(3,21)_. 解析 设 S9 9a1 36d x(a1 2d) y(a1 5d)，由待定系数法得 x 3， y 6. 因为 33a33,06a618，两式相加即得 3S921. 三、解答题 10在等差数列 an中， a1 1， a3 3. (1)求数列 an的通项公式； (2)若数列 an的前 k 项和 Sk 35，求 k 的值 解析 (1)设等差数列 an的公差为 d，则 an a1 (n 1)d. 由 a1 1， a3 3，可得 1
12、 2d 3，解得 d 2. 从而 an 1 (n 1)( 2) 3 2n. (2)由 (1)知 an 3 2n， 所以 Sn n1 ?3 2n?2 2n n2. 由 Sk 35，得 2k k2 35，即 (k 5)(k 7) 0， 又 k N*，故 k 7. 11若数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足 an 2SnSn 1 0(n2) ， a1 12. (1)求证：数列 ? ?1Sn是等差数列； (2)求数列 an的通项公式 解析 (1)证明：当 n2 时，由 an 2SnSn 1 0，得 Sn Sn 1 2SnSn 1， 所以 1Sn 1Sn 1 2，又 1S1 1a1 2， 故 ? ?
13、1Sn是首项为 2，公差为 2 的等差数列 (2)由 (1)得 1Sn 2n， Sn 12n. 当 n2 时， an Sn Sn 1 12n 12?n 1? n 1 n2n?n 1? 12n?n 1?. =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 n 1 时， a1 12不适合上式 故 an? 12， n 1， 12n?n 1?， n2.12等差数列 an中， a2 4， a4 a7 15. (1)求数列 an的通项公式； (2)设 bn 2an 2 n，求 b1 b2 b3 ? b10的值 解析 (1)设等差数列 an的公差为 d. 由已知得? a1 d 4，?a1 3d? ?a1 6d? 15， 解得 ? a1 3，d 1， 所以 an a1 (n 1)d n 2. (2)由 (1)可得 bn 2n n， 所以 b1 b2 b3 ? b10 (2 1) (22 2) (23 3) ? (210 10) (2 22 23 ? 210) (1 2 3 ? 10) 2 ?1 210?1 2 ?1 10?102 (211 2) 55 211 53 2 101.
