1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 选修 45 不等式选讲 第 1 课时 绝对值不等式 含有绝对值的不等式的解法 . 理解绝对值的几何意义 . 会解绝对值不等式： |ax b|c ， |axb|c. 了解绝对值不等式： |x c| |x b|a的 解法 . 1. （选修 45P5例 2 改编）解不等式 |2x 1|3. 解：不等式 |2x 1| 3 可化为 2x 13， 解得 x2.故不等式的解集为 x| x2. 2. 已知 |x a|5 x|， 两边同时平方得 4x2 4x 125 10x x2， 即 3x2 14x 240， 解得原不等式的解集为（ ， 6） （ 43， ） . 4. （选修
2、 45P6例 4 改编）若存在实数 x 满足不等式 |x 4| |x 3|k 的解集为 R， 求实数 k 的取值范围 . 解：（解法 1）根据绝对值的几何意义 ， 设数 x， 1， 2 在数轴上对应的点分别为 P， A，B， 则原不等式等价于 PA PBk 恒成立 . AB 3， 即 |x 1| |x 2| 3， 故当 kk 恒成立 ， 从图象中可以看出 ， 只要 kb?bb， bc?ac； ab?a cb c； ab， cd?a cb d； ab， c0?acbc； ab， cb0， cd0?acbd； ab0?anbn（ n N， 且 n1）； =【 ;精品教育资源文库 】 = ab0?n
3、 an b（ n N， 且 n1） . 2. 含有绝对值的不等式的解法 |f（ x） |a（ a0） ?f（ x） a 或 f（ x） 0） ? a0， b0， 且 a2 b2 92， 若 a bm 恒成立 . （ 1） 求 m 的最小值； （ 2） 若 2|x 1| |x|a b 对任意的 a， b 恒成立 ， 求实数 x 的取值范围 . 解：（ 1） （ a2 b2）（ 12 12） （ a b） 2， a b3 ， 当且仅当 a1 b1， 即?a 32，b 32时取等号 . a bm 恒成立 ， m 3. 故 m 的最小值为 3. （ 2） 要使 2|x 1| |x|a b 恒成立 ，
4、则 2|x 1| |x|3 ， ?x0 ， 2x 2 x3 或 ?01，2x 2 x3. =【 ;精品教育资源文库 】 = x 13或 x 53. x 的取值范围是 ? ? ， 13 ? ?53， . 1. （ 2017 苏北四市期末）已知 a， b， c 为正实数 ， 1a3 1b3 1c3 27abc 的最小值为 m，解关于 x 的不等式 |x 1| 2x m. 解：因为 a， b， c0， 所以 1a3 1b3 1c3 27abc 33 1a31b31c3 27abc3abc27abc2 3abc27abc 18， 当且仅当 a b c3 13时，取等号， 所以 m 18. 所以不等式
5、|x 1| 2x 193 ， 所以原不等式的解集为 ? ? 193 ， . 2. （ 2016 江苏卷）设 a 0， |x 1| a3， |y 2| a3， 求证： |2x y 4| a. 证明： |x 1|0 时 ， 不等式的解集为 x| 2a x 6a； 当 a0. 故 ab 1a b. 2. 若 a， b， c R*， 且满足 a b c 2， 求 abc 的最大值 . 解：因为 a， b， c R*， 所以 2 a b c3 3 abc， 故 abc 827.当且仅当 a b c 23时等号成立 ， 所以 abc 的最大值为 827. 3. 若实数 a， b， c 满足 a2 b2 c
6、2 4， 求 3a 4b 5c 的最大值 . 解：由柯西不等式得（ 3a 4b 5c） 2 （ a2 b2 c2）（ 9 16 25） 200， 所以 10 2 3a 4b 5c10 2， 所以 3a 4b 5c 的最大值为 10 2. 4. 已知 x 0， y 0， a R， b R.求证 ： ? ?ax byx y2 a2x b2yx y . 证明： x 0， y 0， x y 0， 要证 ? ?ax byx y2 a2x b2yx y ， 即证（ ax by） 2 （ x y）（ a2x b2y） ， 即证 xy（ a2 2ab b2） 0 ， 即证（ a b） 2 0. 而 （ a b
7、） 2 0 显然成立 ， ? ?ax byx y2 a2x b2yx y . 5. 已知 a， b 0， a b 2， x， y 0， 求证：（ ax by）（ bx ay） 4xy . 证明：已知（ ax by）（ bx ay） ab（ x2 y2）（ a2 b2） xy ， 且 a， b， x， y 0，所以由均值不等式得 ab（ x2 y2）（ a2 b2） xy （ a2 2ab b2） xy（ a b） 2xy 4xy，当 且仅当 x y 时取等号 . 1. 不等式证明的常用方法 （ 1） 比较法：比较法是证明不等式的一种最基本的方法 ， 也是一种常用方法 ， 基本不等式就是用比较法
8、证得的 .比较法有差值、比值两种形式 ， 但比值法必须考虑正负 . 比较法证明不等式的步骤：作差（商）、变形、判断符号 .其中的变形主要方法是分解因式、配 方，判断过程必须详细叙述 . （ 2） 综合法：综合法就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发 ， 不断用必要条件替换前面的不等式 ， 直到推出要证明的结论 ， 即为 “ 由因导果 ” ， 在使用综合法证明不等=【 ;精品教育资源文库 】 = 式时 ， 常常用到基本不等式 . （ 3） 分析法：分析法就是从所要证明的不等式出发 ， 不断地用充分条件替换前面的不等式 ， 直至推出显然成立的不等式 ， 即为 “ 执果索因 ”. 2. 不等式证
9、明的其他方法和技巧 （ 1） 反证法 从否定结论出发 ， 经过逻辑推理 ， 导出矛 盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定结论是正确的证明方法 . （ 2） 放缩法 欲证 AB ， 可通过适当放大或缩小 ， 借助一个或多个中间量 ， 使得 AC 1 C2? Cn B， 利用传递性达到证明的目的 . （ 3） 数学归纳法 3. 柯西不等式的二维形式 （ 1） 柯西不等式的代数形式：设 a1， a2， b1， b2均 为实数 ， 则（ a21 a22）（ b21 b22） （ a1b1 a2b2） 2（当且仅当 a1b2 a2b1时 ， 等号成立） . （ 2） 柯西不等式的向量形式：设 ， 为平面
10、上的两个向量 ， 则 | . （ 3） 三角形不等式：设 x1， y1， x2， y2， x3， y3 R， 那么 （ x1 x2） 2（ y1 y2） 2（ x2 x3） 2（ y2 y3） 2 （ x1 x3） 2（ y1 y3） 2. 4. 柯西不等式的一般形式 设 n 为大于 1 的自然数 ， ai， bi（ i 1， 2，?， n）为实数 ， 则 ni 1a2ini 1b2i ? ?ni 1aibi2， 其中等号当且仅当 b1a1 b2a2 ? bnan时成立（当 ai 0 时 ， 约定 bi 0， i 1， 2，?， n） . 5. 算术几何平均不等式 a1 a2 ? ann n
11、a1a2? an（ a1， a2，?， an R*） ， 等号当且仅当 a1 a2 ? an时成立 . , 1 用比较法证明不等式 ) , 1) （ 2017 南京、盐城模拟）设 ab ， 求证： a4 6a2b2 b4 4ab（ a2 b2） . 证明： a4 6a2b2 b4 4ab（ a2 b2）（ a2 b2） 2 4ab（ a2 b2） 4a2b2（ a2 b2 2ab）2（ a b） 4. 因为 ab ， 所以（ a b） 4 0， 所以 a4 6a2b2 b4 4ab（ a2 b2） . 备选变式（教师专享） 已知 m， n 是正数 ， 求证： m3nn3m m2 n2. 证 明
12、 ： m3n n3m m2 n2 m3 n3n n3 m3m （ m3 n3）（ m n）mn （ m n） 2（ m2 mn n2）mn ， 又 m， n 均为正实数 ， （ m n）2（ m2 mn n2）mn 0， m3nn3m m2 n2， 当且仅当 m n 时 ， 等号成立 . , 2 用分析法、综合法证明不等式 ) , 2) （ 2017 南通、泰州模拟）设 x， y， z 均为正实数，且 xyz 1， 求证： 1x3y 1y3z 1z3x xy yz zx. =【 ;精品教育资源文库 】 = 证明：因为 x， y， z 均为正实数 ， 且 xyz 1， 所以 1x3y xy 2x
13、 2yz， 1y3z yz 2y 2xz， 1z3x xz 2z 2xy. 所以 1x3y 1y3z 1z3x xy yz zx. 变式训练 已知 a， b， c 均为正数 .求证： a2 b2 c2 ? ?1a 1b 1c2 6 3. 证明：因为 a， b， c 均为正数 ， 由基本不等式得 a2 b2 2ab， b2 c2 2bc， c2 a2 2ca. 所以 a2 b2 c2 ab bc ca. 同理 1a2 1b2 1c2 1ab 1bc 1ca， 故 a2 b2 c2 ? ?1a 1b 1c2 ab bc ca 3ab 3bc 3ca 6 3. 所以原不等式成立 . , 3 均值不等
14、式的应用 ) , 3) （ 2017 南通、扬州、泰州模拟）已知 a， b， c， d 是正实数 ， 且 abcd 1.求证： a5 b5 c5 d5 a b c d. 证明：因为 a， b， c， d 是正实数 ， 且 abcd 1， 所以 a5 b c d4 4 a5bcd 4a . 同理 b5 c d a4b ， c5 d a b4c ， d5 a b c4d ， 将 式相加并整理 ， 即得 a5 b5 c5 d5 a b c d. 变式训练 已知 x， y， z 均为正数 ， 求证： xyz yzx zxy 1x 1y 1z. 证明：因为 x， y， z 均为正数 ， 所以 xyz y
15、zx 1z? ?yx xy 2z. 同理可得 zxy yzx 2x， xyz zxy 2y. 当且仅当 x y z 时 ， 以上三式等号都成立 . 将上述三个不等式左、右两边分别相加 ， 并除以 2， 得 xyz yzx zxy 1x 1y 1z. 备选变式（教师专享） 已知正数 a， b， c 满足 abc 1， 求（ a 2）（ b 2）（ c 2）的最小值 . 解： （ a 2）（ b 2）（ c 2）（ a 1 1）（ b 1 1）（ c 1 1） 3 3 a 3 3 b 3 3 c 27 3 abc 27， 当且仅当 a b c 1 时等号成立 ， （ a 2）（ b 2）（ c 2）的最小值为 27. , 4 柯西不等式的应用 ) , 4) （ 2017 苏锡常镇一模）已知 a， b， c为正数 ， 且 a b c 3， 求 3a 1 3b 1 3c 1的最大值 . 解：由柯西不等式可得 （ 3a 1 3b 1 3c 1） 2 （ 12 12 12） （ 3a 1） 2（ 3
