1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 题组训练 92 不等式的证明与柯西不等式 1设 a， b， c 是互不相等的正数 ， 则下列不等式中不恒成立的是 ( ) A (a 3)2b 时 ， 恒成立 ， 当 a0， y0， a R， b R.求证： (ax byx y )2 a2x b2yx y . 答案 略 证明 因为 x0， y0， 所以 x y0. 所以要证 (ax byx y )2 a2x b2yx y ， 即证 (ax by)2 (x y)(a2x b2y)， 即证 xy(a2 2ab b2)0 ， 即证 (a b)2 0， 而 (a b)2 0 显然成立故 (ax byx y )2 a2x
2、 b2yx y . 7 (2014 江苏 )已知 x0， y0， 证明： (1 x y2)(1 x2 y)9xy. 答案 略 证明 因为 x0， y0， 所以 1 x y2 33 xy20， 1 x2 y3 3 x2y0.故 (1 x y2)(1 x2 y)3 3 xy2 33 x2y 9xy. 8 (2018 福建质量检查 )若 a， b， c R ， 且满足 a b c 2. (1)求 abc 的最大值； (2)证明： 1a 1b 1c 92. 答案 (1)827 (2)略 解析 (1)因为 a， b， c R ， 所以 2 a b c3 3 abc， 故 abc 827. 当且仅当 a
3、b c 23时等号成立 所以 abc 的最大值为 827. (2)证明：因为 a， b， c R ， 且 a b c 2， 所以根据柯西不等式 ， 可得 1a 1b 1c 12(a b=【 ;精品教育资源文库 】 = c)( 1a 1b 1c) 12( a)2 ( b)2 ( c)2 ( 1a)2 ( 1b)2 ( 1c)2 12( a1a b1b c1c)2 92. 所以 1a 1b 1c 92. 9 (2016 课标全国 ， 理 )已知函数 f(x) |x 12| |x 12|， M 为不等式 f(x) 1； 当 120， b0， 且 a b 1a 1b.证明： (1)a b2 ； (2)
4、a2 a0， b0， 得 ab 1. (1)由基本不等式及 ab 1， 有 a b2 ab 2， 即 a b2. (2)假设 a2 a0 得 0 23， 所以 23 2， 所以 00， n0， 且 m n 1， 求证： 2m 1 2n 1 2 f（ x） . 答案 (1) 1， 3 (2)略 解析 (1)方法一：依题意 ， f(x)?4x， x12，2， 12x 12， 4x， x 12 f(x)min 2. 不等式 f(x) a2 2a 1 恒成立 ， a2 2a 30 ， 解得 1a3 ， 实数 a 的取值范围是 1， 3 方法二 ： f(x) |2x 1| |2x 1|(2x 1) (2
5、x 1)| 2， f(x)min 2. 不等式 f(x) a2 2a 1 恒成立 ， a2 2a 30 ， 解得 1a3 ， 实数 a 的取值范围是 1， 3 (2)由 (1)知 f(x) 2， 2 f（ x） 2 2. ( 2m 1 2n 1)2 2(m n) 2 2 （ 2m 1）（ 2n 1） 4 (2m 1) (2n 1)8， 当且仅当 m n 12时 等号成立 =【 ;精品教育资源文库 】 = 2m 1 2n 1 2 2， 2m 1 2n 1 2 f（ x） . 1 (2017 武汉 4 月调研 )(1)求不等式 |x 5| |2x 3|1 的解集； (2)若正实数 a， b 满足
6、a b 12， 求证： a b 1. 答案 (1)x| 7x 13 (2)略 解析 (1)当 x 32时 ， x 5 2x 31 ， 解得 x 7， 7x 32； 当 32x5 时 ， x 5 2x 31 ， 解得 x 13， 32x 13； 当 x5 时 ， x 5 (2x 3)1 ， 解得 x 9， 舍去 综上 ， 7x 13. 故原不等式的解集为 x| 7x 13 (2)要证 a b 1， 只需证 a b 2 ab 1， 即证 2 ab 12， 即证 ab 14. 而 a b 12 2 ab， ab 14成立 ， 原不等式成立 2 已知函数 f(x) m |x 2|， m R， 且 f(
7、x 2)0 的解集为 1， 1 (1)求 m 的值； (2)若 a， b， c R ， 且 1a 12b 13c m， 求证： a 2b 3c9. 答案 (1)1 (2)略 解析 (1)因为 f(x 2) m |x|， f(x 2)0 等价于 |x|m ， 由 |x|m 有解 ， 得 m0 ， 且其解集为 x| mxm 又 f(x 2)0 的解集为 1， 1， 故 m 1. (2)证明：由 (1)知 1a 12b 13c 1， 又 a， b， c R ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 由柯西不等式 ， 得 a 2b 3c (a 2b 3c)(1a 12b 13c) ( a 1a 2b 12b 3c 13c)2 9.
