1、数学必修二 限时快练 立体几何中二面角问题与最值问题一、单选题1如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，ACBC1，ACB90，点D是A1B1的中点，F是侧面CC1B1B（含边界）上的动点，要使AB1平面C1DF，则线段C1F的长的最大值为（）ABCD2如图，长方体中，点为线段的中点，点为棱上的动点（包括端点），平面截长方体的截面为，则（）A截面可能为六边形B存在点，使得截面C若截面为平行四边形，则该截面面积的最大值为D当与重合时，截面将长方体分成体积比为的两部分3已知正三棱柱，各棱长均为2，且点为棱上一动点，则下列结论正确的是（）A该正三棱柱既有外接球，又有内切球B四棱锥的体积是C直
2、线与直线恒不垂直D直线与平面所成角最大为4已知正方体的棱长为3，点P在的内部及其边界上运动，且，则点P的轨迹长度为()A B C D 5在正方体中，为棱上的动点，为线段的中点.给出下列四个；直线与平面所成角不变；点到直线的距离不变；点到四点的距离相等.其中，所有正确结论的序号为（）ABCD二、解答题6在正方体中(1)求异面直线与所成角的大小(2)求直线与平面ABCD所成角的正切值(3)求证：7如图，在多面体中，平面平面为正三角形，四边形为菱形，且(1)求证：平面；(2)求点B到平面的距离8如图，在四棱锥中，平面平面，底面是梯形，(1)证明：平面；9如图，在多面体中，.(1)，且，点为的中点，求
3、证：平面；(2)若是等边三角形，在线段上，且，求与平面所成角正弦值的大小.10如图所示的五面体中，平面平面，四边形为正方形，.(1)求证：平面；(2)若，求多面体的体积.参考答案：1A【详解】如图，在线段BB1上取一点H，使B1H=，则有DHAB1，又平面,故，故AB1平面C1DF，则F点轨迹为C1H，则的最大值为.故选：A.2C【详解】对于A，截面可能为四边形或五边形，不能是六边形，A错误；对于B，若存在点，使得截面，则，则为中点，此时与不垂直，不存在点，使得截面，B错误；对于C，当截面为平行四边形时，在平面内过点作的平行线，交于，过点作的垂线，垂足为，连接，则平面，斜线在平面的射影为，则；
4、设，截面面积为，当时，C正确；对于D，当重合时，截面为梯形；取中点，连接，延长交于点，棱台的体积，又长方体体积，剩余部分的体积，D错误.故选：C.3D【详解】如图所示，设，取的中点分别为，连接过点作交于点，连接，显然平面，又，故平面即为直线与平面所成角，又因为，所以因此当时，有的最大值，选项D正确；由于内切圆半径为，所以该正三棱柱有外接球，无内切球，选项A不正确；显然平面，因此点到侧面的高故棱锥的体积为，选项B不正确；当位于时，平面，即又，故平面，从而，故选项C不正确；故选：D4A【详解】连接、，则，平面，同理，平面设，连接BE交于O，由BOD且BD=可知OD=，则，连接OP，则，可得点P的轨
5、迹为以点O为圆心，为半径的圆在内部及其边界上的部分，OB=2OE，E为中点，及为等边三角形可知O为中心，OE=，如图：，则OFE=，OF，同理易知OG，故四边形是菱形，则的长度为，故点P的轨迹长度为故选：A5C【详解】如下图，当在棱上运动时，始终在平面中，由，可得，所以，故正确，此时点的轨迹为线段，如下图可知，过正方形中心且，故正确， 如下图，延长与的延长线交于，连接，则即为直线与平面所成角，当点在上运动时，不变而在变，所以不是定值，故错误.故选：C.6(1)连接，BD，由，可得四边形为平行四边形，则，则为异面直线与所成角或其补角中，则则异面直线与所成角为 (2)正方体中，平面则为直线与平面A
6、BCD所成的角，中，则则直线与平面ABCD所成角的正切值为(3)正方体中，平面则，又，则平面，又平面则7(1)如图，取的中点，连接,则，故四边形MDCF为平行四边形，所以因为，故,故四边形OMFN为平行四边形，则，又，又平面BCF，平面BCF,故平面BCF；(2)连接，由题可得，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，平面平面，过作于，过作于，连接，过作于，则平面，又，平面，又，平面，由题可知，又四边形为菱形，且，又，设点B到平面的距离为，则，故点B到平面的距离为.8(1)证明：取中点，连接，四边形为菱形，四边形为平行四边形，又，平面又平面，又平面平面，且平面平面，平面9(1)取的中点，连接，；点为的中点，且，又，且，且，四边形为平行四边形，又面，面，平面；(2)在中，由余弦定理有.，即，又，面，面，平面，为与平面所成的角，为等边三角形，在中，由余弦定理有，与平面所成角的正弦值的大小为.10(1)证明：如图，因为，平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以.在中，因为，故，不妨设，所以由余弦定理，得，则，所以，所以，又，所以平面.(2)如图，若，则，由（1）知平面，所以为三棱锥的高，而三棱锥的高为点到平面的距离，因为平面平面，所以点到平面的距离就是点到直线的距离，故.
