1、第2讲 两直线的位置关系,1.两条直线的位置关系,1,2.三个距离公式,1.与直线 3x4y50，关于 x 轴对称的直线方程为_；关于 y 轴对称的直线方程为_；关于原点对称的直线方程为_；关于直线 yx 对称的直线方程为_；关于直线 yx 对称的直线方程为_.,3x4y50,3x4y50,3x4y50,3y4x50,4x3y50,2.(2016 年上海)已知平行直线l1：2xy10，l2：2xy,10，则 l1，l2 间的距离为_.,3.(2016 年北京)圆(x1)2y2 2 的圆心到直线 yx3 的,距离为(,),C,A.1,B.2,C.,D.,解析：圆心坐标为(1,0)，由点到直线的距
2、离公式可知 d,|103|, .故选 C.,4.已知 A(4,2)，B(6，4)，C(12,6)，D(2,12)，下面四个结论：ABCD；ABAD；ACBD；ACBD.其中正,确的有(,),C,A.1 个,B.2 个,C.3 个,D.4 个,考点 1,两直线的平行与垂直关系,例 1：已知直线l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m 0，求 m 的值，使得： (1)l1与 l2 相交；(2)l1l2；(3)l1l2；(4)l1与 l2 重合.解：(1)由已知 13m(m2)，即 m22m30，解得 m1，且 m3.故当m1，且m3时，l1与l2相交.,(3) 当 13 m(m 2) ， 且 1
3、2m6(m 2) ， 或,m2m36，即 m1 时，l1l2.,(4)当 13m(m2)，且 12m6(m2)，即 m3 时，l1 与 l2 重合.,【规律方法】(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线 l1 和 l2，l1l2?k1k2，l1l2?k1k2 1.如果有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意.,(2)设 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则 l1 ,l2?A1A2B1B2 0.,【互动探究】1.已知两条直线 l1：xm2y60，l2 ：(m2)x3my2m0 ，当 m 为何值时，l1 与 l
4、2(1)相交；(2)平行；(3)重合？解：当 m0时，l1：x60，l2：x0，l1l2.当 m2 时， l1：x4y60，l2：3y20 ，l1 与 l2 相交.,故(1)当 m1 且 m3 且 m0 时，l1 与 l2 相交.(2)当 m1 或 m0 时，l1l2.(3)当 m3 时，l1 与 l2 重合.,考点 2,直线系中的过定点问题,例 2：求证：不论 m 取什么实数，直线(m1)x(2m1)ym5 都通过一定点.证明：方法一，取 m1，得直线方程 y4；从而得两条直线的交点为(9，4).又当 x9，y4 时，有 9(m1)(4)(2m1)m5，即点(9，4)在直线(m1)x(2m1
5、)ym5 上.故直线(m1)x(2m1)ym5 都通过定点(9，4).,方法二，(m1)x(2m1)ym5，m(x2y1)(xy5)0.则直线(m1)x(2m1)ym5 都通过直线 x2y10与 xy50 的交点.,直线(m1)x(2m1)ym5 通过定点(9，4).方法三，(m1)x(2m1)ym5，m(x2y1)xy5.,由 m 为任意实数知，关于 m 的一元一次方程 m(x2y1)xy5 的解集为 R，,直线(m1)x(2m1)ym5 都通过定点(9，4).【规律方法】本题考查了方程思想在解题中的应用，构建方程组求解是解决本题的关键.很多学生不理解直线过定点的含义，找不到解决问题的切入点
6、，从而无法下手.,【互动探究】2.直线(2k1)x(k3)y(k11)0(kR)所经过的定点,是(,B,)A.(5,2),B.(2,3),C.,D.(5,9),解析：整理，得 k(2xy 1)(x 3y11) 0. 解方程组,考点 3 对称问题,考向 1,中心对称,例 3：平面直角坐标系中直线 y2x1 关于点(1,1)对称的直线方程是_.解析：方法一，在直线l上任取一点P(x，y)，其关于点(1,1)的对称点 P(2x,2y)必在直线 y2x1 上， 2y2(2x)1，即 2xy30. 因此，直线 l 的方程为 y2x3.方法二，由题意，得直线 l 与直线 y2x1 平行，设直线 l 的方程
7、为 2xyC0(C1)，,则点(1,1)到两平行线的距离相等.,因此所求直线 l 的方程为 y2x3.方法三，在直线 y2x1 上任取两个点 A(0,1)，B(1，3)，则点 A 关于点(1,1)对称的点为 M(2,1)，点 B 关于点(1,1)对称的,y111,点为 N(1 ，1). 由两点式求出对称直线 MN 的方程为x1，即 y2x3.21答案：y2x3,x2ax，,【规律方法】中心对称：解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式.点 P(x，y)关于 M(a，b)的对称点 P(x，,y)满足,y2by.,直线关于点的对称可转化为点关于点,的对称问题来解决.,考向 2,轴对称,例 4：已
8、知直线 l：2x3y10，点 A(1，2)，求：(1)点 A 关于直线 l 的对称点 A的坐标；(2)直线 m：3x2y60 关于直线 l 的对称直线 m的方程；(3)直线 l 关于点 A(1，2)对称的直线 l的方程.解：(1)设 A(x，y)，再由已知有：,(2)在直线 m 上取一点，如 M(2,0)，则 M(2,0)关于直线 l 的对称点必在 m上.设对称点为 M(a，b)，,又m经过点 N(4,3)，由两点式得直线 m的方程为 9x46y1020.,(3)设点 P(x，y)为 l上任意一点，,则点 P(x ，y)关于点 A(1，2)的对称点为 P(2 x，,4y).,点 P在直线 l
9、上，,2(2x)3(4y)10，即 2x3y90.,【规律方法】轴对称：解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点连线的中点在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解.,【互动探究】3.(2017 年广东广州模拟)直线 x2y10 关于直线 xy,20 对称的直线方程是(,),A.x2y10C.2xy30,B.2xy10D.x2y30,解析：由题意，得直线 x2y10 与直线 xy20 的交点坐标为(1,1).在直线 x2y10 上取点 A(1,0)，设点 A 关于直线 x
10、y20 的对称点为 B(m，n)，,答案：B,考向 3,对称的应用,例 5：在直线 l：3xy10 上存在一点 P，使得点 P 到点 A(4,1)和点 B(3,4)的距离之和最小，求此时距离之和的最小值.解：设点 B 关于直线 3xy10 的对称点为 B(a，b)，如图 D40.图 D40,易错、易混、易漏,忽略直线方程斜率不存在的特殊情形致误,例题：过点 P(1,2)引一条直线 l，使它到点 A(2,3)与到点,B(4,5)的距离相等，求该直线 l 的方程.,错因分析：设直线方程，只要涉及直线的斜率，易忽略斜,率不存在的情形，要注意分类讨论.,正解：方法一，当直线 l 的斜率不存在时，直线
11、l：x1，,显然到点 A(2,3)，B(4,5)的距离相等.当直线 l 的斜率存在时，设斜率为 k，,则直线 l 的方程为 y2k(x1)，即 kxy2k0.,故所求直线 l 的方程为 x3y50 或 x1.,当直线 l 过线段 AB 的中点时，线段 AB 的中点为(1,4)，所以直线 l 的方程为 x1.,故所求直线 l 的方程为 x3y50 或 x1.,【失误与防范】方法一是常规解法，本题可以利用代数方法求解，即先设点斜式方程，再利用点到直线的距离公式建立等式求斜率 k，但要注意斜率不存在的情况，很容易漏解且计算量较大；方法二利用数形结合的思想使运算量大为减少，即A，B 两点到直线 l 的距离相等，有两种情况：直线 l 与 AB平行；直线 l 过线段 AB 的中点.,
