1、=【 ;精 品教育资源文库 】 = 第 17 讲 定积分与微积分基本定理 考纲要求 考情分析 命题趋势 1了解定积分的实际背景、基本思想及概念 2了解微积分基本定理的含义 . 2015 天津卷， 11 2015 湖南卷， 11 2015 陕西卷， 16 定积分与微积分基本定理难度不大，常常考查定积分的计算和求曲边梯形的面积 . 分值： 5 分 1定积分的定义及相关概念 一般地，如果函数 f(x)在区间 a， b上连续，用分点 a x03， 所以 s21，若 ?1t(2x 1)dx t2，则 t _2_., 解析 ?1t(2x 1)dx (x2 x)|t1 t2 t 2 从而得方程 t2 t 2
2、 t2，解得 t 2. 5汽车以 36 km/h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以减速度 a 2 m/s2刹车，则从开始刹车到停车，汽车走的距离是 _25_m., 解析 t 0 时， v0 36 km/h 10 m/s，刹车后，汽车减速行驶，速度为 v(t) v0 at 10 2t，由 v(t) 0 得 t 5 s，所以从刹车到停车，汽车所走过的路程为 ?05v(t)dt?05(10 2t)dt (10t t2)|50 25(m) , , 一 定积分的计算 , =【 ;精 品教育资源文库 】 = 计算定积分的步骤 (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积或和
3、或差 (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为初等函数的定积分 (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数 (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值 (5)计算原始定积分的值 【例 1】 计算下列定积分 (1)?01( x2 2x)dx； (2)?0 (sin x cos x)dx； (3)?12?e2x 1x dx； (4)2 0 1 sin 2x dx. 解析 (1)?01( x2 2x)dx?01( x2)dx?012x dx ? ? 13x3 |10 (x2)|10 13 1 23. (2)?0 (sin x cos x)dx?0 sin x dx?0 cos x dx, ( co
4、s x)|0 sin x|0 2. (3)?12?e2x 1x dx ?12e2xdx?121xdx12e2x 21 ln x|21,12e4 12e2 ln 2 ln 1 12e4 12e2 ln 2. (4) ?02 1 sin 2x dx ?02|sin x cos x|dx, ?04 (cos x sin x)dx ?42 (sin x cos x)dx, (sin x cos x)? 40 ( cos x sin x)? 24, 2 1 ( 1 2) 2 2 2. 二 定积分几何意义的应用 , (1)利用定积分求平面图形面积的步骤： 根据题意画出图形； 借助图形确定出被积函数，求出交
5、点坐标，确定定积分的上、下限； 把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； 计算定积分，写出答案 (2)根据平面图形的面积求参数的方法：先利用定积分求出平面图形的面积，再根据条=【 ;精 品教育资源文库 】 = 件构造方程 (不等式 )求解 【例 2】 (1)由曲线 y x，直线 y x 2 及 y 轴所围成的图形的面积为 ( C ) A 103 B 4 C 163 D 6 (2)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型 (图中虚线所示 )，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 _1 2_. 解析 (1)作出曲线 y x和直线 y x 2 的草图 (如图所示 )，
6、所求面积为阴影部分的面积 ,由 ? y x，y x 2 得交点 A(4,2) 因此 y x与 y x 2 及 y 轴所围成的图形的面积为 ?04 x (x 2)dx?04( x x 2)dx?23x3212x2 2x 40238 1216 24 163.,(2)建立如图所示的平面直角坐标系 由抛物线过点 (0， 2)， ( 5,0)， (5,0)，得抛物线的函数表达式 为 y 225x2 2，抛物线与 x 轴围成的面积 S1 ? 55?2 225x2 dx 403 ，梯形面积 S2?6 10?22 16，最大流量比为 S2 S1 6 5. 三 定积分在物理中的应用 定积分在物理中的两个应用 (
7、1)求变速直线运动的路程：如果变速直线运动物体的速度为 v v(t)，那么从时刻 t=【 ;精 品教育资源文库 】 = a 到 t b 所经过的路程 s ?abv(t)dt. (2)变力做功：一物体在变力 F(x)的作用下，沿着与 F(x)相同的方向从 x a 移动到 x b 时，力 F(x)所做的功是 W ?abF(x)dx. 【例 3】 (1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 v(t) 7 3t 251 t(t 的单位： s， v 的单位： m/s)行驶至停止在此期间汽车行驶的距离 (单位： m)是 ( C ) A 1 25ln 5 B 8 25ln 113 C 4
8、 25ln 5 D 4 50ln 2 (2)一物体在力 F(x)? 5， 0 x2 ，3x 4， x2 (单位： N)的作用下沿与力 F 相同的方向，从 x 0 处运动到 x 4(单位： m)处，则力 F(x)做的功为 _36_J. 解析 (1)由 v(t) 7 3t 251 t 0，可得 t 4? ?t 83舍去 ，因此汽车从刹车到停止一共行驶了 4 s，此期间行驶的 距离为 ?04v(t)dt?04?7 3t 251 t dt ?7t 32t2 25ln?1 t? |40, 4 25ln 5 (m) ,(2)由题意知，力 F(x)所做的功为 ,W ?04F(x)dx?025 dx?24(3
9、x 4)dx 52 ?32x2 4x 42, 10 ? ?324 2 44 ? ?322 2 42 36 J. 1定积分 ?01 x?2 x? dx 的值为 ( A ) A 4 B 2 C D 2 解析 令 y x?2 x?，则 (x 1)2 y2 1(y0) ，由定积分的几何意义知， ?01 x?2 x?dx 的值为区域? ?x 1?2 y2 1?y0 ?，0 x1 的面积，即为4. 2计算： ? 33 (x3cos x)dx _0_. =【 ;精 品教育资源文库 】 = 解析 y x3cos x 为奇函数， ? 33 (x3cos x)dx 0. 3如图，由两条曲线 y x2， y 14x
10、2及直线 y 1 所围成的平面图形的面积为 ！ 43 #. 解析 由? y x2，y 1， 得交点 A( 1， 1)， B(1， 1) 由? y 14x2，y 1，得交点 C( 2， 1)， D(2， 1) 所以所 求面积 S 2? ?01? 14x2 x2 dx?12? 14x2 1 dx 43. 4如图，圆 O： x2 y2 2内的正弦曲线 y sin x 与 x 轴围成的区域记为 M(图中阴影部分 )，随机向圆 O 内投一个点 A，则点 A 落在区域 M 内的概率为 ！ 4 3 #. 解析 阴影部分的面积为 2?0 sin x dx 2( cos x)|0 4，圆的面积为 3，所以点 A
11、落在区域 M 内的概率是 4 3. 易错点 定积分的几何意义不明确 错因分析： ?abf(x)dx 不一定表示面积，也可能是面积的相反数，它可正，可负，也可为零 【例 1】 求曲线 f(x) sin x， x ? ?0， 54 与 x 轴围成的图形的面积 =【 ;精 品教育资源文库 】 = 解析 当 x 0， 时， f(x)0 ，当 x ? ? ， 54 时， f(x)0. 则所求面积 S ?0 sin x dx? 54 sin x dx cos x| |0 cos x54 2? 22 1 322 . 【跟踪训练 1】 (2018 山东淄博一模 )如图所示，曲线 y x2 1， x 2， x
12、0， y 0围成的阴影部分的面积为 ( A ) A ?02|x2 1|dx B? ?02?x2 1?dxC ?02(x2 1)dx D?01(x2 1)dx?12(1 x2)dx 解析 由曲线 y |x2 1|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即?02|x2 1|dx. 课时达标 第 17 讲 解密考纲 本考点主要考查利用微积分基本定理以及积分的性质求定积分、曲边梯形的面积，常与导数、概率相结合命题，通常以选择题的形式呈现，题目难度中等 一、选择题 1 ?01exdx 的值等于 ( C ) A e B 1 e C e 1 D 12(e 1) 解析 ?01exdx ex|10
13、e1 e0 e 1，故选 C 2 ?1e?2x 1x dx ( C ) A e2 2 B e 1 =【 ;精 品教育资源文库 】 = C e2 D e 1 解析 ?1e?2x 1x dx (x2 ln x)|e1 e2.故选 C 3求曲线 y x2与直线 y x 所围成图形的面积，其中正确的是 ( A ) A S ?01(x x2)dx B S?01(x2 x)dx C S ?01(y2 y)dy D S?01(y y)dy 解析 由图象可得 S ?01(x x2)dx. 第 3 题图 第 4 题图 4曲线 y 2x与直线 y x 1 及直线 x 4 所围成的封闭图形的面积为 ( D ) A
14、2ln 2 B 2 ln 2 C 4 ln 2 D 4 2ln 2 解析 由曲线 y 2x与直线 y x 1 及 x 4 所围成的封闭图形，如图中阴影部分所示，故所求图形的面积为 S ?24?x 1 2x dx (12x2 x 2ln x)|42 4 2ln 2. 5设 f(x)? x2， x 0， 1，1x， x ?1， e(其中 e 为自然对数的底数 )，则 ?0ef(x)dx 的值为( A ) A 43 B 1 C 12 D 2 解析 ?0ef(x)dx?01x2dx?1e1x dx13x3|10 ln x|e113 143，故选 A 6如图，设 D 是图中所示的矩形区域， E 是 D
15、内函数 y cos x 图象上方的点构成的区域 (阴影部分 )，向 D 中随机投一点，则该点落入 E 中的概率为 ( D ) =【 ;精 品教育资源文库 】 = A 2 B 1 C 12 D 2 解析 因为 ?02cos x dx sin x? 20 1 故所求概率为 12 2 . 二、填空题 7 ?02 (cos x sin x)dx _0_. 解析 ?02 (cos x sin x)dx (sin x cos x) ? 20 0. 8若函数 f(x) x 1x，则 ?1ef(x)dx ！ e2 12 #. 解析 ?1e?x 1x dx ?x22 ln x |e1e2 12 . 9由曲线 y sin x， y cos x 与直线 x 0， x 2 所围成的平面图形 (图中的阴影部分 )的面积是 ！ 2 2 2 #. 解析 由图可得阴影部分面积 S 2?04(cos x sin x)dx
