1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 2.9 函数模型及其应用 最新考纲 考情考向分析 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义 2.了解函数模型 (如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型 )的广泛应用 . 考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，题型以解答题为主，中高档难度 . 1几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x) ax b(a， b 为常数， a0 ) 反比例函数模型 f(x) kx b(k， b 为常数且 k0
2、) 二次函数模型 f(x) ax2 bx c(a， b， c 为常数， a0) 指数函数模型 f(x) bax c(a， b， c 为常数， b0 ， a0 且 a1) 对数函数模型 f(x) blogax c(a， b， c 为常数， b0 ， a0且 a1) 幂函数模型 f(x) axn b (a， b 为常数， a0) 2.三种函数模型的性质 函数 性质 y ax(a1) y logax(a1) y xn(n0) 在 (0， ) 上的增减性 增加的 增加的 增加的 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图像的变化 随 x 的增大逐渐表现为与 y 轴 平行 随 x 的增大逐渐表现为与 x
3、 轴 平行 随 n 值变化而各有不同 =【 ;精品教育资源文库 】 = 值的比较 存在一个 x0，当 xx0时，有 logax0)的函数模型称为 “ 对勾 ” 函数模型： (1)该函数在 ( ， a和 a， ) 上是增加的，在 a， 0)和 (0， a上是减少的 (2)当 x0 时， x a时取最小值 2 a， 当 x1)的增长速度会超过并远远大于 y xa(a0)的增长速度 ( ) (5)“ 指数爆炸 ” 是指数型函数 y a bx c(a0 ， b0， b1) 增长速度越来越快的形象比喻 ( ) 题组二 教材改编 2某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是
4、( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A收入最高值与收入最低值的比是 31 B结余最高的月份是 7 月 C 1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同 D前 6 个月的平均收入为 40 万元 答案 D 解析 由题图可知，收入最高值为 90 万元，收入最低值为 30 万元，其比是 31 ，故 A 正确；由题图可知， 7 月份的结余最高，为 80 20 60(万元 )，故 B 正确；由题图可知， 1 至2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同，故 C 正确；由题图可知，前 6 个月的平均收入为 16(40 60 30 30 50 60) 45(万元
5、 )，故 D 错误 3生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x) 12x2 2x 20(万 元 )一万件售价为 20 万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为 _万件 答案 18 解析 利润 L(x) 20x C(x) 12(x 18)2 142， 当 x 18 时， L(x)有最大值 4用长度为 24 的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为 _ 答案 3 解析 设隔墙的长度为 x(04 000.由于此人纳税 420 元， 所以 8004 000 时，令 0.112x 420，解得 x 3 7
6、50(舍去 )， 故这个人应得稿费 (扣税前 )为 3 800 元 6某市生产总值连续两年持续增加第一年的增长率为 p，第二年的增长率为 q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 _ 答案 ?p 1?q 1? 1 解 析 设年平均增长率为 x，则 (1 x)2 (1 p)(1 q)， x ?1 p?1 q? 1. 题型一 用函数图像刻画变化过程 1.高为 H，满缸水量为 V 的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为 h 时水的体积为 v，则函数 v f(h)的大致图像是 ( ) 答案 B 解析 v f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选 B.
7、2物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种=【 ;精品教育资源文库 】 = 绿色运输方案据预测，这四种方案均 能在规定的时间 T 内完成预测的运输任务 Q0，各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率 (单位时间的运输量 )逐步提高的是 ( ) 答案 B 解析 由运输效率 (单位时间的运输量 )逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图像应一直是下凸的，故选 B. 3汽车的 “ 燃油效率 ” 是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况 . 下列叙述中正确的是
8、( ) A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B以相同速度行驶相同路程，三辆 车中，甲车消耗汽油量最多 C甲车以 80 千米 /小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油 D某城市机动车最高限速 80 千米 /小时相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 答案 D 解析 根据图像所给数据，逐个验证选项 根据图像知消耗 1 升汽油，乙车最多行驶里程大于 5 千米，故选项 A 错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项 B 错；甲车以 80 千米 /小时的速度行驶时燃油效率为 10 千米 /升，行驶 1 小时，里程为 80 千米，消耗 8
9、 升汽油，故选项 C 错；最高限速 80 千米 /小时，丙车 的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项 D 对 思维升华 判断函数图像与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像 (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案 =【 ;精品教育资源文库 】 = 题型二 已知函数模型的实际问题 典例 (1)(2017 石家庄质检 )加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“ 可食用率 ” 在
10、特定条件下 ，可食用率 p 与加工时间 t(单位：分钟 )满足函数关系 p at2 bt c(a， b， c 是常数 )，如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为 _分钟 答案 3.75 解析 根据图表，把 (t， p)的三组数据 (3,0.7)， (4,0.8)， (5,0.5)分别代入函数关系式， 联立方程组得? 0.7 9a 3b c，0.8 16a 4b c，0.5 25a 5b c，消去 c 化简得? 7a b 0.1，9a b 0.3， 解得? a 0.2，b 1.5，c 2.所以 p 0.2t2 1.5t 2 15? ?t2 152t 22516
11、 4516 2 15? ?t 154 2 1316，所以当 t 154 3.75 时， p 取得最大值，即最佳加工时间为 3.75 分钟 (2)某食品的保鲜时间 y(单位：小时 )与储藏温度 x(单位： ) 满足函数关系 y ekx b(e2.718? 为自然对数的底数， k， b 为常数 )若该食品在 0 的保鲜时间是 192 小时，在22 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 的保鲜时间是 _小时 答案 24 解析 由题意得? eb 192，e22k b 48， e22k 4819214， e 11k 12， x 33 时， y e33k b (e11k)3e b ? ?12 319
12、2 18192 24(小时 ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 思维升华 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数 (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数 (3)利用该模型 求解实际问题 跟踪训练 (1)拟定甲、乙两地通话 m分钟的电话费 (单位：元 )由 f(m) 1.06(0.5m 1)给出，其中 m0， m是不超过 m的最大整数 (如 3 3， 3.7 3， 3.1 3)，则甲、乙两地通话 6.5分钟的电话费为 _元 答案 4.24 解析 m 6.5， m 6，则 f(6.5) 1.06(0.56 1) 4.24. (2)某工厂生产
13、某种产品固定成本为 2 000 万元，并且每生产一单位产品，成本增加 10 万元又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数， K(Q) 40Q 120Q2，则总利润 L(Q)的最大值是_万元 答案 2 500 解析 L(Q) 40Q 120Q2 10Q 2 000 120Q2 30Q 2 000 120(Q 300)2 2 500. 则当 Q 300 时， L(Q)的最大值为 2 500 万元 题型三 构建函数模型的实际问题 命题点 1 构造一次函数、二次函数模型 典例 (1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量 x(kg)与其运费 y(元 )之间的关系由 如图所示的一次函数图像确定，那么乘客
14、可免费携带行李的质量最大为 _kg. 答案 19 解析 由图像可求得一次函数的解析式为 y 30x 570，令 30x 570 0，解得 x 19. (2)将进货单价为 80 元的商品按 90 元一个出售时，能卖出 400 个，已知这种商品每涨价 1元，其销售量就要减少 20 个，为了赚得最大利润，每个售价应定为 _元 答案 95 解析 设每个售价定为 x 元，则利润 y (x 80)400 (x 90)20 20(x 95)2=【 ;精品教育资源文库 】 = 225 当 x 95 时， y 最大 命题点 2 构造指数函数、对数函数模型 典例 一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的 14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的 22 . (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ 解 (1)设每年降低的百分比为 x(00)型函数 典例 (1)(2018 届中原名校质检 )高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上
