1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 4.3 三角函数的图像与性质 最新考纲 考情考向分析 1.能画出 y sin x， y cos x， y tan x 的图象，了解三角函数的周期性 2.理解正弦函数、余弦函数在 0,2 上的性质 (如单调性、最大值和最小值，图象与 x 轴的交点等 )，理解正切函数在区间 ? ? 2 ， 2内的单调性 . 以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点考查三角函数性质时，常与三角恒 等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度 . 1用五点法作正弦函数和
2、余弦函数的简图 (1)在正弦函数 y sin x， x0,2 的图像中，五个关键点是： (0,0)， ? ? 2 ， 1 ， ( ，0)， ? ?32 ， 1 ， (2 ， 0) (2)在余弦函数 y cos x， x0,2 的图像中，五个 关键点是： (0,1)， ? ? 2 ， 0 ， ( ， 1)， ? ?32 ， 0 ， (2 ， 1) 2正弦、余弦、正切函数的图像与性质 (下表中 k Z) 函数 y sin x y cos x y tan x 图像 定义域 R R x|x R，且 x k 2 值域 1,1 1,1 R =【 ;精品教育资源文库 】 = 周期性 2 2 奇偶性 奇函数
3、偶函数 奇函数 递增区间 ? ?2k 2 ， 2k 2 2k ， 2k ? ?k 2 ， k 2 递减区间 ? ?2k 2 ， 2k 32 2k ， 2k 无 对称中心 (k ， 0) ? ?k 2 ， 0 ? ?k2 ， 0 对称轴方程 x k 2 x k 无 知识拓展 1对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是 14个周期 (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期 2奇偶性 若 f(x) Asin(x )(A， 0) ，则： (1)f(x)为 偶函数的充要条件是 2 k( k Z)； (2)f(x)为奇
4、函数的充要条件是 k( k Z) 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)y sin x 在第一、第四象限上是增函数 ( ) (2)由 sin? ? 6 23 sin 6 知， 23 是正弦函数 y sin x(x R)的一个周期 ( ) (3)正切函数 y tan x 在定义域内是增函数 ( ) (4)已知 y ksin x 1， x R，则 y 的最大值为 k 1.( ) (5)y sin|x|是偶函数 ( ) 题组二 教材改编 2函数 f(x) cos? ?2x 4 的最小正周期是 答案 =【 ;精品教育资源文库 】 = 3 y 3sin? ?2
5、x 6 在区间 ? ?0， 2 上的值域是 答案 ? ? 32， 3 解析 当 x ? ?0， 2 时， 2x 6 ? ? 6 ， 56 ， sin? ?2x 6 ? ? 12， 1 ， 故 3sin? ?2x 6 ? ? 32， 3 ， 即 y 3sin? ?2x 6 的值域为 ? ? 32， 3 . 4 y tan 2x 的定义域是 答案 ?x? x k2 4 ， k Z 解析 由 2x k 2 ， k Z，得 x k2 4 ， k Z， y tan 2x 的定义域是?x? x k2 4 ， k Z . 题组三 易错 自纠 5下列函数中最小正周期为 且图像关于直线 x 3 对称的是 ( )
6、 A y 2sin? ?2x 3 B y 2sin? ?2x 6 C y 2sin? ?x2 3 D y 2sin? ?2x 3 答案 B 解析 函数 y 2sin? ?2x 6 的周期 T 22 ， 又 sin? ?2 3 6 1， 函数 y 2sin? ?2x 6 的图像关于直线 x 3 对称 6函数 f(x) 4sin? ? 3 2x 的递减区间是 答案 ? ?k 12， k 512 (k Z) 解析 f(x) 4sin? ? 3 2x 4sin? ?2x 3 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以要求 f(x)的递减区间， 只需求 y 4sin? ?2x 3 的递增区间 由 2 2
7、k2 x 3 2 2k( k Z)，得 12 k x 512 k( k Z) 所以函数 f(x)的递减区间是 ? 12 k ，512 k (k Z) 7 cos 23 ， sin 68 ， cos 97 的大小关系是 答案 sin 68cos 23cos 97 解析 sin 68 cos 22 ， 又 y cos x 在 0 ， 180 上是减函数， sin 68cos 23cos 97. 题型一 三角函数的定义域和值域 1函数 f(x) 2tan? ?2x 6 的定义域是 ( ) A.?x? x 6 B.?x? x 12 C.?x? x k 6 ?k Z? D.?x? x k2 6 ?k Z
8、? 答案 D 解析 由正切函数的定义域，得 2x 6 k 2 ， k Z，即 x k2 6(k Z)，故选 D. 2函数 y sin x cos x的定义域为 答案 ? ?2k 4 ， 2k 54 (k Z) 解析 方法一 要使函数有意义，必须使 sin x cos x0. 利用图像，在同一坐标系中画出 0,2 上 y sin x 和 y cos x 的图像，如图所示 =【 ;精品教育资源文库 】 = 在 0,2 内，满足 sin x cos x 的 x 为 4 ， 54 ，再结合正弦、余弦函数的周期是 2 ，所以原函数的定义域为 ?x? 2k 4 x2 k 54 ， k Z . 方法二 利用
9、三角函数线，画出满足条件的终边范围 (如图阴影部分所示 ) 所以定义域为 ?x? 2k 4 x2 k 54 ， k Z . 3 (2017 郑州月考 )已知函数 f(x) sin? ?x 6 ，其中 x ? ? 3 ， a ，若 f(x)的值域是? 12， 1 ，则实数 a 的取值范围是 答案 ? ? 3 ， 解析 x ? ? 3 ， a ， x 6 ? ? 6 ， a 6 ， 当 x 6 ? ? 6 ， 2 时， f(x)的值域为 ? ? 12， 1 ， 由函数的图像 (图略 )知 2 a 6 76 ， 3 a. 4 (2018 长沙质检 )函数 y sin x cos x sin xcos
10、 x 的值域为 答案 ? ? 12 2， 1 解析 设 t sin x cos x，则 t2 sin2x cos2x 2sin xcos x， sin xcos x 1 t22 ，且 2 t 2. y t22 t1212(t 1)2 1， t 2， 2 当 t 1 时， ymax 1； 当 t 2时， ymin 12 2. 函数的值域为 ? ? 12 2， 1 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 思维升华 (1)三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式 (组 )，常借助三角函数线或三角函数图像来求解 (2)三角函数值域的不同求法 利用 sin x 和 cos x
11、的值域直接求； 把所给的三角函数式变换成 y Asin(x )(A， 0) 的形式求值域； 通过换元，转换成二次函数求值域 题型二 三角函数的单调性 命题点 1 求三角函数的单调性 典例 (1)函数 f(x) tan? ?2x 3 的递增区间是 ( ) A.? ?k2 12， k2 512 (k Z) B.? ?k2 12， k2 512 (k Z) C.? ?k 6 ， k 23 (k Z) D.? ?k 12， k 512 (k Z) 答案 B 解析 由 k 2 2x 3 k 2(k Z)， 得 k2 12 x k2 512 (k Z)， 所以函数 f(x) tan? ?2x 3 的递增区
12、间是 ?k2 12，k2 512 (k Z)，故选 B. (2)(2017 哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考 )函数 y 12sin x 32 cos x? ?x ? ?0， 2 的递增区间是 答案 ? ?0， 6 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 y 12sin x 32 cos x sin? ?x 3 ， 由 2k 2 x 3 2 k 2(k Z)， 解得 2k 56 x2 k 6(k Z) 函数的递增区间为 ? ?2k 56 ， 2k 6 (k Z)， 又 x ? ?0， 2 ， 递增区间为 ? ?0， 6 . 命题点 2 根据单调性求参数 典例 已知 0，函数 f(x) sin?
13、 ?x 4 在 ? ? 2 ， 上是减少的，则 的取值范围是 答案 ? ?12， 54 解析 由 2 x ， 0，得 2 4 x 4 4 ， 又 y sin x 的递减区间为 ? ?2k 2 ， 2k 32 ， k Z， 所以? 2 4 2 2k ， 4 32 2kk Z， 解得 4k 12 2 k 54， k Z. 又由 4k 12 ? ?2k 54 0 ， k Z 且 2k 540， k Z，得 k 0，所以 ? ?12， 54 . 引申探究 本例中，若已知 0，函数 f(x) cos? ?x 4 在 ? ? 2 ， 上是增加的，则 的取值范围是 答案 ? ?32， 74 解析 函数 y cos x 的递增区间为 2k ， 2k ， k Z ，则=【 ;精品教育资源文库 】 = ? 2 4 2k ， 4 2 kk Z， 解得 4k 52
