1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第十一章 计数原理、随机变量及分布列 第 1 课时 分类计数原理与分步计数原理 一、 填空题 1. 三个人踢毽子 ， 互相传递 ， 每人每次只能踢一下由甲开始踢 ， 经过 3 次传递后 ，毽子又被踢回给甲则不同的传递方式共有 _种 答案： 2 解析： (列举法 )传递方式有甲 乙 丙 甲；甲 丙 乙 甲 2. 将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级 ， 每个年级 2 人要求甲必须在高一年级 ，乙和丙均不在高三年级 ， 则不同的安排种数为 _ 答案： 9 解析：若甲、乙在高一年级 ， 则丙一定在高二年级 ， 此时不同 的安排种 数为 3；若甲、丙在高一年级 ， 则
2、乙一定在高二年级 ， 此时不同的安排种数为 3；若甲在高一年级 ， 乙、丙在高二年级 ， 此时不同的安排种数为 3， 所以由分类计数原理知不同的安排种数为 9. 3. 现有 4 名同学去听同时进行的 3 个课外知识讲座 ， 每名同学可自由选择其中的一个讲座 ， 不同选法的种数是 _ 答案： 81 解析：每个同学都有 3 种选择 ， 所以不同选法共有 34 81(种 ) . 4. 五名学生争夺四项比赛的冠军 (冠军不并列 )， 获得冠军的可能性有 _种 答案： 625 解析：获得冠军的可能情况有 5555 625(种 ) 5. 4 位同学从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门 ， 则恰有 2 人
3、选修课程甲的不同选法有_种 答案： 24 解析：分三步 ， 第一步先从 4 位同学中选 2 人选修课程甲 ， 共有 C24种不同选法；第二步给第 3 位同学选课程 ， 有 2 种选法；第三步给第 4 位同学选课程 ， 也有 2 种不同选法故共有 C24 2 2 24(种 ) 6. 如图所示 22 方格 ， 在每一个方格中填入一个数字 ， 数字可以是 1， 2， 3， 4 中的任何一个 ， 允许重复若填入 A 方格的数字大于 B 方格的数字 ， 则不同的填法共有 _种 A B C D 答案： 96 解析：可分三步：第一步 ， 填 A， B 方格的数字 ， 填入 A 方格的数字大于 B 方格的数字
4、有 6 种方式 (若方格 A 填入 2， 则方格 B 只能填入 1；若方格 A 填入 3， 则方格 B 只能填入 1或 2；若方格 A 填入 4， 则方格 B 只能填入 1 或 2 或 3)；第二步 ， 填方格 C 的数字 ， 有 4 种不同的填法；第三步 ， 填方格 D 的数字 ， 有 4 种不同的填法由分步计数原理得不同的填法总数为 644 96(种 ) 7. 现有 红、黄、蓝不同颜色的旗各三面，每次升一面、两面或三面在某一旗杆上纵向排列，共可 以组成 _种不同的旗语信号 答案： 39 解析：悬挂一面旗共可以组成 3 种旗语信号； 悬挂两面旗共可以组成 33 9(种 )旗语信号； 悬挂三面
5、旗共可以组成 333 27(种 )旗语信号 由分类计数原理知 ， 共有 3 9 27 39(种 )旗语信号 8. 将 3 个不同的小球放入编号分别为 1， 2， 3， 4 的盒子内，则 4 号盒子中至少有一个球的放法有 _种 答案： 37 解析：根据题意 ， 将 3 个不同的小球放入编号分别为 1， 2， 3， 4 的盒子内 ， 有 444 64(种 )放法 ， 而 4 号盒子中没有球 ， 即 3 个小球 放在 1， 2， 3 号的盒子内 ， 有 333 =【 ;精品教育资源文库 】 = 27(种 )放法 所以 4 号盒子中至少有一个球的放法有 64 27 37(种 ) 9. 从 0， 1，
6、2， 3， 4， 5， 6 七个数字中 ， 任意 取出三个不同的数字，作为二次函数 y ax2 bx c(a0) 的系数 ， 可得 _个不同的二次函数 答案： 180 解析：由分步计算原理 ， 可得 665 180(个 )不同的二次函数 10. 为举办校园文化节 ， 某班推荐 2 名男生、 3 名女生参加文艺技能培训 ， 培训项目及人数分别为：乐器 1 人 ， 舞蹈 2 人 ， 演唱 2 人 ， 每人只参加一个项目 ， 并且舞蹈和 演唱项目必须有女生 参加，则不同的推荐方案的种数为 _ (用数字作答 ) 答案： 24 解析：若参加乐器培训的是女生 ， 则各有 1 名男生及 1 名女生分别参加舞
7、蹈和演唱培训 ，共有 322 12(种 )方案；若参加乐器培训的是男生 ， 则各有 1 名男生、 1 名女生及 2 名女生分别参加舞蹈和演唱培训 ， 共有 232 12(种 )方案 ， 所以共有 24 种推荐方案 11. 如图 ， 用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色 (4 种颜色 全部使用 )，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为 _ 答案： 96 解析：按区域 1 与 3 是否同色分类 (1) 区域 1 与 3 同色：先涂区域 1 与 3， 有 4 种方法 ， 再涂区域 2， 4， 5(还有 3 种颜色 )，有 A33种方法 区域 1 与 3 涂同色
8、 ， 共有 4A33 24(种 )方法 (2) 区域 1 与 3 不同色：第一步 ， 涂区域 1 与 3， 有 A24种方法 ， 第二步 ， 涂区域 2 有 2 种方法 ， 第三步 ， 涂区域 4 只有 1 种方法 ， 第四步 ， 涂区域 5 有 3 种方法 这时共有 A24 2 1 3 72(种 )方法 故由分类计数原理 ， 不同的涂色种数为 24 72 96. 二、 解答题 12. 书架的第一层有 6 本不同的数学书 ， 第二层有 6 本不同的语文书 ， 第 三层有 5 本不同的英语书 (1) 从这些书中任取 1 本 ， 有多少种不同的取法？ (2) 从这些书中任取 1 本数学书 ， 1
9、本语文书 ， 1 本英语书共 3 本书的不同的取法有多少种？ (3) 从这些书中任取 3 本 ， 并且在书架上按次序排好 ， 有多少种不同的排法？ 解： (1) 因为共有 17 本书 ， 从这些书中任取 1 本 ， 共有 17 种取法 (2) 分三步：第一步 ， 从 6 本不同的数学书中取 1 本 ， 有 6 种取法；第二 步 ， 从 6 本不同的语文书中取 1 本 ，有 6 种取法；第三步：从 5 本不同的英语书中取 1 本 ， 有 5 种取法由分步计数原理知 ， 取法总数 N 665 180(种 ) (3) 实际上是从 17 本书中任取 3 本放在三个不同的位置上 ， 完成这个工作分三个步
10、骤 ， 第一步：从 17 本不同的书中取 1 本 ， 放在第一个位置 ， 有 17 种方法； 第二步：从剩余 16 本不同的书中取 1 本 ， 放在第二个位置 ， 有 16 种方法； 第三步：从剩余 15 本不同的书中取 1 本 ， 放在第三个位置 ， 有 15 种方法 由分步计数原理知 ， 排法总数 N 171615 4 080(种 ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 13. 如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形 ， 现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色 ， 规定每个区域只涂一种颜色 ， 相邻区域颜色不相同 ， 则不同的涂色方法有多少种？ 解：如图 ， 设四个直
11、角三角形顺次为 A， B， C， D， 按 ABCD 顺序涂色 ， 下面分两种情况： (1) A， C 不同色 (注意： B， D 可同色、也可不同色 ， D 只要不与 A， C 同色 ， 所以 D 可以从剩余的 2 种颜色中任意取一色 )：有 4322 48(种 )； (2) A， C 同色 (注意： B， D 可同色、也可不同色 ， D 只要不与 A， C 同色 ， 所以 D 可以从剩余的 3 种颜色中任意取一色 )：有 4313 36(种 ) 所以不同的涂色方法共有 84 种 第 2 课时 排列与组合 一、 填空题 1. 若 A3n 6C4n， 则 n _ 答案： 7 解析： n！（ n
12、 3）！ 6 n！（ n 4）！ 4 ！ ， 得 n 3 4， 解得 n 7. 2. 5 人站成一排 ， 甲、乙两人必须站在一起的不同排法有 _种 答案： 48 解析：可先排 甲、乙两人 ，有 A22 2(种 )排法 ， 再把甲、乙两人与其他三人进行全排列 ，有 A44 24(种 )排法 ， 由分步计数原理 ， 得一共有 224 48(种 )排法 3. 用数字 1， 2， 3， 4， 5 组成没有重复数字的五位数 ， 其中奇数的个数为 _ 答案： 72 解析：由题可知 ， 五位数要为奇数 ， 则个位数只能是 1， 3， 5.分为两步：先从 1， 3， 5三个数中选一个作为个位数有 C13种 ，
13、 再将剩下的 4 个数字排列得到 A44， 则满足条件的五位数有 C13 A44 72(个 ) 4. 5 位同学站成一排照相 ， 其中甲与乙必须相邻 ， 且甲不能站在两端的排法总数是_种 答案： 36 解析：分三类：甲站第 2 个位置 ， 则乙站 1， 3 中的一个位置 ， 不同的排法有 C12A33 12(种 )；甲站 第 3 个位置 ， 则乙站 2， 4 中的一个位置 ， 不同的排法有 C12A33 12(种 )；甲站第 4 个位置 ， 则乙站 3， 5 中的一个位置 ， 不同的排法有 C12A33 12(种 )故共有 12 12 12 36(种 ) 5. 某电视台一节目收视率很高 ， 现
14、要连续插播 4 个广告 ， 其中 2 个不同的商业广告和2 个不同的公益宣传广告 ， 要求最后播放的必须是商业广告 ， 且 2 个商业广告不能连续播放 ，则不同的播放方式有 _种 答案： 8 解析：分三步进行分析：第一步 ， 最后一个排商业广告有 A12种；第二步 ， 在前两个位置选一个排第二个商业广告有 A12种；第三步 ， 余下的两个排公益宣传广 告有 A22种根据分步计数原理 ， 可得不同的播放方式共有 A12A12A22 8(种 ) 6. 用数字 0， 1， 2， 3， 4 组成没有重复数字的五 位数，其中奇数的个数为 _ 答案： 36 解析：由题可知 ， 五位数为奇数 ， 则个位数只能是 1， 3；分为两步：先从 1， 3 两个数中选一个作为个位数有 C12种 ， 再将中间 3 个位置中选一个放入 0， 剩下的 3 个数字排列得到=【 ;精品教育资源文库 】 = A33， 则满足条件的五位数有 C12C13A33 36(个 ) 7. 某大学的 8 名同学准备拼车去旅游 ，其中大一、大二、大三、大四每个年级各 2 名 ，分乘甲、乙两辆汽车 ， 每车限坐 4 名同学 (乘同一辆车的 4 名同学不考虑位置 )， 其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车 ， 则乘坐甲车的 4 名同学中恰有 2 名同学是来自同一年
