1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 3 讲 几何概型 一、选择题 1.在区间 2， 3上随机选取一个数 x， 即 x1 ， 故所求的概率为 ( ) A.45 B.35 C.25 D.15 解析 在区间 2， 3上随机选取一个数 x， 且 x1 ， 即 2 x 1， 故所求的概率为 P 35. 答案 B 2.如图所示 ， 半径为 3 的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域 ， 在圆中随机扔一粒豆子 ， 它落在阴影区域内的概率是 13， 则阴影部分的面积 是 ( ) A. 3 B. C.2 D.3 解析 设阴影部分的面积为 S， 且圆的面积 S 32 9 .由几何概型的概率 ， 得 SS 13， 则
2、S 3 . 答案 D 3.(2015 山东卷 )在区间 0， 2上随机地取一个数 x， 则事件 “ 1 log12? ?x 12 1” 发生的概率为 ( ) A.34 B.23 C.13 D.14 解析 由 1 log12? ?x 12 1， 得 12 x 12 2， 解得 0 x 32， 所以事件 “ 1 log12? ?x 12 1” 发生的 概 率为32234， 故选 A. 答案 A 4.(2017 陕西 师大附中检测 )若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中，其中 AB 2， BC 1， 则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 =
3、A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 解析 设质点落在以 AB 为直径的半圆内为事件 A， 则 P(A) 阴影面积长方形面积 12 121 2 4. 答案 B 5.在棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1中 ， 点 O为底面 ABCD的中心 ， 在正方体 ABCD A1B1C1D1 内随机取一点 P， 则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 ( ) A.12 B.1 12 C. 6 D.1 6 解析 设 “ 点 P 到点 O 的距离大于 1” 为事件 A. 则事件 A 发生时 ， 点 P 位于以点 O 为球心 ， 以 1 为半径的半球的外部 . V 正方体 23 8， V 半球
4、 43 13 12 23 . P(A)23 2323 112. 答案 B 6.已知 ABC 中 ， ABC 60， AB 2， BC 6， 在 BC 上任取一点 D， 则使 ABD 为钝角三角形的概率为 ( ) A.16 B.13 C.12 D.23 解析 如图 ， 当 BE 1 时 ， AEB 为直角 ， 则点 D 在线段 BE(不包含 B，E 点 )上时 ， ABD 为钝角三角形；当 BF 4 时 ， BAF 为直角 ， 则点D 在线段 CF(不 包含 C， F 点 )上时 ， ABD 为钝角三角形 .所以 ABD为钝角三角形的概率为 1 26 12. 答案 C 7.设不等式组?0 x 2
5、，0 y 2 表示的平面区域为 D， 在区域 D 内随机取一个点 ， 则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 ( ) A. 4 B. 22 C. 6 D.4 4 解析 如图所示 ， 正方形 OABC 及其内部为不等式组表示的区域 D， 且=【 ;精品教育资源文库 】 = 区域 D 的面积为 4， 而阴影部分表示的是区域 D 内到原点距离大于 2 的区域 ， 易知该阴影部分的面积为 4 ， 因此满足条件的概率是 4 4 .故选 D. 答案 D 8.(2017 华师附中联考 )在区间 0， 4上随机取两个实数 x， y， 使得 x 2y8 的概率为( ) A.14 B.316 C.916 D.3
6、4 解析 由 x， y 0， 4知 (x， y)构成的区域是边长为 4 的正方形及其内部 ， 其中满足 x 2y8 的区域为如图所示的阴影部分 . 易知 A(4， 2)， S 正方形 16， S 阴影 （ 2 4） 42 12.故 “ 使得 x 2y8” 的概率 P S阴影S正方形34. 答案 D 9.已知正三棱锥 S ABC 的底面边长为 4， 高为 3， 在正三棱锥内任取一点 P， 使得 VP ABC 12VS ABC的概率是 ( ) A.78 B.34 C.12 D.14 解析 当点 P 到底面 ABC 的距离小于 32时 ， VP ABC 12VS ABC. 由几何概型知 ， 所求概率
7、为 P 1 ? ?123 78. 答案 A 10.设复数 z (x 1) yi(x， y R)， 若 |z|1 ， 则 y x 的概率为 ( ) A.34 12 B.12 1 C.12 1 D.14 12 解析 因为复数 z (x 1) yi(x， y R)且 |z|1 ， 所以 |z|（ x 1） 2 y2 1， 即 (x 1)2 y2 1， 即点 (x， y)在以 (1， 0)为圆心、 1 为半径的圆及其内部 ， 而 y x 表示直线 y x 左上方的部分 (图中阴影弓形 )， 所以所求概率为弓形的面积与=【 ;精品教育资源文库 】 = 圆的面积之比 ， 即 P14 12 1211 12
8、1412 . 答案 D 二、填空题 11.在区间 2， 4上随机地取一个数 x， 若 x 满足 |x| m 的概率为 56， 则 m _. 解析 由 |x| m， 得 m x m. 当 m2 时 ， 由题意得 2m6 56， 解得 m 2.5， 矛盾 ， 舍去 . 当 2 m 4 时 ， 由题意得 m（ 2）6 56， 解得 m 3. 答案 3 12.如图 ， 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 ， 有一动点在此长方体内随机运动 ， 则此动点在三棱锥 A A1BD 内的概率为_. 解析 因为 VA A1BD VA1 ABD 13AA1 S ABD 16 AA1 S 矩形ABCD16V 长方
9、体 ， 故所求概率为VA A1BDV长方体 16. 答案 16 13.(2016 山东卷 )在 1， 1上随机地取一个数 k， 则事件 “ 直线 y kx 与圆 (x 5)2y2 9 相交 ” 发生的概率为 _. 解析 直线 y kx 与圆 (x 5)2 y2 9 相交的充要条件是圆心 (5， 0)到直线 y kx 的距离小于 3. 则 |5k 0|k2 1 3， 解之得 34 k 34， 故所求事件的概率 P34 ? 341（ 1） 34. 答案 34 14.(2017 唐山模拟 )如图 ， 将半径为 1 的圆分成相等的四段弧 ， 再将四段弧围成星形放在圆内 (阴影部分 ).现在往圆内任投一
10、点 ， 此点落在星形区域内的概率为 _. 解析 顺次连接星形的四个顶点 ， 则星形区域的面积等于 ( 2)24? ?14 12 121 2 4 ， 又因为圆的面积等于 12 ， 因=【 ;精品教育资源文库 】 = 此所求的概率等于 4 4 1. 答案 4 1 15.在区间 1， 4内取一个数 x， 则 2x x2 14的概率是 ( ) A.12 B.13 C.25 D.35 解析 由 2x x2 14， 得 1 x2. 又 1 x4. 所求事件的概率 P 2（ 1）4（ 1） 35. 答案 D 16.如图 ， “ 天宫一号 ” 运行的轨迹是如图的两个类同心圆 ， 小圆的半径为 2 km， 大圆
11、的半径为 4 km， 卫星 P 在圆环内无规则地自由运动 ，运行过程中 ， 则点 P 与点 O 的距离小于 3 km 的概率为 ( ) A.112 B.512 C.13 D.15 解析 根据几何概型公式 ， 小于 3 km 的圆环面积为 (32 22) 5 ；圆环总面积为 (42 22) 12 ， 所以点 P 与点 O 的距离小于 3 km 的概率为 P(A) 512 512. 答案 B 17.已知平面区域 D (x， y)| 1 x1 ， 1 y1 ， 在区域 D 内任取一点 ， 则取到的点位于直线 y kx(k R)下方的概率为 ( ) A.12 B.13 C.23 D.34 解析 由题设
12、知 ， 区域 D 是以原点为中心的正方形 ， 根据图形的对称性知 ， 直线 y kx将其面积平分 ， 如图 ， 故所求概率为 12. 答案 A 18.(2017 合肥 质检 )在区间 0， 上随机取一个实数 x， 使得 sin x ? ?0， 12 的概率为=【 ;精品教育资源文库 】 = ( ) A.1 B.2 C.13 D.23 解析 由 0 sin x 12， 且 x0 ， ， 解之得 x ? ?0， 6 ? ?56 ， . 故所求事件的概率 P ? ? 56 ? ? 6 0 0 13. 答案 C 19.(2017 成都诊断 )如图 ，大正方形的面积是 34， 四个全等直角三角形围成一个
13、小正方形 ， 直角三角形的较短边长为 3， 向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵 ， 则小花朵落在小正方形内的概率为 ( ) A.117 B.217 C.317 D.417 解析 大正方 形的面积是 34， 大正方形的边长是 34， 由直角三角形的较短边长为 3，得四个全等直角三角形的直角边分 别是 5 和 3， 则小正方形边长为 2， 面积为 4， 小花朵落在小正方形内的概率为 P 434 217. 答案 B 20.有一个底面圆的半径为 1、高为 2 的圆柱 ， 点 O 为这个圆柱底面圆的圆心 ， 在这个圆柱内随机取一点 P， 则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 ( ) A.23 B.1
14、3 C.89 D. 4 解析 V 圆柱 2 ， V 半球 12 43 13 23 ， V半球V圆柱 13， 故点 P 到 O 的距离大于 1 的概率为 23. 答案 A 21.(2015 湖北卷 )在区间 0， 1上随机取两个数 x， y， 记 p1为事件“ x y 12” 的概率 ，p2为事件 “ xy 12” 的概率 ， 则 ( ) A.p1p212 B.p212p1 C.12p2p1 D.p112p2 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 (x， y)构成的区域是边长为 1 的正方形及其内部 ， 其中满足 x y 12的区域如图 1中阴影部分所示 ， 所以 p11212121 1 18
15、， 满足 xy12的区域如图 2 中阴影部分所示 ， 所以p2 S1 S21 1 12 S21 12， 所以 p1 12 p2， 故选 D. 答案 D 22.在区间 ， 内随机取出两个数分别记为 a， b， 则函数 f(x) x2 2ax b2 2有零点的概率为 ( ) A.1 8 B.1 4 C.1 2 D.1 34 解析 由函数 f(x) x2 2ax b2 2有零点 ， 可得 (2a2) 4(b2 2)0 ， 整理得 a2 b2 2， 如图所示 ， (a， b)可看成坐标平面上的点 ， 试验的全部结果构成的区域为 (a， b)| a ， b ， 其面积 S (2 )2 4 2. 事件 A 表示函数 f(x)有零点 ， 所构成的区域为 M (a， b)|a2 b2 2， 即图中阴影部分 ， 其面积为 SM 4 2 3
