1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 题组训练 69 直线与圆锥曲线的位置关系 1 若过原点的直线 l 与双曲线 x24y23 1 有两个不同交点 ， 则直线 l 的斜率的取值范围是( ) A.? ? 32 ， 32 B ( 32 ， 32 ) C.? ? 32 ， 32 D.? ? ， 32 ? ?32 ， 答案 B 解析 x24y23 1， 其两条渐近线的斜率分别为 k132 ， k232 ， 要使过原点的直线 l与双曲线有两个不同的交点 ， 画图可知 ， 直线 l 的斜率的取值范围应是 ? ?0， 32 ? 32 ， 0 . 2 已知椭圆 x2 2y2 4， 则以 (1， 1)为中点的弦的长
2、度为 ( ) A 3 2 B 2 3 C. 303 D.32 6 答案 C 解析 设 y 1 k(x 1)， y kx 1 k. 代入椭圆方程，得 x2 2(kx 1 k)2 4. (2k2 1)x2 4k(1 k)x 2(1 k)2 4 0. 由 x1 x2 4k（ k 1）2k2 1 2， 得 k 12， x1x2 13. (x1 x2)2 (x1 x2)2 4x1x2 4 43 83. |AB| 1 14 2 63 303 . 3 (2018 辽宁师大附中期中 )过点 M( 2， 0)的直线 n 与椭圆 x22 y2 1 交于 P1， P2两点 ，线段 P1P2的中点为 P， 设直线 m
3、的斜率为 k1(k1 0)， 直线 OP 的斜率为 k2， 则 k1k2的值为 ( ) A 2 B 2 C.12 D 12 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 D 解析 设 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)， P(x， y)， 则?x122 y12 1，x222 y22 1.两式相减 ， 得 （ x1 x2）（ x1 x2）2 (y1 y2)(y1 y2) 0. 即 2x （ x1 x2）2 2y(y1 y2) 0. k1 x2y， 又 k 2 yx. k1 k2 12. 4 (2017 山东师大附中模拟 )已知两定点 A(0， 2)， B(0， 2)， 点 P 在椭圆 x21
4、2y216 1 上 ，且满足 |AP | |BP | 2， 则 AP BP 为 ( ) A 12 B 12 C 9 D 9 答案 D 解析 易知 A(0， 2)， B(0， 2)为椭圆 x212y216 1 的两焦点 ， |AP | |BP | 24 8， 又|AP | |BP | 2， |AP | 5， |BP | 3. |AB | 4， ABP 为直角三角形 ， AP BP |BP |2 9. 5 (2018 福建厦门中学期中 )设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点 ， 且与 C 的一条对称轴垂直 ，l 与 C 交于 A， B 两点 ， |AB|为 C 的实轴长的 2 倍 ， 则 C 的离
5、心率为 ( ) A. 2 B. 3 C 2 D 3 答案 B 解析 不妨设双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)， 焦点 F(c， 0)， 对称轴为直线 y 0. 由题意知 c2a2y2b2 1， y b2a， 2b2a 4a， b2 2a2， c2 a2 2a2， c2 3a2， e ca 3.故选 B. 6 (2018 德州一中期末 )已知抛物线 C： y2 4x 的焦点为 F， 准线为 l.若射线 y 2(x1)(x1) 与 C， l 分别交于 P， Q 两点 ， 则 |PQ|PF| ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A. 2 B 2 C. 5 D 5 答案 C 解析
6、 抛物线 C： y2 4x 的焦点为 F(1， 0)， 设准线 l： x 1 与 x 轴的交 点为 F1， 过点 P作直线 l 的垂线 ， 垂足为 P1， 由?x 1，y 2（ x 1） ， x 1， 得点 Q 的坐标为 ( 1， 4)， 所以|FQ| 2 5.根据抛物线的定义可得 ， |PF| |PP1|， 所以 |PQ|PF| |PQ|PP1| |QF|FF1| 2 52 5，故选 C. 7 已知顶点在原点 ， 焦点在 x 轴上的抛物线与直线 y 2x 1 交于 P、 Q 两点 ， 若 |PQ| 15，则抛物线的方程为 ( ) A y2 4x B y2 12x C y2 4x 或 y2 1
7、2x D以上都不对 答案 C 解析 由题意设抛物线的方程为 y2 2px， 联立方程得?y2 2px，y 2x 1， 消去 y， 得 4x2 (2p 4)x 1 0， 设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)， 则 x1 x2 p 22 ， x1x2 14. |PQ| 1 22|x1 x2| 5 （ x1 x2） 2 4x1x2 5 （ p 22 ） 2 4 14 15， 所以p24 p 3， p2 4p 12 0， p 2 或 6， 所以 y2 4x 或 y2 12x. 8 (2018 衡水中学调研 )过抛物线 x2 4y 的焦点作两条互相垂直的弦 AB、 CD， 则 1|AB| 1|C
8、D| ( ) A 2 B 4 C.12 D.14 答案 D 解析 根据题意 ， 抛物线的焦点为 (0， 1)， 设直线 AB 的方程为 y kx 1(k0) ， 直线 CD的方程为 y 1kx 1， 由?y kx 1，x2 4y， 得 y2 (2 4k2)y 1 0， 由根与系数的关系得 yA yB 2 4k2， 所以 |AB| yA yB 2 4 4k2，同理 |CD| yC yD 2 4 4k2， 所以 1|AB| 1|CD|14k2 4k24k2 414， 故选 D. =【 ;精品教育资源文库 】 = 9 (2018 福州外国语学校适应性考试 )已知双曲线 C： x2a2y2b2 1(a
9、0， b0)的焦距 为 2 5，抛物线 y 14x2 14与双曲线 C 的渐近线相切 ， 则双曲线 C 的方程为 ( ) A.x28y22 1 B.x22y28 1 C x2 y24 1 D.x24 y2 1 答案 D 解析 由题意可得 c 5， 即 a2 b2 5， 双曲线的渐近线方程为 y bax.将渐近线方程和抛物线方程 y 14x2 14联立 ， 可得 14x2 bax 14 0， 由渐近线和抛物线相切可得 b2a2 414 14 0， 即有 a2 4b2， 又 a2 b2 5， 解得 a 2， b 1， 可得双曲线的方程为 x24 y2 1.故选 D. 10 (2018 天津红桥区期
10、末 )已知双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的两条渐近线与抛物线 y22px(p0)的准线分别交于 A， B 两点 ， O 为坐标原点若双曲线的离心率为 2， AOB 的面积为 3， 则 p ( ) A 1 B.32 C 2 D 3 答案 C 解析 因为双曲线方程为 x2a2y2b2 1， 所以双曲线的渐近线方程是 y bax.又抛物线 y22px(p0)的准线方程是 x p2， 故 A， B 两点的纵坐标分别是 y pb2a.因为双曲线的离心率为 2， 所以 ca 2， 所以 b2a2 3， 则ba 3， A， B 两点的纵坐标分别是 y pb2a 3p2 .又 AOB的面积为 3
11、， x 轴是 AOB 的平分线 ， 所以 12 3p p2 3， 解得 p 2.故选 C. 11 设 F 为抛物线 C： y2 2px(p0)的焦点 ， 过 F 且倾斜角为 60 的直 线交抛物线 C 于 A， B两点 (B 在第一象限 ， A 在第四象限 )， O 为坐标原点 ， 过 A 作 C 的准线的垂线 ， 垂足为 M， 则|OB|与 |OM|的比值为 ( ) A. 3 B 2 C 3 D 4 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 C 解析 抛物线 C： y2 2px(p0)的焦点 F(p2， 0)， 准线 x p2， 直线 AB： y 3(x p2)， 与抛物线方程联立 ， 消去
12、x 得 ， 3y2 2py 3p2 0.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 y1 33 p，y2 3p， 故 M( p2， 33 p)， 则 |OM| p24p23216 p， 将 y2 3p 代入直线 AB 的方程得 x2 32p， 故 B(32p， 3p)， 则 |OB| 9p24 3p2 212 p， 所以 |OB| 3|OM|.故选 C. 12 (2018 河南郑州二测 )过点 P( 1， 0)作直线与抛物线 y2 8x 相交于 A， B 两点 ，且 2|PA| |AB|， 则点 B 到该抛物线焦点的距离为 _ 答案 5 解析 设 A(xA， yA)， B(xB， yB
13、)， 由相似三角形知识可知 yAyB 13. 设直线的斜率为 k， 则其方程为 y 0 k(x 1)， 即 y kx k， 由?y kx k，y2 8x， 可得 ky2 8y 8k 0， 则 yA yB 8. 由 可得 yB2 24 8xB， 所以 xB 3， 由抛物线的定义可知点 B 到焦点的距离为 3 42 5. 13 (2018 湖北部分重点高中联考 )已知双曲线 C2与椭圆 C1： x24y23 1 具有相同的焦点 ，则两条曲线相交的四个交点形成的四边形面积最大时双曲线 C2的 离心率为 _ 答案 2 解析 设双曲线的方程为 x2a2y2b2 1(a0， b0)， 由题意知 a2 b2
14、 4 3 1， 由?x24 y23 1，x2a2y2b2 1，解得交点的坐标满足?x2 4a2，y2 3（ 1 a） 2， 由椭圆和双曲线关于坐标轴对称知 ， 以它们的交点为顶点的四边形是长方形 ， 其面积 S 4|xy| 4 4a2 3（ 1 a2） 8 3 a2 1 a28 3 a2 1 a22 4 3，当且仅当 a2 1 a2， 即 a2 12时 ， 取等号 ， 此时双曲线的方程为x212y212 1， 离心率 e 2. 14 (2018 淮南一模 )过椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)上的动点 P 作圆 x2 y2 b2的两条切线 PA，=【 ;精品教育资源文库 】 = PB， 切点
15、分 别为 A， B， 直线 AB 与 x 轴 ， y 轴分别交于 M， N， 则 MON(O 为 坐标原点 )面积的最小值为 _ 答案 b3a 解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则直线 PA： x1x y1y b2， 直线 PB： x2x y2y b2.因为 P(x0，y0)在直线 PA， PB 上 ， 所以?x1x0 y1y0 b2，x2x0 y2y0 b2， 可得直线 AB 的方程为 x0x y0y b2， 得 M(b2x0， 0)，N(0， b2y0)， 则 MON 的面积 S MONb42|x0y0|b3a12|x0a y0b| b3a1（ x0a） 2（ y0b）
16、 2 b3a， 当且仅当 |x0a| |y0b|时等号成立 15 (2018 湖南永州一模 )已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的焦 距为 2，离心率为 22 ， y 轴上一 点 Q 的坐标为 (0， 3) (1)求该椭圆的方程； (2)若对于直线 l： y x m， 椭圆 C 上总存在不同的两点 A 与 B 关于直线 l 对称 ， 且 3QA QB0， 解得 30)的直线交 E 于 A， M 两点 ， 点 N 在 E 上 ， MA NA. (1)当 t 4， |AM| |AN|时 ，求 AMN 的面积； (2)当 2|AM| |AN|时 ， 求 k 的取值范围 答案 (1)14449 (2)(3 2， 2) 解析 (1)设 M(x1， y
