1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 题组训练 61 圆的方程 1 已知一圆的圆心为 点 (2， 3)， 一条直径的两个端点分别在 x 轴和 y 轴上 ， 则此圆的方程是 ( ) A (x 2)2 (y 3)2 13 B (x 2)2 (y 3)2 13 C (x 2)2 (y 3)2 52 D (x 2)2 (y 3)2 52 答案 A 解析 设该直径的两个端点分别为 P(a， 0)， Q(0， b)， 则 A(2， 3)是线段 PQ 的中点 ， 所以 P(4， 0)， Q(0， 6)， 圆的半径 r |PA| （ 4 2） 2 32 13. 故圆的方程 为 (x 2)2 (y 3)2 13.
2、2 过点 A(1， 1)， B( 1， 1)， 且圆心在直线 x y 2 0 上的圆的方程是 ( ) A (x 3)2 (y 1)2 4 B (x 3)2 (y 1)2 4 C (x 1)2 (y 1)2 4 D (x 1)2 (y 1)2 4 答案 C 解析 设圆心 C 的坐标为 (a， b)， 半径为 r. 圆心 C 在直线 x y 2 0 上 ， b 2 a. |CA|2 |CB|2， (a 1)2 (2 a 1)2 (a 1)2 (2 a 1)2. a 1， b 1.r 2. 方 程为 (x 1)2 (y 1)2 4. 3 (2018 贵州贵阳一模 )圆 C 与 x 轴相切 于 T(1
3、， 0)， 与 y 轴正半轴交于 A， B 两点 ， 且 |AB| 2， 则圆 C 的标准方程为 ( ) A (x 1)2 (y 2)2 2 B (x 1)2 (y 2)2 2 C (x 1)2 (y 2)2 4 D (x 1)2 (y 2)2 4 答案 A 解析 由题意得 ， 圆 C 的半径为 1 1 2， 圆心坐标为 (1， 2)， 圆 C 的标准方程为 (x 1)2 (y 2)2 2， 故选 A. 4 (2018 沧州七校联考 )半径为 2 的圆 C 的圆心在第四象限 ， 且与直线 x 0 和 x y 2 2均相切 ， 则该圆的标准方程为 ( ) A (x 1)2 (y 2)2 4 B
4、(x 2)2 (y 2)2 2 C (x 2)2 (y 2)2 4 D (x 2 2)2 (y 2 2)2 4 答案 C =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 依题意 ， 设圆 C 的圆心坐标为 (2， b)， (b0， 故选 A. 7 过坐标原点 O 作单位圆 x2 y2 1 的两条互相垂直的半径 OA、 OB， 若在该圆上存在一点 C，使得 OC aOA bOB (a， b R)， 则以下说法正确的是 ( ) A 点 P(a， b)一定在单位圆内 B 点 P(a， b)一定在单位圆上 C 点 P(a， b)一定在单位圆外 D 当且仅当 ab 0 时 ， 点 P(a， b)在单位圆上 答案
5、 B 解析 由题意得 |OC| a2 b2 1， 所以点 P(a， b)在单位圆上 ， 故选 B. 8 已知圆 C 关于 x 轴对称 ， 经过点 (0， 1)， 且被 y 轴分成两段弧 ， 弧长之比为 21 ， 则圆的方程为 ( ) A x2 (y 33 )2 43 B x2 (y 33 )2 13 C (x 33 )2 y2 43 D (x 33 )2 y2 13 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 C 解析 方法一： (排除法 )由圆心在 x 轴上 ， 则排除 A， B， 再由圆过 (0，1)点 ， 故圆的半径大于 1， 排除 D， 选 C. 方法二： (待定系数法 )设圆的方程为 (
6、x a)2 y2 r2， 圆 C 与 y 轴交于A(0， 1)， B(0， 1)， 由弧长之比为 21 ， 易知 OCA 12 ACB 12 120 60， 则 tan60 |OA|OC| 1|OC|， 所以 a |OC| 33 ， 即圆心坐标为 ( 33 ， 0)， r2 |AC|2 12 ( 33 )2 43.所以圆的方程为 (x 33 )2 y2 43， 选 C. 9 (2018 山东青岛一模 )若过点 P(1， 3)作圆 O： x2 y2 1 的两条切线 ， 切点分别为 A和 B， 则弦长 |AB| ( ) A. 3 B 2 C. 2 D 4 答案 A 解析 如图所示 ， PA， PB
7、 分别 为圆 O： x2 y2 1 的切线 ， OA AP. P(1， 3)， O(0， 0)， |OP| 1 3 2. 又 |OA| 1， 在 Rt APO 中 ， cos AOP 12. AOP 60， |AB| 2|AO|sin AOP 3. 10 已知点 P 在圆 x2 y2 5 上 ， 点 Q(0， 1)， 则线段 PQ 的中点的轨迹方程是 ( ) A x2 y2 x 0 B x2 y2 y 1 0 C x2 y2 y 2 0 D x2 y2 x y 0 答案 B 解析 设 P(x0， y0)， PQ 中点的坐标为 (x， y)， 则 x0 2x， y0 2y 1， 代入圆的方程即得
8、所求的方程是 4x2 (2y 1)2 5， 化简 ， 得 x2 y2 y 1 0. 11 在圆 x2 y2 2x 6y 0 内 ， 过点 E(0， 1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD， 则四边形ABCD 的面积为 ( ) A 5 2 B 10 2 C 15 2 D 20 2 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 B 解析 圆的标准方程为 (x 1)2 (y 3)2 10， 则圆心 (1， 3)， 半径 r 10， 由题意知ACBD ， 且 |AC| 2 10， |BD| 2 10 5 2 5， 所以四边形 ABCD 的面积为 S 12|AC| |BD| 12 2 10 2 5 10
9、2. 12 已知两点 A(0， 3)， B(4， 0)， 若点 P 是圆 x2 y2 2y 0 上的动点 ， 则 ABP 面积的最小值为 ( ) A 6 B.112 C 8 D.212 答案 B 解析 如图 ， 过圆心 C 向直线 AB 作垂线交圆于点 P， 连接 BP，AP， 这时 ABP 的面积最小直线 AB 的方程为 x4 y 3 1， 即 3x 4y 12 0， 圆心 C 到直线 AB 的距离为 d|30 41 12|32（ 4） 2 165 ， ABP 的面积的最小值为 12 5 (165 1) 112. 13 若方程 x2 y2 2x 2my 2m2 6m 9 0 表示圆 ， 则
10、m 的取值范围是 _；当半径最大时 ， 圆的方程为 _ 答案 20， 20， 8a 3 5， a 1， 故圆的方程为 (x 1)2 y2 1. (2)设 AC 的斜率为 k1， BC 的斜率为 k2， 则直线 AC 的方程为 y k1x t， 直线 BC 的方程为 y k2x t 6.由方程组?y k1x t，y k2x t 6， 得 C 点的横坐标为 xC6k1 k2. |AB| t 6 t 6， S 12| 6k1 k2| 6 18k1 k2. 圆 M 与 AC 相切 ， 1 |k1 t|1 k12， k11 t22t . 同理 ， k2 1（ t 6）22（ t 6） ， k1 k23（ t2 6t 1）t2 6t ， S 6（ t2 6t）t2 6t 1 6(11t2 6t 1) 5t 2， 2t 31 ， 8t 2 6t 1 4， Smax 6(1 14) 152 ， Smin 6(1 18) 274.
