1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 8.6 空间向量及其运算 最新考纲 考情考向分析 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线和垂直 . 本节是空间向量的基础内容，涉及空间直角坐标系、空间向量的有关概念、定理、公式及四种运算等内容一般不单独命题，常以简单几何体为载体；以解答题的形式出现，考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力 . 1空间向量的有关概念 名称 概念 表示 零向量 模为 0 的向量 0 单位向
2、量 长度 (模 )为 1 的向量 相等向量 方向 相同 且模 相等 的向量 a b 相反向量 方向 相反 且模 相等 的向量 a 的相反向量为 a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相 平行或重合 的向量 a b 共面向量 平行于同一个 平面 的向量 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量 a 与 b(b 0)共线的充要条件是存在实数 ，使得 a b. (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式： p xa yb，其中 x， y R， a， b 为不共线向量 (3)空间向量基本定理 如果三个向量 a， b， c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组 x
3、， y， z，使得 p=【 ;精品教育资源文库 】 = xa yb zc， a， b， c叫作空间的一个基底 3空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 两向量的夹角 已知两个非零向量 a， b，在空间任取一点 O，作 OA a， OB b，则 AOB 叫作向量 a， b 的夹角，记作 a， b，其范围是 0 a， b ，若 a， b 2 ，则称 a 与 b 互相垂直 ，记作 a b. 两向量的数量积 已知空间两个非零向量 a， b，则 |a|b|cos a， b叫作向量 a， b 的数量积，记作 a b，即 a b |a|b|cos a， b (2)空间向量数量积的运算律 ( a)
4、b (a b)； 交换律： a b b a； 分配律： a( b c) a b a c. 4空间向量的坐标表示及其应用 设 a (a1， a2， a3)， b (b1， b2， b3). 向量表示 坐标表示 数量积 ab a1b1 a2b2 a3b3 共线 a b(b0 ， R) a1 b 1， a2 b 2， a3 b 3 垂直 a b 0(a 0， b 0) a1b1 a2b2 a3b3 0 模 |a| a21 a22 a23 夹角 a， b (a 0， b 0) cos a， ba1b1 a2b2 a3b3a21 a22 a23 b21 b22 b23 知识拓展 1向量三点共线定理 在平
5、面中 A， B， C 三点共线的充要条件是： OA xOB yOC (其中 x y 1)， O 为平面内任意一点 2向量四点共面定理 在空间中 P， A， B， C 四点共面的充要条件是： OP xOA yOB zOC (其中 x y z 1)， O 为空间中任意一点 =【 ;精品教育资源文库 】 = 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)空间中任意两个非零向量 a， b 共面 ( ) (2)在向量的数量积运算中 (a b) c a( b c) ( ) (3)对于非零向量 b，由 a b b c，则 a c.( ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线
6、所成角的范围相同 ( ) (5)若 A， B， C， D 是空间任意四点，则有 AB BC CD DA 0.( ) (6)若 ab 0，则 a， b是钝角 ( ) 题组二 教材改编 2.如图所示，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， M 为 A1C1与 B1D1的交点若 AB a， AD b， AA1 c，则下列向量中与 BM 相等的向量是 ( ) A 12a 12b c B.12a 12b c C 12a 12b c D.12a 12b c 答案 A 解析 BM BB1 B1M AA1 12(AD AB ) c 12(b a) 12a 12b c. 3正四面体 ABCD 的棱长为 2
7、， E， F 分别为 BC， AD 的中点，则 EF 的长为 _ 答案 2 解析 |EF |2 EF 2 (EC CD DF )2 EC 2 CD 2 DF 2 2(EC CD EC DF CD DF ) 12 22 12 2(12cos 120 0 21cos 120) 2， | EF | 2， EF 的长为 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 题组三 易错自纠 4在空间直角坐标系中，已知 A(1,2,3)， B( 2， 1,6)， C(3,2,1)， D(4,3,0)，则直线 AB与 CD 的位置关系是 ( ) A垂直 B平行 C异面 D相交但不垂直 答案 B 解析 由题意得， AB
8、( 3， 3,3)， CD (1,1， 1)， AB 3CD ， AB 与 CD 共线，又 AB 与 CD 没有公共点， AB CD. 5与向量 ( 3， 4,5)共线的单位向量是 _ 答案 ? ?3 210 ， 2 25 ， 22 和 ? ? 3 210 ， 2 25 ， 22 解析 因为与向量 a 共线的单位向量是 a|a|，又因为向量 ( 3， 4,5)的模为? 3?2 ? 4?2 52 5 2， 所以与向量 ( 3， 4,5)共线的单位向量是 15 2( 3， 4， 5) 210( 3， 4,5) 6 O 为空间中任意一点， A， B， C 三点不共线，且 OP 34OA 18OB t
9、OC ，若 P， A， B， C 四点共面，则实数 t _. 答案 18 解析 P， A， B， C 四点共面， 34 18 t 1， t 18. 题型一 空间向量的线性运算 1.如图所示，在长方体 ABCD A1B1C1D1中， O 为 AC 的中点 =【 ;精品教育资源文库 】 = 用 AB ， AD ， AA1 表示 OC1 ，则 OC1 _. 答案 12AB 12AD AA1 解析 OC 12AC 12(AB AD )， OC1 OC CC1 12(AB AD ) AA1 12AB 12AD AA1 . 2.(2017 上饶期中 )如图，在三棱锥 O ABC 中， M， N 分别是 A
10、B， OC 的中点，设 OA a， OB b， OC c，用 a， b， c 表示 NM ，则 NM 等于 ( ) A.12( a b c) B.12(a b c) C.12(a b c) D.12( a b c) 答案 B 解析 NM NA AM (OA ON ) 12AB OA 12OC 12(OB OA ) 12OA 12OB 12OC =【 ;精品教育资源文库 】 = 12(a b c) 思维升华 用已知向量表示某一向量的方法 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为 指导是解题的关键要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向
11、末尾向量的终点的向量在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 =【 ;精品教育资源文库 】 = 题型二 共线定理、共面定理的应用 典例 (2018 唐山质检 )如图所示，已知斜三棱柱 ABC A1B1C1，点 M， N 分别在 AC1和 BC 上，且满足 AM kAC1 ， BN kBC (0 k1) (1)向量 MN 是否与向量 AB ， AA1 共面？ (2)直线 MN 是否与平面 ABB1A1平行？ 解 (1) AM kAC1 ， BN kBC ， MN MA AB BN kC1A AB kBC k(C1A BC ) AB k(C1A B1C1 ) AB kB1A AB AB kA
12、B1 AB k(AA1 AB ) (1 k)AB kAA1 ， 由共面向量定理知向量 MN 与向量 AB ， AA1 共面 (2)当 k 0 时，点 M， A 重合，点 N， B 重合， MN 在平面 ABB1A1内， 当 0k1 时， MN 不在平面 ABB1A1内， 又由 (1)知 MN 与 AB ， AA1 共面， MN 平面 ABB1A1. 思维升华 (1)证明空间三点 P， A， B 共线的方法 PA PB ( R)； 对空间任一点 O， OP OA tAB (t R)； 对空间任一点 O， OP xOA yOB (x y 1) (2)证明空间四点 P， M， A， B 共面的方法
13、=【 ;精品教育资源文库 】 = MP xMA yMB ； 对空间任一点 O， OP OM xMA yMB ； 对空间任一点 O， OP xOM yOA zOB (x y z 1)； PM AB (或 PA MB 或 PB AM ) 跟踪训练 (2017 抚州模拟 )如图，在四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，底面 ABCD 是平行四边形， E，F， G 分别是 A1D1， D1D， D1C1的中点 (1)试用向量 AB ， AD ， AA1 表示 AG ； (2)用向量方法证明平面 EFG 平面 AB1C. (1)解 设 AB a， AD b， AA1 c. 由图得 AG AA1 A1D1
14、 D1G c b 12DC 12a b c 12AB AD AA1 . (2)证明 由题图，得 AC AB BC a b， EG ED1 D1G 12b 12a 12AC ， EG 与 AC 无公共点， EG AC， EG?平面 AB1C， AC 平面 AB1C， EG 平面 AB1C. 又 AB1 AB BB1 a c， FG FD1 D1G 12c 12a 12AB1 ， FG 与 AB1无公共点， FG AB1， FG?平面 AB1C， AB1 平面 AB1C， =【 ;精品教育资源文库 】 = FG 平面 AB1C， 又 FG EG G， FG， EG 平面 EFG， 平面 EFG 平面 AB1C. 题型三 空间向量数量积的应用 典例 (2017 济南模拟 )如图，已知平行六面体 ABCD A1B1C1D1
