1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 68 讲 参数方程 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.了解参数方程，了解参数的意义 2能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程 . 2017 全国卷 ， 22 2016 全国卷 ， 23 2016 江苏卷， 21(C) 参数方程部分主要考查参数方程与普通方程的互化，并且多与极坐标方程结合考查 . 分值： 5 10 分 1参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上 _任意一点 _的坐标 x， y 都是某个变数 t的函数：? x f?t?，y g?t?， 并且对于 t 的每一个允许值，由方程组 ? x f?t?，y g?t? 所确定的点 M(x，
2、y)都在这条曲线上，那么方程? x f?t?，y g?t? 就叫做这条曲线的参数方程，变数 t 叫做参变数，简称 _参数 _，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做 _普通方程_ 2直线、圆、椭圆的参数方程 (1)过点 M(x0， y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为? x _x0 tcos _，y _y0 tsin _ (t为参数 ) (2)圆心在点 M(x0， y0)，半径为 r 的圆的参数方程为? x _x0 rcos _，y _y0 rsin _ ( 为参数 ) (3) 椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)的参数方程为 ? x _acos _，y _bsin _ (
3、 为参数 ) 椭圆 x2b2y2a2 1(ab0)的参数方程为 ? x _bcos _，y _asin _ ( 为参数 ) 1思维辨析 (在括号内打 “” 或打 “ ”) (1)参数方程? x t 1，y 2 t (t1) 表示直线 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)参数方程? x cos m，y sin m， 当 m 为参数时表示直线，当 为参数时表示的曲线为圆 ( ) (3)直线? x 2 tcos 30 ，y 1 tsin 150 (t 为参数 )的倾斜角 为 30.( ) (4) 参 数 方 程? x 2cos ，y 5sin ? 为参数，且 ?0， 2 表 示 的 曲
4、线 为 椭圆 ( ) 解析 (1) t1 ， x t 12 ， y 2 t1 ，故参数方程表示的曲线是直线的一部分 (2)当 m 为参数时， x y cos cos 表示直线，当 为参数时， (x m)2 (ym)2 1 表示圆 (3)方程可化为? x 2 tcos 30 ，y 1 tcos 30 ， 表示直线 其倾斜角为 30. (4) ? ?0， 2 ， x0 ， y0 ，方程不表示椭圆 2参数方程? x 2t21 t2，y 4 2t21 t2(t 为参数 )化为普通方程为 _3x y 4 0(x0,2)_ 解析 x 2t21 t2， y 4 2t21 t2 4?1 t2? 6t21 t2
5、 4 32t21 t2 4 3x， 又 x 2t21 t22?1 t2? 21 t2 221 t2 0,2)， x 0,2)， 所求的普通方程为 3x y 4 0(x 0,2) 3在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为 ? x 5cos ，y 5sin ? 为参数， 0 2 和? x 1 22 t，y 22 t(t 为参数 )，则曲线 C1与 C2的交点坐标为_(2,1)_ =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由 C1得 x2 y2 5，且 ? 0 x 5，0 y 5， 由 C2得 x 1 y， 由 联立? x2 y2 5，x 1 y， 解得 ? x 2，y
6、1 或 ? x 1，y 2 (舍 ) 4直线? x 4 at，y bt (t 为参数 )与圆 ? x 2 3cos ，y 3sin ( 为参数 )相切，则切线的倾斜角为 _ 3 或 23 _. 解析 直线的普通方程为 bx ay 4b 0，圆的普通方程为 (x 2)2 y2 3，因为直线与圆相切，则圆心 (2,0)到直线的距离为 3，从而有 3 |2b a0 4b|a2 b2 ，即 3a2 3b2 4b2，所以 b 3a，而直线的倾斜角 的正切值 tan ba，所以 tan 3，因此切线的倾斜角为 3 或 23 . 5在直 角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1：? x t 1，y 1 2t (
7、t 为参数 )与曲线 C2：? x asin ，y 3cos ( 为参数， a0)有一个公共点在 x 轴上，则 a 32 . 解析 将曲线 C1与 C2的方程化为普通方程求解 ? x t 1，y 1 2t， 消去参数 t 得 2x y 3 0， 又? x asin ，y 3cos ， 消去参数 得x2a2y29 1. 根据题意可知 C1与 x 轴交点在 C2上， 则在方程 2x y 3 0 中，令 y 0 得 x 32. 将 ? ?32， 0 代入 x2a2y29 1，得94a2 1，又 a0， a32. 一 参数方程与普通方程的互化 =【 ;精品教育资源文库 】 = 将参数方程化为普通方程的
8、方法 (1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如 sin2 cos2 1 等 (2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要出现增解 【例 1】 将下列参数方程化为普通方程 (1)? x 1t，y 1t t2 1(t 为参数 )； (2)? x 2 sin2 ，y 1 cos 2 ( 为参数 ) 解析 (1)? ?1t 2 ? ?1t t2 1 2 1， x2 y2 1. t2 10 ， t1 或 t 1.又 x 1t， x0. 当
9、t1 时， 0 x1 ， 当 t 1 时， 1 x 0， 所求普通方程为 x2 y2 1， 其中? 0 x1 ，0 y 1 或 ? 1 x 0， 1 y0. (2) y 1 cos 2 1 1 2sin 2 2sin 2 ， sin 2 x 2， y 2x 4， 2x y 4 0. 0sin 2 1 ， 2 x3 ， 所求的普通方程为 2x y 4 0(2 x3) 二 直线 与圆的参数方程及应用 直线与圆的参数方程中的参数是可以具有几何意义的，如果能正确应用它，可以使问题的解决事半功倍，也可以把直线和圆的方程都普通化，再行解决 【例 2】 已知曲线 C1：? x cos ，y sin ( 为参
10、数 )及曲线 C2： ? x 22 t 2，y 22 t(t 为参数 ) (1)指出 C1， C2各是什么曲线，并说明 C1与 C2公共点的个数； (2)若把 C1， C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线 C 1， C 2，写出 C 1，C 2的参数方程 C 1与 C 2公共点的个数和 C1与 C2公共点的个数是否相同？说明你的理=【 ;精品教育资源文库 】 = 由 解析 (1)C1是圆， C2是直线， C1的普通方程为 x2 y2 1， 圆心 C1(0,0)，半径 r 1.C2的普通方程为 x y 2 0. 因为圆心到直线 x y 2 0 的距离为 1， 所以 C1与 C2只有
11、一个公共点 (2)压缩后的参数方程分别为 C 1：? x cos ，y 12sin ( 为参数 )， C 2： ? x 22 t 2，y 24 t(t 为参数 ) 化为普通方程为 C 1： x2 4y2 1， C 2： y 12x 22 ， 联立消元得 2x2 2 2x 1 0，其 (2 2)2 421 0， 故压缩后 C 1与 C 2仍然只有一个公共点，和 C1与 C2公共点个数相同 三 参数方程与极坐标方程的综合问题 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程 【例 3】 在直角坐标系中，以原点为极点，
12、 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线 C ： sin2 2acos (a0)，过点 P( 2 ， 4) 的 直 线 l 的 参 数 方 程 为? x 2 22 t，y 4 22 t(t 为参数 )， l 与 C 分别交于点 M， N. (1)写出 C 的直角坐标方程和 l 的普通方程； (2)若 | |PM ， | |MN ， | |PN 成等比数列，求 a 的值 解析 (1)曲线 C 的直角坐标方程为 y2 2ax(a 0)； 直线 l 的普通方程为 x y 2 0. (2)将直线 l 的参数方程与 C 的直角坐标方程联立并整理， 得 t2 2(4 a) 2t 8(4 a) 0， (*
13、) 8a(4 a) 0，设点 M， N 分别对应参数 t1， t2，则 t1， t2恰为上述方程的两根，则|PM| |t1|， |PN| |t2|， |MN| |t1 t2|. 由题设得 (t1 t2)2 |t1t2|，即 (t1 t2)2 4t1t2 |t1t2|. 由 (*)得 t1 t2 2(4 a) 2， t1t2 8(4 a) 0， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则有 (4 a)2 5(4 a) 0，得 a 1 或 a 4.因为 a 0， 所以 a 1. 1将下列参数方程 化为普通方程 (1)? x 3k1 k2，y 6k21 k2(k 为参数 )； (2)? x 1 sin 2
14、 ，y sin cos ( 为参数 ) 解析 (1)两式相除，得 k y2x，将其代入 x 3k1 k2得 x3 y2x1 ? ?y2x 2， 化简得所求的普通方程是 4x2 y2 6y 0(y6) (2)由 (sin cos )2 1 sin 2 2 (1 sin 2 ) 得 y2 2 x.又 x 1 sin 2 0,2， 得所求的普通方程 y2 2 x， x 0,2 2设直线 l 的参数方程为? x 3 tcos ，y 4 tsin (t 为参数， 为倾斜角 )，圆 C 的参数方程为? x 1 2cos ，y 1 2sin ( 为参数 ) (1)若直线 l 经过圆 C 的圆心，求直线 l 的斜率； (2)若直线 l 与圆 C 交于两个不同的点，求直线 l 的斜率的取值范围 解析 (1)由已知得直线 l 经过的定点是 P(3,4)，而圆 C 的圆心是 C(1， 1)，所以，当直线 l 经过圆 C 的圆心时，直线 l 的斜率为 k 52. (2)由圆 C 的参数方程? x 1 2cos ，y 1 2sin 得圆 C 的圆心是 C(1， 1)，半径
