1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 7 讲 二次函数与幂函数 考纲要求 考情分析 命题趋势 1掌握二次函数的图象与性质，会求二次函数的最值 (值域 )、单调区间 2了解幂函数的概念 3结合函数 y x， y x2，y x3， y 1x， y x12 的图象，了解它们的变化情况 2017 全国卷 ，11 2017 山东卷， 10 2016 全国卷 ， 6 2015 浙江卷， 18 1二次函数的图象和性质，经常与其他知识综合考查 2幂函数的图象和性质，很少单独出题 3二次函数的 综合应用，经常与导数、不等式综合考查 分值： 5 8 分 1幂函数的概念 一般地，函数 _y x _叫做幂函数，其中
2、x 是自变量， 是常数 2几个常用的幂函数的图象与性质 定义 幂函数 y x ( R) 图象 0 1 时，图象下凹；当 00 时，开口 _向上 _， a0 时， y ！ ? ?4ac b24a ， #， a0 时， f(x)在 ！ ? ? ， b2a #上是减函数，在 _? ? b2a， _上是增函数； a1,00 时图象经过点 (0,0)和点 (1,1)，在第一象限的部分 “ 上升 ” ； 1 时曲线下凹， 00， m 2. (2) 幂函数 y f(x)的图象过点 (4,2)， f(x) x12 . (3) 0 2x 的解集为 (1,3)若方程f(x) 6a 0 有两个相等的根，则 f(x)
3、的单调递增区间为 _( ， 3_. 解析 (1)设 f(x) ax2 bx c(a0) 由题意得? 4a 2b c 1，a b c 1，4ac b24a 8，解得? a 4，b 4，c 7.所以所求二次函数为 f(x) 4x2 4x 7. (2)因为 f(x) 2x0 的解集为 (1,3)， 设 f(x) 2x a(x 1)(x 3)，且 a0 时， f(x) ax2 2x 图象的开口方向向上，且对称轴为 x 1a. 当 1a1 ，即 a1 时， f(x) ax2 2x 图象的对称轴在 0,1内， f(x)在 ? ?0， 1a 上递减，在 ? ?1a， 1 上递增 f(x)min f? ?1a
4、 1a 2a 1a. 当 1a1，即 01 时，函数图象如图 (3)，函数 f(x)在区间 a，a 1上为增函数，所以最小值为 f(a) a2 2a 2. 综上可知， g(a)? a2 1， a1.【例 4】 (1)若函数 f(x) x2 2ax 3 在区间 4,6上是单调函数，则实数 a 的取值范围为 _( ， 6 4， ) _. (2)若函数 f(x) x2 3x 4 的定义域为 0， m，值域为 ? ? 254 ， 4 ，则 m 的取值范围是 ！ ? ?32， 3 #. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 (1)由于函数 f(x)的图象开口向上，对称轴是 x a，所以要使 f(x)在
5、 4,6上是单调函数，应有 a 4 或 a6 ，即 a 6 或 a4. (2)函数 f(x)图象的对称轴为 x 32，且 f? ?32 254 ， f(3) f(0) 4，由二次函数的图象知 m 的取值范围为 ? ?32， 3 . 1若幂函数 f(x) mx 的图象经过点 A? ?14， 12 ，则它在点 A 处的切线方程是 ( C ) A 2x y 0 B 2x y 0 C 4x 4y 1 0 D 4x 4y 1 0 解析 根据函数 f(x) mx 为幂函数，所以 m 1，根据图象经过点 A? ?14， 12 ，则有 12，所以 f(x) x12 ， f( x) 12 x， f ? ?14
6、1，故所求切线方程是 4x 4y 1 0. 2已知函数 f(x) ex 1， g(x) x2 4x 3.若有 f(a) g(b)，则 b 的取值范围为( B ) A 2 2， 2 2 B (2 2， 2 2) C 1,3 D (1,3) 解析 由题意可知， f(x) ex 1 1， g(x) x2 4x 3 (x 2)2 11 若有 f(a) g(b)，则 g(b) ( 1,1， 即 b2 4b 3 1，解得 2 22x m 在 1,1上恒成立 即 x2 3x 1 m0 在 1,1上恒成立 设 g(x) x2 3x 1 m，因为 g(x)的图象开口向上，对称轴为 x 32，所 以 g(x)在
7、1,1上是减函数， 故 g(x)min g(1) 12 31 1 m0，解得 m0.再由顶点在第一象限得 b2a0，所以 b0. 3对任意的 x 2,1，不等式 x2 2x a0 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ( D ) A ( ， 0 B ( ， 3 C 0， ) D 3， ) 解析 设 f(x) x2 2x a(x 2,1)，由二次函数的图象知，当 x 1 时， f(x)取得最大值 3 a，所以 3 a0 ，解得 a3 ，故选 D 4对于幂函数 f(x) x45 ，若 0f?x1? f?x2?2 C f? ?x1 x22 f?x1? f?x2?2 D无法确定 解析 根据幂函数的性质：当
8、 00)，已知 f(m)0 D f(m 1)0，所以 f(x)的大致图象如图所示 由 f(m)0，所以 f(m 1)f(0)0，故选 C 6 (2017 山东卷 )已知当 x 0,1时，函数 y (mx 1)2的 图象与 y x m 的图象有且只有一个交点，则正实数 m 的取值范围是 ( B ) A (0,1 2 3， ) B (0,1 3， ) C (0， 2 2 3， ) D (0， 2 3， ) 解析 在同一直角坐标系中，分别作出函数 f(x) (mx 1)2 m2? ?x 1m 2与 g(x) x m 的大致图象 分两 种情形： (1)当 01 时， 01m1，如图 ，要使 f(x)与 g(x)的图象在 0,1上只有一个交点，只需g(1) f(1)，即 1 m( m 1)2，解得 m3 或 m0( 舍去 )
