1、高二数学专题复习学案系列圆锥曲线与方程一、 知识点总结：1、 三种圆锥曲线的定义：椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线都是动点运动形成的轨迹。动点在运动变化过程中，保持某种“距离”不变。椭圆：平面内与两个定点，的距离_等于常数（_于）的点的轨迹叫做椭圆。即：（，为常数），则P点的轨迹为以_为焦点的椭圆。注意：若时，点P的轨迹为_。若时，点P的轨迹_。双曲线：在平面内到两个定点，距离_等于常数（_于）的点的轨迹叫做双曲线。即：（，为常数），则点的轨迹为以_为焦点的双曲线注意：若时，点P的轨迹为_。若时，点P的轨迹_。若时，点P的轨迹是_抛物线：平面内到定点F与到定直线距离_的点的轨迹。（其中）注意：
2、若，则P点的轨迹为_。2、三种圆锥曲线的标准方程：椭圆：，焦点在轴上；，焦点在轴上 （谁的_，焦点就在谁的轴上。） 双曲线：，焦点在轴上；,焦点在轴上 (谁的_，焦点就在谁的轴上。)抛物线：（其中），焦点在轴上； （其中），焦点在轴上。 （谁是_，焦点就在谁的轴上。）椭圆方程的一般形式： （当时，焦点在_；当时，焦点在_。）双曲线方程的一般形式： （当时，焦点在_；当时，焦点在_。）3.三种圆锥曲线的几何性质 椭圆焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围顶点轴长 长轴的长= ， 短轴的长= 焦点焦距对称性 通径离心率 双曲线焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围顶点轴长 实轴的长
3、= ，虚轴的长= 焦点焦距对称性通径离心率渐近线方程抛物线标准方程图形顶点对称轴焦点准线方程通径离心率范围4、参数的几何意义：椭圆: ，其中 _最大。焦点总在长轴上.双曲线： 。其中_最大。焦点总在实轴上。 当a=b时，为_双曲线。其离心率是_，渐近线为_，相互_。抛物线：焦准距是_的距离，故恒为正数。焦点的非零坐标为_。5、离心率椭圆:。离心率可以描述椭圆的形状。当趋近于1时，椭圆越_；当趋近于时，椭圆越_.双曲线：。离心率可以描述开口的大小。e越大，开口就越_。抛物线：。抛物线的开口大小可以由_来描述。通径越长，开口越_。6.双曲线的渐近线把标准方程中的“1”用_替换即可得出渐近线方程以为
4、渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为_。7.抛物线的焦点弦性质：如：若抛物线的焦点弦为AB，则； (此结论大题不可直接使用，需要推导。)8.点与椭圆的位置关系：点和椭圆（）的关系：（1）点在椭圆_；（2）点在椭圆_ ；（3）点在椭圆_9.直线与圆锥曲线的位置关系：（1）椭圆：方程联立消元。直线与椭圆_；直线与椭圆_；直线与椭圆_。（2）双曲线：方程联立消元。二次项系数为0时，求出的直线斜率与渐近线斜率相同。此时直线与双曲线相交且只有一个交点。当二次项系数不为0时，直线与双曲线_；直线与双曲线_；直线与双曲线_。（是直线与双曲线相交的_条件）（3）抛物线：以为例。方程联立消元。二次项系数为
5、0时，求出的直线斜率为0。此时直线与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线相交且只有一个交点。当二次项系数不为0时，直线与抛物线_；直线与抛物线_；直线与抛物线_。（是直线与抛物线相交的_条件。）直线与圆锥曲线相交于两点，则必有二次项系数不为0且。故在求解有关弦长、中点弦问题时，勿忘检验！如（1）若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_； （2）直线ykx1=0与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是_； （3）过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，若4，则满足条件的直线有_条. (4)过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有_.（5）过点(0,2)与
6、双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_.10、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则_，若分别为A、B的纵坐标，则_.特别地，抛物线的焦点弦，一般看成两个焦半径之和，再用定义转化为到准线的距离。11.焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）求面积问题：常用余弦定理结合椭圆或双曲线的定义凑完全平方式求解。圆锥曲线专题复习学案题型一定义的应用例1、 一动圆与已知圆外切，与圆内切，试求动圆圆心P的轨迹方程。变式训练：的三边成等差数列，且满足，A、C两点的坐标分别是，求顶点B的轨迹方程。例 2、抛物线上有一点M，它的纵坐标是3，它与焦点F的距
7、离是5，求抛物线方程和M点的坐标。题型二焦点三角形问题例1、 已知点P是椭圆上的一点，和是焦点，且，求的面积。变式训练1、已知双曲线，是其左右焦点，点P在双曲线上，且，求。变式训练2、若椭圆与双曲线有相同焦，P是两曲线的一个交点，则的面积是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4例2、 已知椭圆的两个焦点，当满足什么关系时，椭圆上存在点P，使？这样的直角三角形有几个？变式训练1. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点P，使为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围为_变式训练2. 已知、是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使，则椭圆的离心率的取值范围是_题型三求标准方程例1、求适合下列条件的椭圆
8、的标准方程：（） 经过点P，Q两点；（） 长轴是短轴的3倍且经过点A；（） 短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为；（） 与椭圆有相同离心率且经过点。例3、 已知椭圆的离心率为，直线与坐标轴相交于A、B两点，点M在椭圆上，求椭圆的方程。变式训练有一幅椭圆型彗星轨道图，长，高，如下图，已知为椭圆中心，是长轴两端点，太阳位于椭圆的左焦点F处。（1）建立适当的坐标系，写出椭圆的方程，并求当彗星运行到太阳正上方时二者在图上的距离；（2）直线垂直于的延长线于D点，。设P是上异于D点的任意一点，直线分别交椭圆于M、N（不同于）两点，问点能否在以MN为直径的圆上？试说明理由。题型四几
9、何性质（重点：离心率问题）例1、已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，。（1）求椭圆的离心率的取值范围；（2）求证的面积只与椭圆的短轴长有关。例4、 设双曲线的半焦距为，直线过两点，且原点到直线的距离为，求双曲线的离心率。题型五中点弦及对称问题例1、 过点的直线与中心在原点，焦点在轴上且离心率为的椭圆C交于A、B两点，直线过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线对称，试求直线与椭圆C的方程。变式训练已知椭圆C：，试确定的取值范围，使对于直线：，椭圆C上有不同的两点关于这条直线对称。例2、 已知抛物线，过点P引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程。题型六最值问题例1、已
10、知抛物线，（） 设点A的坐标为，求曲线上与A点距离最近的P点的坐标及相应的的值；（） 设A点坐标为，求曲线上的点到点A的距离的最小值，并写出的函数关系式。例2 、 定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线上移动，求AB中点到轴距离的最小值，并求出此时AB中点M的坐标。变式训练1 、 已知抛物线的焦点F，定点P，在抛物线上找一点M，使最小，则点M的坐标为（） 2 、直线，当变化时，此直线被椭圆截得的最大弦长是（ ） 不能确定3、 已知平面内有一固定线段AB，其长度为4，动点P满足，O为AB的中点，则|PO|的最小值为（ ） A1 B. C. 2 D. 44、 如果点A的坐标为（1，1），F是椭圆的
11、左焦点，P是该椭圆上的动点，则|PA|+|PF|的最大值是（ ） A B. C. D. 例3、已知椭圆与射线交于点A，过点A作倾斜角互补的两条直线，它们与椭圆的另一交点为点B和点C.（） 求证：直线BC的斜率为定值，并求这个定值；（） 求面积的最大值。 题型七 轨迹方程的求法重点方法：直接法、定义法、代入法。例1、 Rt中，AB为斜边，且AB=8，试求顶点C的轨迹方程。变式训练1 已知分别是的左、右焦点，P为双曲线上一点，过作的平分线的垂线，垂足为H，则H的轨迹为（ ） A.椭圆 B.双曲线 C.圆 D.抛物线变式训练2 直角坐标平面中，若定点A（1，2）与动点满足，则点P的轨迹方程是 。例2. 设直线与双曲线交于A、B两点，且以AB为直径的圆过原点，求点的轨迹方程。例3. 自双曲线上一动点Q引直线的垂线，垂足为M，求线段QM中点的轨迹方程。7
