1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 9.8 圆锥曲线的综合问题 最新考纲 考情考向分析 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法 2.了解圆锥曲线的简单应用 3.理解数形结合的思想 . 以考查直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系为背景，主要涉及弦长、中点、面积、对称、存在性问题题型主要以解答题形式出现，属于中高档题 . 1直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于 x(或 y)的一元方程： ax2 bx c 0(或 ay2 by c 0) (1)若 a0 ，可考虑一元二次方程的判 别式 ，有 0?直线与圆锥曲线 相交 ； 0?直线与圆锥曲线 相切
2、 ； 0)上，且直线 AB 过抛物线的焦点，则 y1y2 p2.( ) 题组二 教材改编 2过点 (0,1)作直线，使它与抛物线 y2 4x 仅有一个公共点，这样的直线有 ( ) A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 答案 C 解析 过 (0,1)与抛物线 y2 4x 相切的直线有 2 条，过 (0,1)与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点 =【 ;精品教育资源文库 】 = 3已知与向量 v (1,0)平行的直线 l 与双曲线 x24 y2 1 相交于 A， B 两点，则 |AB|的 最小值为 _ 答案 4 解析 由题意可设直线 l 的方程为 y m， 代入
3、x24 y2 1 得 x2 4(1 m2)， 所以 x1 4?1 m2? 2 1 m2， x2 2 1 m2， 所以 |AB| |x1 x2| 4 1 m24 ， 即当 m 0 时， |AB|有最小值 4. 题组三 易错自纠 4过抛物线 y2 2x 的焦点作一条直线与抛物线交于 A， B 两点，它们的横坐标之和等于 2，则这样的直线 ( ) A有且只有一条 B有且只有两条 C有且只有三条 D有且只有四条 答案 B 解析 设该抛物线的焦点为 F， A(xA， yA)， B(xB， yB)，则 |AB| |AF| |FB| xA p2 xB p2xA xB 1 32p 2. 所以符合条件的直线有且
4、只有两条 5 (2018 届江西省南昌市三模 )已知 F1， F2是椭圆和双曲线的公共焦点， P 是它们的一个公共点，且 F1PF2 4 ，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为 _ 答案 22 6已知双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的焦距为 2c，右顶点为 A，抛物线 x2 2py(p0)的焦点为 F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c，且 |FA| c，则双曲线的渐近线方程为_ 答案 y x 解析 抛物线的准线方程为 y p2，焦点为 F? ?0， p2 ， a2 ? ?p2 2 c2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 设抛物线的准线 y p2交双曲线于 M? ?x1，p
5、2 ， N?x2，p2 两点， ? y p2，x2a2y2b2 1，即 x2a2? p22b2 1，解得 x ap24b2 1， 2 a p24b2 1 2c. 又 b2 c2 a2， 由 ，得 c2a2 2. b2a2c2a2 1 1，解得ba 1. 双曲线的渐近线方程为 y x. 第 1 课时 范围、最值问题 题型一 范围问题 典例 (2016 天津 )设椭圆 x2a2y23 1(a 3)的右焦点为 F，右顶点为 A.已知1|OF|1|OA|3e|FA|，其中 O 为原点， e 为椭圆的离心率 (1)求椭圆的方程； (2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B(B 不在 x 轴上 )，垂
6、直于 l 的直线与 l 交于点 M，与 y轴交于点 H.若 BF HF，且 MOA MAO，求直线 l 的斜率的取值范围 解 (1)设 F(c,0)，由 1|OF| 1|OA| 3e|FA|， 即 1c 1a 3ca?a c?，可得 a2 c2 3c2. 又 a2 c2 b2 3，所以 c2 1，因此 a2 4. 所以椭圆的方程为 x24y23 1. (2)设直线 l 的斜率为 k(k0) ， 则直线 l 的方程为 y k(x 2) =【 ;精品教育资源文库 】 = 设 B(xB， yB)，由方程组? x24y23 1，y k?x 2?消去 y， 整理得 (4k2 3)x2 16k2x 16k
7、2 12 0. 解得 x 2 或 x 8k2 64k2 3. 由题意得 xB 8k2 64k2 3，从而 yB 12k4k2 3. 由 (1)知， F(1,0)，设 H(0， yH)， 有 FH ( 1， yH)， BF ? ?9 4k24k2 3，12k4k2 3 . 由 BF HF，得 BF FH 0， 所以 4k2 94k2 312kyH4k2 3 0，解得 yH9 4k212k . 因此直线 MH 的方程为 y 1kx 9 4k212k . 设 M(xM， yM)，由方程组? y k?x 2?，y 1kx 9 4k212k ，消去 y，解得 xM 20k2 912?k2 1?. 在 M
8、AO 中，由 MOA MAO，得 |MA| MO|， 即 (xM 2)2 y2M x2M y2M， 化简，得 xM1 ，即 20k2 912?k2 1?1 ， 解得 k 64 或 k 64 . 所以直线 l 的斜率的取值范围为 ? ， 64 ?64 ， . 思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的简单性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围 (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关 系 (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围 (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围 (
9、5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求 其值域，从而确定参数的=【 ;精品教育资源文库 】 = 取值范围 跟踪训练 (2018 开封质检 )已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)与双曲线x23 y2 1 的离心率互为倒数，且直线 x y 2 0 经过椭圆的右顶点 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)设不过原点 O 的直线与椭圆 C 交于 M， N 两点，且直线 OM， MN， ON 的斜率依次成等比数列，求 OMN 面积的取值范围 解 (1) 双曲线的离心率为 2 33 ， 椭圆的离心率 e ca 32 . 又 直线 x y 2 0 经过椭圆的右顶点， 右顶点为点
10、 (2,0)，即 a 2， c 3， b 1， 椭圆方程为 x24 y2 1. (2)由题意可设直线的方程为 y kx m(k0 ， m0) ， M(x1， y1)， N(x2， y2) 联立? y kx m，x24 y2 1， 消去 y，并整理得 (1 4k2)x2 8kmx 4(m2 1) 0， 则 x1 x2 8km1 4k2， x1x2 4?m2 1?1 4k2 ， 于是 y1y2 (kx1 m)(kx2 m) k2x1x2 km(x1 x2) m2. 又直线 OM， MN， ON 的斜率依次成等比数列， 故 y1x1 y2x2 k2x1x2 km?x1 x2? m2x1x2 k2，
11、则 8k2m21 4k2 m2 0. 由 m0 得 k2 14，解得 k 12. 又由 64k2m2 16(1 4k2)(m2 1) 16(4k2 m2 1)0，得 0m22， 显然 m21( 否则 x1x2 0， x1， x2中至少有一个为 0，直线 OM， ON 中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾 ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 设原点 O 到直线的距离为 d， 则 S OMN 12|MN|d 12 1 k2| x1 x2| |m|1 k2 12|m| ?x1 x2?2 4x1x2 ?m2 1?2 1. 故由 m 的取值范围可得 OMN 面积的取值范围为 (0,1) 题型二 最值问题
12、 命题点 1 利用三角函数有界性求最值 典例 过抛物线 y2 4x的焦点 F的直线交抛物线于 A， B 两点，点 O 是坐标原点，则 |AF| BF|的最小值是 ( ) A 2 B. 2 C 4 D 2 2 答案 C 解析 设直线 AB 的倾斜角为 ，可得 |AF| 21 cos ， |BF| 21 cos ，则 |AF| BF| 21 cos 21 cos 4sin2 4. 命题点 2 数形结合利用几何性质求最值 典例 在平面直角坐标系 xOy 中， P 为双曲线 x2 y2 1 右支上的一个动点若点 P 到直线 x y 1 0 的距离大于 c 恒成立，则实数 c 的最大值为 _ 答案 22
13、 解析 双曲线 x2 y2 1 的渐近线为 x y 0，直线 x y 1 0 与渐近线 x y 0 平行，故两平行线的距离 d |1 0|12 ? 1?2 22 .由点 P 到直线 x y 1 0 的距离大于 c 恒成立，得c 22 ，故 c 的最大值为 22 . 命题点 3 转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值 典例 (2017 山东 )在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E： x2a2y2b2 1(a b 0)的离心率为22 ，焦距为 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求椭圆 E 的方程； (2)如图，动直线 l： y k1x 32 交椭圆 E 于 A， B 两点， C 是
14、椭 圆 E 上一点，直线 OC 的斜率为 k2，且 k1k2 24 .M 是线段 OC 延长线上一点，且 |MC| AB| 23 ， M 的半径为 |MC|，OS， OT 是 M 的两条切线，切点分别为 S， T.求 SOT 的最大值，并求取得最大值时直线 l的斜率 解 (1)由题意知 e ca 22 ， 2c 2，所以 c 1， 所以 a 2， b 1， 所以椭圆 E 的方程为 x22 y2 1. (2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 联立方 程? x22 y2 1，y k1x 32 ，得 (4k21 2)x2 4 3k1x 1 0. 由题意知 0， 且 x1 x2 2 3k
15、12k21 1， x1x2 12?2k21 1?， 所以 |AB| 1 k21|x1 x2| 2 1 k21 1 8k211 2k21 . 由题意可知，圆 M 的半径 r 为 r 23|AB| 2 23 1 k21 1 8k212k21 1 ， 由题设知 k1k2 24 ，所以 k2 24k1， 因此直线 OC 的方程为 y 24k1x. =【 ;精品教育资源文库 】 = 联立方程? x22 y2 1，y 24k1x，得 x2 8k211 4k21， y2 11 4k21， 因此 |OC| x2 y2 1 8k211 4k21. 由题意可知， sin SOT2 rr |OC| 11 |OC|r. 而 |OC|r 1 8k211 4k212 23 1 k21 1 8k211 2k21 3 24 1 2k211 4k21 1 k21， 令 t 1 2k21，则 t 1， 1t(0,1) ， 因此 |OC|r 32 t2t2 t 1
